Fai il punto sui fondamentali - Limiti #370510 - Prove ed esercizi Zanichelli

Limiti e continuità

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

La funzione è continua nel suo dominio.

B:

La funzione è continua in

x_{0} = 3

.

C:

lim_{x \to 3^{+}} f (x) = lim_{x \to 3^{-}} f (x)

D:

3

non appartiene al dominio di

f (x)

.

Vero o falso

Funzioni continue

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Se

lim_{x \to 3} f (x)

esiste, allora

f

è continua in

3

.

B:

lim_{x \to 2} (x^{2} + 3) = 7

.

C:

La funzione

f (x) = 4^{x}

è continua in tutto

R

.

D:

La funzione

f (x) = \log x

è continua in tutto

R

.

Vero o falso

Limite destro e limite sinistro

Rappresenta le seguenti funzioni e stabilisci per quale vale

lim_{x \to 2^{+}} f (x) \neq lim_{x \to 2^{-}} f (x)

.
a.

f (x) = (x - 2)^{2}

b.

f (x) = {\begin{cases} 2 x - 1 & se x \leq 2 \\ 3 & se x > 2 \end{cases}

c.

f (x) = {\begin{cases} x - 1 & se x \leq 2 \\ 1 - x & se x > 2 \end{cases}

a. Il grafico è quello in figura ________
Dalla rappresentazione deduciamo che

lim_{x \to 2^{+}} f (x)

________

lim_{x \to 2^{-}} f (x)

.

b. Il grafico è quello in figura ________
Dalla rappresentazione deduciamo che

lim_{x \to 2^{+}} f (x)

________

lim_{x \to 2^{-}} f (x)

.

c. Il grafico è quello in figura ________
Dalla rappresentazione deduciamo che

lim_{x \to 2^{+}} f (x)

________

lim_{x \to 2^{-}} f (x)

.

Completamento chiuso

Dai limiti al grafico

Stabilisci qual è il possibile grafico di una funzione che abbia le seguenti caratteristiche:

$lim_{x \to - \infty} f (x) = + \infty$ ;
$lim_{x \to 0^{-}} f (x) = - \infty$ ;
$lim_{x \to 0^{+}} f (x) = 2$ ;
$lim_{x \to + \infty} f (x) = 0$ .

________

Completamento chiuso

Intervalli e intorni

L'insieme

B = {x \in R | | x - 8 | < 3}

è:

A:

un intorno di centro

3

.

B:

un intorno di

8

.

C:

un intervallo chiuso.

D:

un intervallo aperto illimitato superiormente.

Scelta multipla

Verifica di limite

Applica la definizione per verificare i seguenti limiti:
a.

lim_{x \to 0} (1 - 2 x) = 1

;
b.

lim_{x \to - \infty} (- 4 x + 2) = + \infty

.

a. Scelto

ε

> 0

, risolviamo la disequazione

| (1 - 2 x) -

________

| < ε

e verifichiamo che fra le sue soluzioni vi sia un intorno di ________.
La disequazione è equivalente al sistema:
________

\to

________.
Le soluzioni del sistema sono ________.
Poiché l'intervallo trovato ________ un intorno di ________, il limite ________ verificato.

b. Scelto

M

________

0

, risolviamo la disequazione

- 4 x + 2

________ e verifichiamo che fra le sue soluzioni vi sia un intorno ai

- \infty

- 4 x + 2

________

\to

x < \frac{2 - M}{4}

.
L'insieme delle soluzioni è l'intervallo ________, che ________ un intorno di

+ \infty

, quindi il limite ________ verificato.

Completamento chiuso

Dal grafico ai limiti

Deduci i seguenti limiti indicati osservando il grafico della funzione

f (x)

in figura.

a.

lim_{x \to 1} f (x)

________
b.

lim_{x \to 3} f (x)

________
c.

lim_{x \to 2^{+}} f (x)

________
d.

lim_{x \to 2^{-}} f (x)

________
e.

lim_{x \to - \infty} f (x)

________
f.

lim_{x \to + \infty} f (x)

________

Completamento chiuso