Fai il punto sui fondamentali - Equazioni goniometriche elementari e lineari in seno e coseno #472838

Equazioni goniometriche elementari

Il grafico a fianco permette di risolvere una sola delle seguenti equazioni. Quale?

A:

\sin x = \frac{3}{4}

B:

\cos x + \frac{3}{4} = 0

C:

\cos x = {(\sin \frac{π}{3})}^{2}

D:

4 \tan x = 3

Scelta multipla

Equazioni del tipo

\sin x = a

.

Risolvi la seguente equazione.

\sqrt{3} \sin (\frac{π}{6} - x) = \frac{3}{2}

\sqrt{3} \sin (\frac{π}{6} - x) = \frac{3}{2} \to

\sin (\frac{π}{6} - x) =

________.
Sia

t = \frac{π}{6} - x

.
Risolviamo dunque l'equazione

\sin t =

________.
Disegniamo nel piano cartesiano la circonferenza goniometrica e la retta di equazione
________

= \frac{\sqrt{3}}{2}

.

Le loro intersezioni sono date dai punti

B_{1}

e

B_{2}

.

t =

________

+ 2 k π, k \in Z \lor

t =

________

+ 2 k π, k \in Z

.

Sostituiamo l'espressione di

t

, per ricavare i valori di

x

.

t = \frac{π}{3} + 2 k π, k \in Z \to

\frac{π}{6} - x =

________

+ 2 k π, k \in Z \to

x = \frac{π}{6} -

________

+ 2 k π, k \in Z \to

x = - \frac{π}{6} + 2 k π, k \in Z

t = \frac{2}{3} π + 2 k π, k \in Z \to

\frac{π}{6} - x = \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \to

x = \frac{π}{6} - \frac{2 π}{3} + 2 k π, k \in Z \to

x = \frac{3 π}{2} + 2 k π, k \in Z

.

Completamento chiuso

Equazioni del tipo

\tan x = c

Risolvi la seguente equazione.

2 \tan 2 x = 2

2 \tan 2 x = 2 \to

\tan 2 x = 1

Sia

t = 2 x

:

\tan t = 1

.
Sulla retta tangente in

E

alla circonferenza goniometrica, prendiamo il punto

T

di ordinata

1

.
La retta

O T

interseca la circonferenza nei punti

P

e

Q

che individuano gli angeli cercati.

Per periodicità della funzione tangente, possiamo scrivere in forma compatta le due soluzioni.

t =

________

+

________,

k \in Z

\to

2 x =

________

+

________,

k \in Z \to

x = \frac{π}{8} +

________,

k \in Z

.

Completamento chiuso

Equazioni goniometriche elementari

Risolvi la seguente equazione in

R

.

2 \sin x + 1 = 0

________

Completamento chiuso

Equazioni goniometriche elementari

Risolvi la seguente equazione in

R

.

3 \cos x - 6 = 0

________

Completamento chiuso

Equazioni goniometriche elementari

Risolvi la seguente equazione in

R

.

\cos (x + \frac{π}{3}) = - 1

________

Completamento chiuso

Equazioni goniometriche elementari

Quale fra le seguenti equazioni non ammette

0

fra le soluzioni?

A:

\sin x = 0

B:

\tan x = 0

C:

\cos x = 0

D:

\sin x + \cos x - 1 = 0

Scelta multipla

Equazioni goniometriche elementari

Risolvi la seguente equazioni in

R

.

\sqrt{3} \tan x = 1

________

Completamento chiuso

Equazioni riconducibili a equazioni elementari

Risolvi la seguente equazione.

2 \cos^{2} x + 5 \sin x + 1 = 0

________

Completamento chiuso

Equazioni lineari in seno e coseno

Risolvi l'equazione:

$\sin x - \sqrt{3} \cos x - 2 = 0$ .

$\sin x - \sqrt{3} \cos x - 2 = 0$

Sia $\cos x = X$ e $\sin x = Y$ .

L'equazione da risolvere è equivalente al sistema

${\begin{cases} \end{cases}$	$Y - \sqrt{3} X - 2 = 0$	$\to$
	$X^{2}$ ________ $Y^{2}$ $= 1$

${\begin{cases} Y = \sqrt{3} X + 2 \\ X^{2} + (\sqrt{3} X + 2)^{2} = 1 \end{cases} \to$

${\begin{cases} \end{cases}$	$Y = \sqrt{3} X + 2$	$\to$
	$X^{2} + 3 X^{2} +$ ________ $X$ $+ 4 = 1$

${\begin{cases} \end{cases}$	$Y = \sqrt{3} X + 2$	$\to$
	$4 X^{2} +$ ________ $X$ $+ 3 = 0$

${\begin{cases} Y = \frac{1}{2} \\ X = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} \to$

${\begin{cases} \sin x = \frac{1}{2} \\ \cos x = - \frac{\sqrt{3}}{2} \end{cases} .$

La soluzione del sistema è

$x =$ ________ $+ 2 k π$ $, k \in Z$ .

Completamento chiuso

Equazione lineare in seno e coseno

In figura è rappresentata la risoluzione grafica di un'equazione goniometrica lineare in seno e coseno.

a. Scrivi un'equazione che si risolve con il grafico.
________

b. Deduci dal grafico le soluzioni dell'equazione.
________

Completamento chiuso

Equazioni riconducibili a equazioni elementari

Risolvi la seguente equazione.

2 \sin x + \sin 2 x = 0

________

Completamento chiuso