Fai il punto sui fondamentali - Integrali definiti #369459

Calcolo dell'integrale definito

Calcola il seguente integrale definito.

\int_{1}^{3} (\frac{1}{x} + x) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int_{1}^{3} (\frac{1}{x} + x) d x = \int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{3} x d x .

Risolviamo gli integrali con la formula di Leibniz-Newton:

\int_{1}^{3} \frac{1}{x} d x + \int_{1}^{3} x d x =

[\ln | x |]_{1}^{3} + {[\frac{x^{2}}{2}]}_{1}^{3} =

\ln 3 -

________

+ \frac{9}{2} - \frac{1}{2} = \ln 3 +

________.

Completamento chiuso

Proprietà dell'integrale definito

Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

\int_{0}^{1} x e^{x} d x = x \int_{0}^{1} e^{x} d x

B:

\int_{2}^{3} 5 d x = 5

C:

\int_{1}^{5} (x + 3 x^{3}) d x = \int_{1}^{5} x d x - 3 \int_{5}^{1} x^{3} d x

D:

\int_{1}^{2} x d x = - \int_{- 1}^{- 2} x d x

Vero o falso

Calcolo dell'integrale definito

Calcola il seguente integrale definito.

\int_{- 1}^{2} (x^{3} + 2 x) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int_{- 1}^{2} (x^{3} + 2 x) d x = \int_{- 1}^{2} x^{3} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x .

Risolviamo gli integrali con la formula di Leibniz-Newton:

\int_{- 1}^{2} x^{3} d x + \int_{- 1}^{2} 2 x d x =

[

________

]_{- 1}^{2}

+ [x^{2}]_{- 1}^{2} =

________

-

________

+ 4 - 1 =

________.

Completamento chiuso

Funzione integrale

Se

F (x) = \int_{2}^{x} t^{4} d t

, allora

F (2)

vale:

A:

2

.

B:

0

.

C:

16

.

D:

\frac{1}{2}

.

Scelta multipla

Valore medio di una funzione

Calcola il valore medio della seguente funzione nell'intervallo dato.

y = x^{2} + 1, [0; 2] .

Il valore medio della funzione

f (x)

in

[a; b]

si indica con

\bar{f} =

________
Quindi:

\bar{f} =

________

=

________

\frac{1}{2} ({[\frac{x^{3}}{3} + x]}_{0}^{2}) =

________

\frac{1}{2} (\frac{8}{3} + 2) =

________

\frac{7}{3}

.

Completamento chiuso

Integrale definito e area

Osserva la figura.

Il valore dell'integrale definito

\int_{- 2}^{2} f (x) d x

è:

A:

2

.

B:

4

.

C:

8

.

D:

1

.

Scelta multipla

Calcolo dell'integrale definito

Calcola il seguente integrale definito.

\int_{0}^{1} (x + 2) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int_{0}^{1} (x + 2) d x = \int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 2 d x

.

Risolviamo gli integrali con la formula di Leibniz-Newton:

\int_{0}^{1} x d x + \int_{0}^{1} 2 d x =

[

________

]_{0}^{1}

+ [2 x]_{0}^{1} =

________

+ 2 =

________.

Completamento chiuso

Valore medio di una funzione

Calcola il valore medio della seguente funzione nell'intervallo dato.

y = 2 e^{x}, [0; 1] .

Il valore medio della funzione

f (x)

in

[a; b]

si indica con

\bar{f} =

________.
Quindi:

\bar{f} = \frac{\int_{0}^{1} 2 e^{x} d x}{1 - 0} = 2 [e^{x}]_{0}^{1} =

2 (e -

________

) =

________.

Completamento chiuso

Calcolo dell'integrale definito

Calcola il seguente integrale definito.

\int_{0}^{π} (\cos x + \sin x) d x

Per la ________ proprietà di linearità abbiamo:

\int_{0}^{π} (\cos x + \sin x) d x =

\int_{0}^{π} \cos x d x + \int_{0}^{π} \sin x d x

.

Risolviamo gli integrali con la formula di Leibniz-Newton:

\int_{0}^{π} \cos x d x + \int_{0}^{π} \sin x d x =

[

________

\sin x]_{0}^{π} + [- \cos x]_{0}^{π} =

0 - 0 + 1

________

1 =

________.

Completamento chiuso

Area compresa tra una curva e l'asse x

Calcola l'area colorata nella figura.

Il punto di intersezione della funzione

f (x)

con l'asse delle ascisse è dato da

x =

________. Determiniamo l'area colorata in figura calcolando due integrali: il primo con estremi di integrazione ________ e ________; il secondo con estremi di integrazione ________ e

2

. In particolare poniamo un meno davanti al ________ integrale perché

f (x) < 0

.
Quindi:
________

\int_{0}^{1} (x^{2} - 1) d x

________

\int_{1}^{2} (x^{2} - 1) d x =

________

{[\frac{x^{3}}{3} - x]}_{0}^{1}

________

{[\frac{x^{3}}{3} - x]}_{1}^{2} =

________

(- \frac{2}{3})

________

(\frac{7}{3} - 1) =

________.

Completamento chiuso

Volume di un solido di rotazione intorno all'asse x

Calcola il volume del solido generato dalla rotazione completa attorno all'asse

x

del grafico della funzione

y = \sqrt{4 - x^{2}}

nell'intervallo

[0; 2]

.

Calcoliamo il volume utilizzando la formula

V =

________

\cdot \int_{a}^{b} [f (x)]^{2} d x

.
Quindi:

V =

________

\cdot

\int_{0}^{2} [\sqrt{4 - x^{2}}]^{2} d x =

________

\cdot \int_{0}^{2} (4 - x^{2}) d x =

________

\cdot {[4 x - \frac{x^{3}}{3}]}_{0}^{2} = \frac{16}{3}

________.

Completamento chiuso

Area compresa tra due curve

L'area della superficie evidenziata nella figura misura:

A:

\frac{17}{6}

.

B:

\frac{27}{2}

.

C:

\frac{43}{2}

.

D:

\frac{125}{6}

.

Scelta multipla

Area di una parte di piano

Calcola l'area della regione finita di piano delimitata dal grafico di

y = e^{x} + 1

, dagli assi cartesiani e dalle rette di equazione

x = 2

e

y = 5

.

Disegniamo il grafico della funzione

y = e^{x} + 1

e delle rette

x = 2

e

y = 5

.

Calcoliamo il punto di intersezione della retta ________ e della funzione

y = e^{x} + 1

. Troviamo ________

= \ln 4

.

Notiamo che l'area della regione di piano delimitata in figura è data dalla ________ dell'area del rettangolo di lati

2

e

5

e dell'area data da

\int_{0}^{\ln 4} 5 (e^{x} + 1) d x

.
Quindi:

S = 10

________

\int_{0}^{\ln 4} 5 - (e^{x} + 1) d x =

10

________

[4 x - e^{x}]_{0}^{\ln 4} =

10

________

(4 \ln 4 - 3) =

________

4 \ln 4.

Completamento chiuso