Fai il punto sui fondamentali - Funzioni fratte e irrazionali #369780

Dalle caratteristiche all'espressione analitica

Una funzione

f (x)

interseca l'asse

x

in un punto di ascissa

2

e ha due asintoti verticali, di cui uno di equazione

x = - 1

. Quale può essere la funzione

f (x)

?

A:

f (x) = \frac{x + 2}{x^{2} + x}

B:

f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} + x}

C:

f (x) = \frac{x - 2}{x^{2} - x}

D:

f (x) = \frac{x - 2}{x + 1}

Scelta multipla

Funzioni razionali fratte

La funzione

y = \frac{x^{2} + 8}{x^{2} - 4}

:

A:

ha dominio

x \neq \pm 2

.

B:

è una funzione pari.

C:

è positiva per

x < - 2 \lor x > 2

.

D:

ha un asintoto di equazione

x = 1

.

E:

ha un minimo di coordinate

(0; - 2)

.

F:

ha la concavità rivolta verso il basso per

- 2 < x < 2

.

Vero o falso

Funzioni polinomiali

Associa a ogni funzione il suo grafico.

a.

y = - x^{4} - x^{3}

________
b.

y = x^{4} - 4 x^{2}

________
c.

y = - x^{3} + x^{2}

________
d.

y = x^{3} - 4 x

________

Posizionamento

Dal grafico all'espressione analitica

Quale delle seguenti funzioni è rappresentata dal grafico in alto?

A:

y = x^{4} - 2 x^{2}

B:

y = - x^{4} + 2 x^{2}

C:

y = - x^{4} + x^{2}

D:

y = x^{4} - x^{2}

Scelta multipla

Funzioni polinomiali

Considera la funzione

y = \frac{x^{3}}{3} - 3 x^{2} + 8 x

.

a. Stabilisci quali affermazioni sono vere e quali false.
• Il grafico interseca l'asse

x

in tre punti.
________
• Il grafico è simmetrico rispetto all'origine.
________
• La funzione ha massimo in

(2; \frac{20}{3})

e minimo in

(4; \frac{16}{3})

.
________
• Non ci sono asintoti.
________
• Non ci sono punti di flesso.
________

b. Disegna il grafico della funzione.

Completamento chiuso

Funzioni razionali fratte

Studia e disegna il grafico della seguente funzione.

y = - x - \frac{4}{x} + 6

1. Dominio: il denominatore deve essere diverso da zero, quindi:

D

:

x \neq 0

.

2. Cerchiamo eventuali simmetrie:

f (x)

________.

3. Intersezione con gli assi: ________

= 0

è un valore escluso per ipotesi, quindi non ci sono punti di intersezione con l'asse delle

y

.
Mettendo a sistema

{\begin{cases} y = - x - \frac{4}{x} + 6 \\ y = 0 \end{cases},

otteniamo:

- x - \frac{4}{x} + 6 = 0 \to \frac{- x^{2} - 4 + 6 x}{x} = 0 \to

x^{2}

________

6 x + 4 = 0.

L'equazione ha

\frac{Δ}{4} = 9 - 4 = 5 > 0

, e ha soluzioni

x =

________

3 \pm \sqrt{5} .

4. Segno della funzione:

f (x) > 0 \to \frac{- x^{2} - 4 + 6 x}{x} > 0

N > 0

per ________;

D > 0

per

x > 0

.

Il quadro dei segni corretto è: ________

5. Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to 0^{-}} - x - \frac{4}{x} + 6 =

________

\infty

;

lim_{x \to 0^{+}} - x - \frac{4}{x} + 6 =

________

\infty

.
Quindi

x = 0

è asintoto ________.

lim_{x \to - \infty} - x - \frac{4}{x} + 6 =

________

\infty

;

lim_{x \to + \infty} - x - \frac{4}{x} + 6 =

________

\infty

;
troviamo che:

m = lim_{x \to \pm \infty} \frac{f (x)}{x} =

lim_{x \to \pm \infty} \frac{- x^{2} - 4 + 6 x}{x^{2}} =

________

1

e

q = lim_{x \to \pm \infty} [f (x) - m x] =

lim_{x \to \pm \infty} [\frac{- x^{2} - 4 + 6 x}{x}

________

x] =

lim_{x \to \pm \infty} = \frac{6 x - 4}{x} =

________.
La funzione
________;
la funzione non ha asintoti orizzontali.

6. Derivata prima:

f^{'} (x) = - 1 + \frac{4}{x^{2}} = - \frac{x^{2} - 4}{x^{2}} .

f^{'} (x) = 0

se

x = \pm 2

.

La funzione

f (x)

è ________ per

- 2 < x < 2

e ________ per

x < - 2 \lor x > 2

.
La funzione ha un punto di massimo in

x =

________

2

e un punto di minimo in

x =

________

2

.

7. Derivata seconda:

f^{″} (x) =

________

\frac{8}{x^{3}}

.
In particolare,

f^{″} (x)

è ________ per

x < 0

, quindi

f (x)

ha concavità rivolta verso ________; è ________ per

x > 0

, quindi

f (x)

ha concavità rivolta verso ________; è ________ per

x > 0

, quindi

f (x)

ha concavità rivolta verso ________.
Possiamo disegnare il grafico:

Completamento chiuso

Funzioni razionali fratte

Quale delle seguenti funzioni ha un asintoto obliquo?

A:

y = \frac{3 x^{3} + 1}{x^{2} - 3}

B:

y = x^{4} + 5 x - 2

C:

y = \frac{3 x + 1}{x^{2} + 4}

D:

y = - \frac{x^{2} + 4}{2 x^{2} + 3}

Scelta multipla

Dal grafico alle caratteristiche

Osserva il grafico soprastante e indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A:

Il dominio di

f (x)

è

x \neq 1

.

B:

f (x)

è pari.

C:

lim_{x \to 1} f (x) = + \infty

.

D:

Le intersezioni con gli assi sono

(0; - 2)

e

(0; 0)

.

E:

C'è un minimo per

x = 2

.

Vero o falso

Funzioni irrazionali

Studia e disegna il grafico della seguente funzione.

y = x \sqrt{x + 1}

1. Dominio: il radicando deve essere non negativo, quindi:

D

:

x

________

- 1

.

2. Cerchiamo eventuali simmetrie:

f (x)

________.

3. Intersezione con gli assi: se

x = 0

abbiamo

y = 0

.
Mettendo a sistema

{\begin{cases} y = x \sqrt{x + 1} \\ y = 0 \end{cases},

otteniamo:

x^{2}

________

= 0

\to

x = 0 \lor x = - 1

.

4. Segno della funzione:

f (x) > 0 \to x \sqrt{x + 1} > 0

.

N_{1} > 0

per

x > 0

;

N_{2} > 0

per

x > - 1

.
Quindi la funzione è positiva per ________.

5. Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to + \infty} x \sqrt{x + 1} =

________.
Osserviamo che:

lim_{x \to + \infty} \frac{f (x)}{x} = lim_{x \to + \infty} \frac{x \sqrt{x + 1}}{x} =

________.
La funzione ________ asintoti.

6. Derivata prima:

f^{'} (x) =

________

f^{'} (x) = 0

se

x =

________

\frac{2}{3}

.

Il quadro dei segni corretto è: ________
La funzione ha un ________ in

x =

________

\frac{2}{3}

.

7. Derivata seconda:

f^{″} (x) =

________.
In particolare,

f^{″} (x)

è sempre ________ nel dominio, quindi la funzione ha concavità rivolta verso ________.
Possiamo disegnare il grafico:

Completamento chiuso

Funzioni razionali fratte

Studia e disegna il grafico della seguente funzione.

y = \frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1}

1. Dominio: il denominatore deve essere diverso da zero, quindi:

D : x \neq

________.

2 Cerchiamo eventuali simmetrie:

f (x)

________.

3 Intersezione con gli assi:
se ________

= 0

abbiamo

y =

________.
Mettendo a sistema

{\begin{cases} y = \frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} \\ y = 0 \end{cases},

otteniamo:

\frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} = 0 \to 2 x + 1 = 0 \to x =

________.

4 Segno della funzione:

f (x) > 0 \to \frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} > 0.

N > 0

per

x > - \frac{1}{2};

D > 0

________.
Quindi la funzione è ________ per

- \frac{1}{2} < x < 1 \lor x > 1

e ________ per

x < - \frac{1}{2}

.

5 Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to 1^{-}} \frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} =

________

\infty

;

lim_{x \to 1^{+}} - x - \frac{4}{x} + 6 =

________

\infty

.
Quindi

x = 1

è asintoto ________.

lim_{x \to - \infty} \frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} =

________;

lim_{x \to + \infty} \frac{2 x + 1}{x^{2} - 2 x + 1} =

________.
La funzione ha un asintoto ________ di equazione

y = 0

; la funzione non ha asintoti obliqui.

6 Derivata prima:

f^{'} (x) =

________.

f^{'} (x) = 0

se

x = - 2

.

Il quadro dei segni corretto è: ________

7 Derivata seconda:

f^{″} (x) =

________

\frac{2 (2 x + 7)}{(x - 1)^{4}} .

In particolare, per

x > - \frac{7}{2}

f^{″} (x)

è ________ quindi la funzione ha concavità rivolta verso ________.
Possiamo disegnare il grafico.

Completamento chiuso

Funzioni irrazionali

Studia e disegna il grafico della seguente funzione.

y = 2 - \sqrt{x}

1. Dominio:
il radicando deve essere ________, quindi:

D

:

x

________

0

.

2. Cerchiamo eventuali simmetrie:

f (x)

________.

3. Intersezioni con gli assi:
se ________

= 0

abbiamo

y = 2

.
Mettendo a sistema

{\begin{cases} y = 2 - \sqrt{x} \\ y = 0 \end{cases}

otteniamo:

2 - \sqrt{x} = 0 \to x =

________.

4. Segno della funzione:

f (x) > 0 \to 2 - \sqrt{x} > 0 \to

________

5. Limiti agli estremi del dominio:

lim_{x \to + \infty} 2 - \sqrt{x} =

________.
La funzione non ha asintoti.

6. Derivata prima:

f^{'} (x) =

________.
La funzione

f (x)

è sempre ________ nel dominio.

7. Derivata seconda:

f^{″} (x) =

________

\frac{1}{4 x^{\frac{3}{2}}}

.
In particolare, per

x > 0

,

f^{″} (x)

è ________ quindi la funzione ha concavità rivolta verso ________.
Possiamo disegnare il grafico:

Completamento chiuso