Fai il punto sui fondamentali - Funzioni trascendenti

La funzione $y=\ln (x^2+1)$:

La funzione $y=2e^{x^2-1}$:

La funzione:

Quale delle seguenti funzioni trascendenti ha il grafico come sopra?

Studia e disegna il grafico di $y=\ln (x^2-6x)$.

1.   Dominio: imponiamo l'argomento del logaritmo maggiore di zero:
$x^2-6x>0\to$________.

2.   Cerchiamo eventuali simmetrie:
$f(x)$________

3.   Intersezione con gli assi: ________$=0$ è un valore escluso dalle condizioni di esistenza, quindi non ci sono punti di intersezione con l'asse delle $y$.
Cerchiamo le eventuali intersezioni con l'asse $x$:
$\{\begin{array}{l}y=\ln (x^2-6x)\\ y=0\end{array},$
otteniamo:
$\ln (x^2-6x)=0\to$
$x^2-$________$=0\to$________.
I due valori sono entrambi accettabili.

4.   Segno della funzione:
$f(x)>0\to \ln (x^2-6x)>0\to$
$x^2-6x>$________$\to$
$f(x)$ positiva per $x<3-\sqrt{10}\vee x>3+\sqrt{10}$.

5.   Limiti agli estremi del dominio:
${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}\ln (x^2-6x)=\underset{x\to 6^{-}}{lim}\ln (x^2-6x)=}$________$\mathrm{\infty }$.
Quindi $x=0$ e $x=6$ sono asintoti ________. La funzione non ha asintoti obliqui né orizzontali.

6.   Derivata prima: ${\displaystyle f^{\prime }(x)=\frac{2x-6}{x^2-6x}=\frac{2(x-3)}{x(x-6)}}$.
$f^{\prime }(x)=0$ se ________, che non appartiene al dominio di $f(x)$.
La funzione $f(x)$ è crescente per ________ e decrescente per ________.

7.   Derivata seconda:
${\displaystyle f^{″}(x)=\frac{2x(x-6)-2(x-3)(2x-6)}{x^2(x-6{)}^2}=}$
${\displaystyle -\frac{2(x^2-6x+18)}{x^2(x-6{)}^2}}$.
Poiché l'equazione $x^2$________$6x+18=0$ ha $\mathrm{\Delta }$________$0$, non ci sono valori per cui $f^{″}(x)=0$.
In particolare, $f^{″}(x)$ è sempre ________ quindi la funzione ha sempre concavità rivolta verso ________.
Possiamo disegnare il grafico:

Studia e rappresenta graficamente la funzione ${\displaystyle y=\frac{e^x}{2x}}$.

1.   Dominio: ________.

2.   Cerchiamo eventuali simmetrie:
$f(x)$________.

3.   Intersezione con gli assi: ________$=0$ è un valore escluso dalle condizioni di esistenza, quindi non ci sono punti di intersezione con l'asse delle $y$. Non ci sono  punti di intersezione nemmeno con l'asse delle $x$ perché la funzione esponenziale non si annulla in nessun punto.

4.   Segno della funzione:
$f(x)>0\to {\displaystyle \frac{e^x}{2x}>0}$.
Osserviamo che il numeratore è sempre positivo quindi il segno è determinato dal denominatore.
$2x$________$0$$\to$$x$________$0$.
Pertanto $f(x)$ positiva per $x>0$.

5.   Limiti agli estremi del dominio: applichiamo il teorema di De L'Hospital e otteniamo:
${\displaystyle \underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{2x}=\underset{x\to \pm \mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{2}}$.
Per $x\to +\mathrm{\infty }$ abbiamo:
${\displaystyle \underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{2}=}$________;
per $x\to -\mathrm{\infty }$ abbiamo invece:
${\displaystyle \underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{2}=}$________.
Quindi $y=0$ è asintoto ________.
Inoltre:
${\displaystyle \underset{x\to 0^{+}}{lim}\frac{e^x}{2x}=+\mathrm{\infty }}$ e ${\displaystyle \underset{x\to 0^{-}}{lim}\frac{e^x}{2x}=}$________.
Quindi $x=0$ è asintoto verticale.
La funzione non ha asintoti obliqui.

6.   Derivata prima:
$f^{\prime }(x)=\frac{2x{e}^x-2e^x}{4x^2}=\frac{e^x(x-1)}{2x^2}$, con dominio ________.
$f^{\prime }(x)=0$ se ________.
Le funzioni $e^x$ e $x^2$ sono positive per ogni valore di $x\ne 0$, quindi la funzione $f(x)$ è crescente per $x$________$1$ e decrescente per ________.
Il punto $x=1$ è un punto di minimo, di ordinata ${\displaystyle \frac{e}{2}.}$

7.   Derivata seconda:
${\displaystyle f^{″}(x)=\frac{(e^x(x-1)+e^x)2x^2-e^x(x-1)4x}{4x^4}=}$
${\displaystyle \frac{e^x(x^2-2x+2)}{2x^3}}$,
con dominio $\mathbb{R}-\{0\}$.
Poiché l'equazione $x^2$________$2x$$+2=0$ ha $\mathrm{\Delta }$________$0$, non ci sono valori per cui $f^{″}(x)=0$.
In particolare, $f^{″}(x)>0$ se $x>0$ e $f^{″}(x)<0$ se $x<0$; quindi la funzione ha concavità rivolta verso ________ per $x<0$ e verso ________ per $x>0$.
Possiamo disegnare il grafico:

Associa a ogni funzione il suo grafico.




a.   $y=2x\ln x$   ________
b.   $y=(\ln x-3)(\ln x-1)$   ________
c.   ${\displaystyle y=\frac{1}{\ln x}}$   ________