Fai il punto sui fondamentali - Iperbole #370996

Caratteristiche dell'iperbole

L'iperbole di equazione

\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{36} = - 1

ha:

A:

i vertici reali nei punti

(0; - 6)

e

(0; 6)

.

B:

i fuochi nei punti

(- 2 \sqrt{10}; 0)

e

(2 \sqrt{10}; 0)

.

C:

eccentricità

e = \frac{\sqrt{10}}{3}

.

D:

gli asintoti di equazioni

y = \pm 9 x

.

Vero o falso

Dal grafico all'equazione

L'iperbole rappresentata in figura ha equazione:

A:

x^{2} - y^{2} = 2

.

B:

x^{2} - y^{2} = - 2

.

C:

x y = 4

.

D:

x^{2} - y^{2} = 4

.

Scelta multipla

Iperbole equilatera

Indica quali equazioni rappresentano un'iperbole equilatera.
a.

x^{2} - y^{2} - 10 = 0

b.

x = - \frac{2}{y}

c.

2 x^{2} - y^{2} = 2

d.

y = \frac{x - 1}{x}

a. L'equazione può essere scritta nella forma

x^{2} - y^{2} =

________, quindi essa ________ un'iperbole equilatera.

b. L'equazione può essere scritta nella forma ________, quindi essa ________ un'iperbole equilatera.

c. L'equazione può essere scritta nella forma ________, quindi essa ________ un'iperbole equilatera.

d. L'equazione ________ quella di una funzione omografica, poiché ________ verificate le condizioni ________

\neq 0

e

a d

________

\neq 0

. Quindi essa ________ un'iperbole equilatera.

Completamento chiuso

Funzione omografica

L'iperbole di equazione

y = \frac{2 x - 1}{4 x + 8}

:

A:

ha il centro nel punto

C (- 2; \frac{1}{2})

.

B:

passa per l'origine degli assi.

C:

ha come asintoti le rette di equazioni

x = \frac{1}{2}

e

y = - 2

.

D:

interseca gli assi cartesiani nei punti

A (\frac{1}{2}; 0)

e

B (0; - \frac{1}{8})

.

Vero o falso

Tangenti a un'iperbole

Determina l'equazione della retta tangente all'iperbole di equazione

\frac{x^{2}}{2} - \frac{y^{2}}{4} = 1

, nel suo punto

P (2; - 2)

.

________

Completamento chiuso

Iperbole equilatera

L'iperbole di equazione

x y = 8

:

A:

passa per l'origine.

B:

è simmetrica rispetto all'origine.

C:

passa per il punto

(0; 8)

.

D:

ha come vertici i punti

(- 2 \sqrt{2}; 2 \sqrt{2})

e

(2 \sqrt{2}; - 2 \sqrt{2})

.

Scelta multipla

Iperbole e rette

Stabilisci la posizione della retta di equazione

x + 4 y + 3 = 0

rispetto all'iperbole di equazione

\frac{x^{2}}{9} - \frac{4 y^{2}}{9} = 1

e determina le coordinate degli eventuali punti di intersezione.

Scriviamo il sistema con le equazioni assegnate:

{\begin{cases} \frac{x^{2}}{9} - \frac{4 y^{2}}{9} = 1 \\ x + 4 y + 3 = 0 \end{cases}

.
Esplicitiamo la

x

dalla seconda equazione e sostituiamo l'espressione ottenuta nella prima equazione:
________.
Svolgiamo i conti nella prima equazione e otteniamo:

12 y^{2}

________

= 0 \to

y (y

________

) = 0 \to y = 0 \lor y =

________.
Inseriamo i valori trovati nell'equazione della retta per determinare i punti di intersezione:

(- 3; 0),

________.
Concludiamo che la retta è ________ all'iperbole.

Completamento chiuso

Equazione e grafico di un'iperbole

Rappresenta nel piano cartesiano le seguenti iperboli.
a.

x^{2} - 4 y^{2} = - 16

b.

x^{2} - 8 y^{2} = 8

c.

x y = 12

d.

y = \frac{6 x - 2}{3 x + 1}

a. L'equazione in forma canonica è

\frac{x^{2}}{16} - \frac{y^{2}}{4} =

________, quindi è un'iperbole con i fuochi sull'asse ________ e ________ equilatera poiché

a^{2}

________

b^{2}

.
Si ha che

a = 4

e

b = 2

. I vertici ________ hanno coordinate

B_{1} (0; - 2)

,

B_{2} (0; 2)

, quelli ________

A_{1} (- 4; 0)

,

A_{2} (4; 0)

.
Il grafico è quello in figura ________

b. L'equazione in forma canonica è

\frac{x^{2}}{8} - y^{2} = 1

, quindi è un'iperbole con i fuochi sull'asse ________ e ________ equilatera poiché

a^{2}

________

b^{2}

.
Si ha che

a =

________ e

b =

________. I vertici reali sono

A_{1} (

________

; 0)

,

A_{2} (

________

; 0)

, quelli non reali

B_{1} (0; - 1), B_{2} (0; 1)

.
Il grafico è quello in figura ________

c. L'equazione è quella di un'iperbole equilatera riferita ai propri asintoti.
Poiché

k

________

0

, l'asse trasverso ha equazione

y =

________ e i vertici sono

A_{1} (2 \sqrt{3};

________

)

e

A_{2} (- 2 \sqrt{3};

________

)

.
Il grafico è quello in figura ________

d. Si ha che

a = 6

,

b = - 2

,

c = 3

e

d = 1

. Sono soddisfatte le condizioni ________

\neq 0

e

a d

________

\neq 0

, quindi l'equazione rappresenta una funzione omografica. Il centro è

C

________, ovvero ________ e interseca gli assi nei punti

(0; - 2)

e

(\frac{1}{3}; 0)

.
Il grafico è quello in figura ________

Completamento chiuso

Determinare l'equazione di un'iperbole

Determina l'equazione dell'iperbole con centro nell'origine e fuochi sull'asse

x

che passa per

P (1; 1)

e

Q (3; 5)

.

________

Completamento chiuso

Iperbole dati vertice ed eccentricità

Scrivi l'equazione dell'iperbole con i fuochi sull'asse

y

, eccentricità

e = \frac{\sqrt{5}}{2}

e vertici nei punti

(0; \pm 4)

.

________

Completamento chiuso