Fai il punto sui fondamentali - Massimi e minimi

Solo una delle seguenti funzioni ha un punto di flesso orizzontale e un punto di massimo relativo. Quale?

Dal grafico di $f(x)$ si può dedurre che:

Quale delle seguenti affermazioni sulla funzione $y=x\ln x$ definita nell'intervallo $]0;2]$ è vera?

Trova i punti di massimo e di minimo relativo della funzione
$f(x)=\{\begin{array}{cc}2-x,& \text{se }x\le 2\\ -\frac{3}{2}{x}^2+9x-12& \text{se }x>2\end{array}$,
distinguendo fra quelli stazionari e quelli angolosi.

Calcoliamo la derivata di $f(x)$:
$f^{\prime }(x)=\{\begin{array}{cc}-1,& \text{se }x\le 2\\ -3x+9& \text{se }x>2\end{array}$.

Quindi $f(x)$ è sempre decrescente per $x<2$ e per $x>2$ abbiamo che è ________ per $x<3$ e ________ per $x>3$.
Il punto $x=3$ è quindi un punto di ________ relativo e punto ________.
Calcoliamo infine la derivata della funzione nel punto $x=2$:
${\displaystyle \underset{x\to 2^{-}}{lim}{f}^{\prime }(x)=-1\ne \underset{x\to 2^{+}}{lim}{f}^{\prime }(x)=}$ ________ $3$.
Il punto $x=2$ è quindi un punto di ________ relativo e punto ________.

Dal grafico puoi dedurre che:

Una ditta che produce motori a combustione realizza un prototipo la cui efficienza, in funzione della quantità di ossigeno da inserire nella miscela formata da carburante e ossigeno, è descritta dalla funzione
${\displaystyle y=\frac{3x-3x^2}{8x^2-2x+2}}$, con $0\le x\le 1,$
dove $y$ è l'efficienza del motore, in percentuale, e $x$ è la quantità di ossigeno, in percentuale.
Lo scopo del prototipo è quello di trovare la quantità di ossigeno da inserire nella miscela per riuscire a massimizzare l'efficienza del motore e quindi ridurne i consumi. Qual è il valore cercato?

Poiché il denominatore non si annulla per nessun valore reale, abbiamo che la funzione $f(x)$ è definita per ogni valore dell'intervallo $[0;1]$ in cui la vogliamo studiare.

Calcoliamo la derivata di $f(x)$:
${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{(3-6x)(8x^2-2x+2)-(3x-3x^2)(16x-2)}{4(4x^2-x+1{)}^2}=}$
${\displaystyle \frac{3(-3x^2-2x+1)}{2(4x^2-x+1{)}^2}.}$

Studiamo $f^{\prime }(x)>0$:
il numeratore è maggiore di $0$ per ________; il denominatore è sempre ________.
Il quadro dei segni relativo allo studio della derivata è:

Quindi $x={\displaystyle \frac{1}{3}}$ è punto di ________ per $f(x)$ in generale, e a maggior ragione nell'intervallo $[0;1]$.

Determina il numero naturale tale che la differenza fra il quadrato e il quadruplo del numero sia minima.

Sia $n\in \mathbb{N}$; la funzione che stiamo considerando è
$f(n)=$________.
Calcoliamo la derivata:
$f^{\prime }(n)=$________.
Studiamo il segno della derivata:
$f^{\prime }(n)>0\to$
________$>0$$\to$$n$________$2$.
Quindi $f(n)$ è crescente per $n$________$2$ e decrescente per $n$________$2$.
$n=2$ è punto di ________.