Fai il punto sui fondamentali - Equazioni differenziali #450858

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{'} + x e^{x} = 1

.
È un'equazione del tipo

y^{'} = f (x)

:

y^{'} = 1 - x e^{x}

y = \int 1 - x e^{x} d x

y =

________

- x e^{x}

________

\int e^{x} d x

y = x - x e^{x} + e^{x} + c

.

Completamento chiuso

Risoluzione per sostituzione

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{'} = y + 2 x y^{2}

.

È un'equazione di Bernoulli con

α = 2

.
Per

y \neq 0

, dividiamo entrambi i membri per

y^{2}

:

\frac{y^{'}}{y^{2}} = \frac{1}{y} + 2 x

.
Posto

z =

________ abbiamo

z^{'} = -

________

y^{'} = - \frac{y^{'}}{y^{2}}

,
da cui

- z^{'} = z + 2 x \to z^{'} = - z - 2 x .

Risolviamo l'equazione lineare del primo ordine ottenuta con

a (x) = - 1

e

b (x) = - 2 x

:

A (x) = \int a (x) d x = - x

;

\int b (x) e^{- A (x)} d x = \int - 2 x e^{x} d x =

- 2 x e^{x}

________

\int 2 e^{x} d x = 2 e^{x} (1 - x) =

.
Allora

z =

________

[2 e^{x} (1 - x) + c] .

Sostituendo otteniamo:

y = \frac{e^{x}}{2 e^{x} (1 - x) + c} .

A queste soluzioni si deve aggiungere

y = 0

.

Completamento chiuso

Verifica della soluzione

Quale delle seguenti funzioni è l'integrale generale dell'equazione

y^{'} - 6 y = 0

?

A:

y = e^{6 x} + x

B:

y = e^{6 x} + c

C:

y = c e^{6 x}

D:

y = e^{c x}

Scelta multipla

Equazioni differenziali del primo ordine

Associa a ciascun tipo di equazione differenziale del primo ordine l'esempio corrispondente.

1.

y^{'} = f (x)

________

2. A variabili separabili ________

3. Lineare. ________

4. Omogenea. ________

5. Di Bernoulli. ________

Posizionamento

Risoluzione per sostituzione

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{'} = \frac{x^{3} + y^{3}}{x y^{2}}

.

È un'equazione omogenea.
Posto

y = x t (x)

, con

t \neq 0

abbiamo

y^{'} = t (x) + x t^{'} (x)

,
da cui

t + x t^{'} =

________

x t^{'} =

________

- t

x t^{'} = \frac{1}{t^{2}}

.
Risolviamo l'equazione a variabili separabili ottenuta:

\frac{d t}{d x} = \frac{1}{x t^{2}}

\int

________

d t = \int \frac{d x}{x}

________

= \ln | x | + c

t = \sqrt[3]{3 (\ln | x | + c)}

y = x \sqrt[3]{3 (\ln | x | + c)}

.

Completamento chiuso

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{'} = 4 x \sqrt{y - 1}

.

È un'equazione a variabili separabili:

\frac{d y}{d x} = 4 x \sqrt{y - 1}

.
Per

y \neq 1

e abbiamo:

\frac{d y}{\sqrt{y - 1}} = 4 x d x

\int \frac{d y}{\sqrt{y - 1}} = \int 4 x d x

________

\sqrt{y - 1} =

________

x^{2} + c

4 (y - 1) = (2 x + c)^{2}

y = {(\frac{2 x + c}{2})}^{2} + 1

,

c \in R

.
Inoltre

y = 1

________ soluzione dell'equazione differenziale.

Completamento chiuso

Risoluzione di un'equazione differenziale del primo ordine

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{'} + 3 \sin x = y \sin x

.

È un'equazione a variabile separabili:

y^{'} = y \sin x - 3 \sin x

\frac{d y}{d x} = \sin x (y - 3)

.
Per

y \neq

________ abbiamo:

\frac{d y}{y - 3} = \sin x d x

\int \frac{d y}{y - 3} = \int \sin x d x

\ln | y - 3 | =

________

\cos x + c

| y - 3 | = e^{- \cos x + c}

y - 3 = \pm e^{- \cos x + c}

y = k e^{- \cos x} +

________,

k \in R - {0}

.
Osservato che anche

y = 3

è soluzione dell'equazione, l'integrale generale può quindi essere scritto come:

y = k e^{- \cos x} + 3, k \in R

.

Completamento chiuso

Risoluzione per sostituzione

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

2 y y^{'} = y^{2}

.

Posto

z =

________, derivando e sostituendo l'equazione diventa:

z^{'} = z

Per

z \neq 0

abbiamo:

\frac{d z}{d x} = z \to \frac{d z}{z} = d x

\int \frac{d z}{z} = \int d x

________

=

x + c

Poiché

z = y^{2} \geq 0

possiamo scrivere:

z = e^{x + c}

y = \pm e^{\frac{x + c}{2}} = k e^{\frac{x}{2}}

con

k \in

________ considerato che

y = 0

________ soluzione dell'equazione differenziale.

Completamento chiuso

Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee

Trova l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{″} + 4 y = 0

.

Scriviamo e risolviamo l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale:

z^{2} + 4 = 0

z = \pm

________.
L'integrale generale è quindi

y =

________

\cdot (c_{1} \cos 2 x + c_{2} \sin 2 x)

.

Completamento chiuso

Un problema di cauchy del primo ordine

Quale delle seguenti funzioni è soluzione del problema di Cauchy

{\begin{cases} y^{'} = 3 x^{2} - e^{x} \\ y (0) = 5 \end{cases}

?

A:

y = 6 x - e^{x} + 6

B:

y = x^{3} - e^{x} + 6

C:

y = x^{3} - e^{x} + 5

D:

y = 3 x^{3} - e^{x} + 6

Scelta multipla

Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee

Trova l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{″} + 7 y^{'} = 0

.

Scriviamo e risolviamo l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale:

z^{2} + 7 z = 0

z (z + 7) = 0

z =

________

\lor z = 0

.
La soluzione generale è

y =

________

+ c_{2} e^{- 7 x}

.

Completamento chiuso

Equazioni differenziali del secondo ordine complete

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{″} + 6 y^{'} = 12 x

.

Risolviamo l'equazione omogenea associata

y^{″} + 6 y^{'} = 0

.

Le soluzioni della sua equazione caratteristica sono:

z = 0 \lor z = - 6

.

L'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea quindi è

y_{o} =

________

+ c_{2} e^{- 6 x}

.

Cerchiamo una soluzione particolare che è del tipo

y_{p} =

________.

Determiniamo i coefficienti

a

e

b

, imponendo che

y_{p}

sia soluzione dell'equazione data:

y_{p}^{'} =

________

+ b

y_{p}^{″} = 2 a

.

Sostituendo:

2 a + 12 a x + 6 b = 12 x

,
da cui otteniamo

a = 1

,

b = - \frac{1}{3}

.
Una soluzione particolare è quindi

y_{p} = x^{2} - \frac{1}{3} x

.
L'integrale generale è:

y = c_{1} + c_{2} e^{- 6 x} + x^{2} - \frac{1}{3} x

.

Completamento chiuso

Equazioni differenziali del secondo ordine omogenee

Trova l'integrale generale dell'equazione differenziale

25 y^{″} + 10 y^{'} + y = 0

.

Scriviamo e risolviamo l'equazione caratteristica associata all'equazione differenziale:

25 z^{2} + 10 z + 1 = 0

(5 z + 1)^{2} = 0

z =

________.
L'integrale generale dell'equazione differenziale è
________.

Completamento chiuso

Equazioni differenziali del secondo ordine complete

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{″} - 4 y = 2 x e^{x}

.

Risolviamo l'equazione omogenea associata

y^{″} - 4 y^{'} = 0

.

Le soluzioni della sua equazione caratteristica sono:

z = 0 \lor z = 4

.

L'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea quindi è

y_{o} =

________

+ c_{2} e^{4 x}

.

Cerchiamo una soluzione particolare che è del tipo

y_{p} = (a x + b) \cdot

________.

Determiniamo i coefficienti

a

e

b

, imponendo che

y_{p}

sia soluzione dell'equazione data:

y_{p}^{'} =

________

+ (a x + b) e^{x} =

e^{x} (a x + a + b)

,

y_{p}^{″} = e^{x} (a x + a + b) +

________

e^{x} =

e^{x} (a x + 2 a + b)

.

Sostituendo:

e^{x} (a x + 2 a + b) - 4 e^{x} (a x + a + b) = 2 x e^{x}

e^{x} (- 3 a x - 2 a - 3 b) = 2 x e^{x}

,
da cui otteniamo

a = - \frac{2}{3}, b =

________.
Una soluzione particolare è quindi

y_{p} = (- \frac{2}{3} x + \frac{4}{9}) e^{x}

.
L'integrale generale è perciò:

y = c_{1} + c_{2} e^{4 x} + (- \frac{2}{3} x + \frac{4}{9}) e^{x}

.

Completamento chiuso

Equazioni differenziali del secondo ordine complete

Determina l'integrale generale dell'equazione differenziale

y^{″} + 9 y = \cos 3 x

.

Risolviamo l'equazione omogenea associata

y^{″} + 9 y = 0

.

Le soluzioni della sua equazione caratteristica sono:

z = \pm 3 i

.

L'integrale generale dell'equazione differenziale omogenea quindi è

y_{o} = c_{1} \cos 3 x + c_{2} \sin 3 x

.

Cerchiamo una soluzione particolare che è del tipo

y_{p} =

________

(a \cos 3 x + b \sin 3 x)

.

Determiniamo i coefficienti

a

e

b

, imponendo che

y_{p}

sia soluzione dell'equazione data:

y_{p}^{'} = (a \cos 3 x + b \sin 3 x) +

+ x (- 3 a \sin 3 x

________

3 b \cos 3 x) =

(a + 3 b) \cos 3 x + (b - 3 a x) \sin 3 x

,

y_{p}^{″} = 3 b \cos 3 x - 3 (a + 3 b x) \sin 3 x +

- 3 a \sin 3 x + 3 (b - 3 a x) \cos 3 x =

(6 b - 9 a x) \cos 3 x +

(- 6 a

________

9 b x) \sin 3 x

,

da cui otteniamo

a = 0

,

b = \frac{1}{6}

.
Una soluzione particolare è quindi

y_{p} = \frac{1}{6} x

________

3 x

.

L'integrale generale è la somma di

y_{0}

e

y_{p}

:

y = c_{1} \cos 3 x + c_{2} \sin 3 x + \frac{1}{6} x \sin 3 x

.

Completamento chiuso

Un problema di Cauchy del secondo ordine

Quale delle seguenti è la soluzione del problema di Cauchy

{\begin{cases} y^{″} - y^{'} - 2 y = 3 e^{2 x} \\ y (0) = 5 \\ y^{'} (0) = - 1 \end{cases}

?

A:

y = c_{1} e^{2 x} + c_{2} e^{- x} + x e^{2 x}

,

c_{1}

,

c_{2} \in R

.

B:

y = e^{2 x} + 4 e^{- x} + x e^{2 x}

C:

y = e^{2 x} + 4 e^{- x}

D:

y = 8 x e^{2 x}

Scelta multipla

Un problema di fisica

Una barca si muove sulla superficie di un lago con velocità, espressa in

m / s

,

v (t) = 4 - 4 x (t)

, dove

x (t)

è l'ascissa del centro di massa della barca espressa in

m

. La posizione al tempo

t = 0

s

è

x_{0} = 2 m

. Determina come varia

x

al variare di

t

, espresso in

s

.

Scriviamo la funzione

v (t)

come derivata della funzione

x (t)

, ottenendo un'equazione differenziale a variabili separabili:

x^{'} = 4 - 4 x

\frac{d x}{d t} = 4 (1 - x)

\int \frac{d x}{1 - x} = \int 4 d t

- \ln | 1 - x | = 4 t + c

| 1 - x | = e^{4 t + c}

x (t) = k e^{- 4 t}

________

1

.

Imponiamo la condizione ________:

k e^{0} + 1 = 2

k = 1

.

La posizione del centro di massa è descritta quindi dalla funzione

x (t) = e^{- 4 t} + 1

.

Completamento chiuso