Fai il punto sui fondamentali - Integrali indefiniti #369216

Integrale indefinito

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

y = 3 x + 2

e

y = 3 x - 7

sono primitive della stessa funzione.

B:

La derivata di

\int (3 x^{2} - 5) d x

è

6 x

.

C:

y = - \sin x

è una primitiva di

y = \cos x

.

D:

y = x^{3}

ha come unica primitiva

y = \frac{x^{4}}{4}

.

Vero o falso

Prima proprietà di linearità

Quale delle seguenti uguaglianze descrive la prima proprietà di linearità?

A:

\int f (x) \cdot g (x) d x = \int f (x) d x \cdot \int g (x) d x

B:

\int [f (x) + g (x)] d x = \int f (x) d x + \int g (x) d x

C:

\int \frac{f (x)}{g (x)} d x = \frac{\int f (x) d x}{\int g (x) d x}

D:

\int k f (x) d x = \int k d x \cdot \int f (x) d x

Scelta multipla

Seconda proprietà di linearità

L'integrale indefinito

\int 3 x f (x) d x

è uguale a:

A:

\int 3 x d x \cdot \int f (x) d x

.

B:

3 x \int f (x) d x

.

C:

3 \int x f (x) d x

.

D:

f (x) \int 3 x d x

.

Scelta multipla

Integrale di una potenza di

x

Calcola il seguente integrale.

\int (x^{4} + \frac{1}{x}) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (x^{4} + \frac{1}{4}) d x = \int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

\int x^{4} d x + \int \frac{1}{x} d x =

________

+ \ln | x | + c

.

Completamento chiuso

Integrale di una potenza di x

Integrale di una potenza di

x

Calcola il seguente integrale.

\int \frac{2 - 5 x}{x^{2}} d x

Separiamo le frazioni all'interno dell'integrale in due frazioni:

\int \frac{2 - 5 x}{x^{2}} d x = \int (\frac{2}{x^{2}} - \frac{5 x}{x^{2}}) d x =

\int (\frac{2}{x^{2}} - \frac{5}{x}) d x .

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (\frac{2}{x^{2}} - \frac{5}{x}) d x = \int \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{x} d x .

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int \frac{2}{x^{2}} d x + \int - \frac{5}{x} = 2 \int \frac{1}{x^{2}} d x - 5 \int \frac{1}{x} d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

2 \int \frac{1}{x^{2}} d x - 5 \int \frac{1}{x} d x =

________

\frac{2}{x} - 5 \ln | x | + c .

Completamento chiuso

Integrale di una potenza di

x

.

Calcola il seguente integrale.

\int (3 x - \frac{1}{x^{2}}) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (3 x - \frac{1}{x^{2}}) d x = \int 3 x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x

.
Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int 3 x d x + \int - \frac{1}{x^{2}} d x = 3 \int x d x - \int \frac{1}{x^{2}} d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

3 \int x d x - \int \frac{1}{x^{2}} d x = \frac{3}{2} x^{2}

________

+ c

.

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche

Calcola il seguente integrale.

\int (3 e^{x} + 2) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (3 e^{x} + 2) d x = \int 3 e^{x} d x + \int 2 d x .

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int 3 e^{x} d x + \int 2 d x = 3 \int e^{x} d x + 2 \int 1 d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

3 \int e^{x} d x + 2 \int 1 d x = 3

________

+ 2 x + c .

Completamento chiuso

Integrale di una potenza di x

Calcola il seguente integrale.

\int (\sqrt{x} + \frac{2}{x^{3}}) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (\sqrt{x} + \frac{2}{x^{3}}) d x = \int \sqrt{x} d x + \int \frac{2}{x^{3}} d x .

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int \sqrt{x} d x + \int \frac{2}{x^{3}} d x = \int \sqrt{x} d x + 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x .

Notiamo che:

\int \sqrt{x} d x + 2 \int \frac{1}{x^{3}} d x =

\int x^{\frac{1}{2}} d x + 2 \int

________
Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:
________

\sqrt{x^{3}} -

________

+ c .

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche

Calcola il seguente integrale.

\int (2 \cdot 3^{x} - 7 e^{x}) d x

Per la prima proprietà di linearità abbiamo:

\int (2 \cdot 3^{x} - 7 e^{x}) d x = \int 2 \cdot 3^{x} d x

________

\int - 7 e^{x} d x .

Per la seconda proprietà di linearità abbiamo:

\int 2 \cdot 3^{x} d x + \int - 7 e^{x} d x = 2 \int 3^{x} d x - 7 \int e^{x} d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

2 \int 3^{x} d x - 7 \int e^{x} d x =

2 \cdot

________

- 7 e^{x} + c .

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche

Calcola il seguente integrale.

\int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 3 \cos x) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (\frac{1}{\cos^{2} x} - 3 \cos x) d x =

\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x + \int - 3 \cos x d x .

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x + \int - 3 \cos x d x =

\int \frac{1}{\cos^{2} x} d x - 3 \int \cos x d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

\int \frac{1}{\cos^{2}} d x - 3 \int \cos x d x =

________

- 3 \sin x + c .

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int \frac{x^{3}}{x^{4} + 5} d x

Osserviamo che ________

x^{3}

= D [x^{4} + 5],

quindi, moltiplicando e dividendo la funzione integrale per ________ otteniamo l'integrale della forma

\int \frac{f^{'} (x)}{f (x)} d x,

con

f (x) = x^{4} + 5

. Abbiamo perciò:

\frac{1}{4} \int \frac{4 x^{3}}{x^{4} + 5} d x = \frac{1}{4}

________

+ c .

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int 5 x e^{x^{2}} d x

Osserviamo che ________

= D [x^{2}]

, quindi, moltiplicando e dividendo la funzione integranda per ________ otteniamo l'integrale della forma

\int f^{'} (x) e^{f (x)} d x,

con

e^{f (x)} = e^{x^{2}}

. Abbiamo perciò:
________

\int

________

\cdot 5 x e^{x^{2}} d x =

________

e^{x^{2}} + c .

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int x (5 x^{2} - 4)^{3} d x

Osserviamo che ________

x = D [5 x^{2} - 4]

, quindi, moltiplicando e dividendo la funzione integranda per ________ otteniamo l'integrale della forma

\int [f (x)]^{α} f^{'} (x) d x,

con

f (x) =

________ e

α = 3

.
Abbiamo perciò:

\frac{1}{10} \int (5 x^{2} - 4)^{3} \cdot

________

x d x =

\frac{1}{10}

________

+ c .

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni la cui primitiva è una funzione composta

Calcola il seguente integrale.

\int (- 3 \cos 3 x) d x

Osserviamo che

3 = D [3 x]

. Abbiamo quindi l'integrale nella forma

\int f^{'} (x) \cos f (x) d x,

con

f (x) =

________. Abbiamo perciò:

\int (- 3 \cos 3 x) d x = - \int 3 \cos 3 x d x =

________

\sin 3 x + c .

Completamento chiuso

Integrale delle funzioni esponenziali e goniometriche

Calcola il seguente integrale.

\int (3 x + 5 \sin x) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int (3 x + 5 \sin x) d x = \int 3 x d x + \int 5 \sin x d x .

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int 3 x d x + \int 5 \sin x d x = 3 \int x d x + 5 \int \sin x d x .

Utilizzando le formule degli integrali immediati troviamo:

3 \int x d x + 5 \int \sin x d x =

\frac{3}{2} x^{2}

________

5 \cos x + c .

Completamento chiuso

Problema con integrale indefinito

Tra le primitive della funzione

f (x) = \frac{4 x - 2}{x^{2} - x}

, determina quella il cui grafico interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

2

.

Osserviamo che ________

= D [x^{2} - x]

, quindi, se raccogliamo il termine

2

nel numeratore di

f (x)

, otteniamo l'integrale della forma

\int \frac{g^{'} (x)}{g (x)} d x,

con

g (x) = x^{2} - x

. Abbiamo perciò:

\int f (x) d x = \int \frac{2 (2 x - 1)}{x^{2} - x} d x =

2 \int \frac{2 x - 1}{x^{2} - x} d x = 2 \ln

________

+ c .

Sostituiamo adesso

x = 2

nell'integrale indefinito trovato:

0 = 2 \ln | 2^{2} - 2 | + c \to

c =

________

2 \ln 2

.
Quindi la primitiva di

f (x)

che interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

2

è:

y = 2 \ln | x^{2} - x |

________

2 \ln 2

.

Completamento chiuso