Fai il punto sui fondamentali - Funzioni di due variabili #301058

Dominio di una funzione

Quale delle seguenti funzioni non ha dominio

R \times R

?

A:

z = x^{2} + y^{2} - 1

B:

z = \sqrt{x^{2} + y^{2} + 1}

C:

z = \frac{16}{\sqrt{1 - x^{2} - y^{2}}}

D:

z = \sqrt{\frac{16}{16 + x^{2} + y^{2}}}

Scelta multipla

Problema di minimo

Tra i punti

P

della retta

2 x - y + 5 = 0

, quale ha distanza minima dall'origine

O (0; 0)

?

Dobbiamo trovare il minimo della funzione

z =

________ che rappresenta la distanza del generico punto

P (x; y)

del piano dall'origine

O (0; 0)

, soggetta al vincolo ________ perché vogliamo che

P

appartenga alla retta.
Esplicitando

y

nel vincolo e sostituendo nella funzione

z

, otteniamo la funzione in una variabile

z = f (x) =

________.
Dallo studio della funzione

f (x)

otteniamo che ha un minimo in ________, quindi il punto della retta che ha minima distanza dall'origine è ________.

Completamento chiuso

Punti stazionari

Quale delle seguenti funzioni non ha né massimi né minimi relativi, né punti di sella?

A:

z = 3 x^{2} + 2 y^{2} - 5

B:

z = 5 x y - 10

C:

z = 5 x + 10 y

D:

z = x^{2} y^{2} - x y

Scelta multipla

Massimi e minimi relativi

Determina gli eventuali punti di massimo o di minimo relativo e gli eventuali punti di sella della funzione

z = - 5 x^{2} - 5 y^{2} + 4 x + 1

.

Calcoliamo le derivate parziali prime:

z_{x}^{'} =

________

z_{y}^{'} =

________

Ponendole uguali a

0

e mettendole a sistema otteniamo il punto stazionario ________

Calcoliamo le derivate seconde:

z_{x x}^{″} =

________,

z_{x y}^{″} = z_{y x}^{″} =

________,

z_{y y}^{″} =

________
e l'hessiano

H

nel punto stazionario.
Poiché

H =

________ e

z_{x x}^{″} =

________ il punto stazionario trovato è un punto di ________.

Completamento chiuso

Sistemi di disequazioni

Quale dei seguenti sistemi ha come soluzione la regione colorata in figura?

A:

{\begin{cases} y \leq - \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \\ y \geq x + 2 \\ y \leq - x^{2} + 4 \end{cases}

B:

{\begin{cases} y \geq - \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \\ y \leq x + 2 \\ y \leq - x^{2} + 4 \end{cases}

C:

{\begin{cases} y \geq - \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \\ y \geq x + 2 \\ y \geq - x^{2} + 4 \end{cases}

D:

{\begin{cases} y \geq - \frac{1}{4} x - \frac{1}{2} \\ y \geq x \\ y \leq - x^{2} + 4 \end{cases}

Scelta multipla

Linee di livello

Nel grafico in figura sono rappresentate alcune linee di livello di una funzione.

a. Qual è l'espressione della funzione?
________

b. Qual è il minimo relativo della funzione?
________

Completamento chiuso

Piano tangente

Considera i punti

O (0; 0; 0)

,

P (1; 1; 6)

e

Q (1; - 1; 0)

.

a. Qual è l'equazione del piano passante per i punti

O

,

P

e

Q

?
________

b. Per quale delle seguenti funzioni, il piano determinato è il piano tangente al suo grafico nel punto

Q

?
________

Completamento chiuso

Massimi e minimi vincolati

Considera la funzione

z = x^{2} + y^{2} + x

con il vincolo

x^{2} + y^{2} \leq 9

. Associa a ogni punto la sua caratteristica.

a.

A (- 3; 0)

________

b.

B (- \frac{1}{2}; 0)

________

c.

C (3; 0)

________

Posizionamento

Massimi e minimi vincolati

Considera la funzione

z = e^{- x^{2} - y}

e il vincolo

2 - 2 x - y = 0

. Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

A:

La linee di livello sono parabole.

B:

Ha massimo vincolato uguale a

e^{- 1}

.

C:

Ha massimo vincolato in

(1; 0)

.

D:

Ha massimo libero in

(1; 0)

.

Scelta multipla