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Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoMatematica.verde (terza edizione) Volume 529. Analisi numerica

Fai il punto sui fondamentali - Analisi numerica

8 esercizi
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Matematica

Separazione delle radici
Considera la funzione x5−3x−1 e l'equazione f(x)=0. Stabilisci quale delle seguenti affermazioni è falsa.
A:
Nell'intervallo [0;2], l'equazione ha una sola soluzione.
B:
Nell'intervallo [−1,5;−1] la funzione f(x) ha un solo zero.
C:
Il grafico di f(x) interseca l'asse delle ascisse in un solo punto.
D:
I grafici delle funzioni h(x)=x5 e g(x)=3x+1 si intersecano in tre punti.
Scelta multipla
1

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Matematica

Metodo di bisezione
Considera l'equazione x5+x3−1=0.
a.   Dimostra che nell'intervallo [0;1] l'equazione ha una sola soluzione e determina con il metodo di bisezione il suo valore approssimato con una cifra decimale esatta.
b.   Quante iterazioni bisognerebbe fare per avere un'approssimazione con un errore minore di 10−3?

a.   Consideriamo la funzione f(x)=x5+x3−1.
Osserviamo che
• f(x) è continua;
• f(0)=−1<0;
• f(1)=________>0.
Per il teorema di esistenza degli zeri, f(x) ammette ________ uno zero nell'intervallo [0;1].
Poiché f′(x)=5x4+3x2≥0,
f(x) è ________.
Dunque la soluzione dell'equazione f(x)=0 è unica.
Con la tabella seguente, dove ________ otteniamo che la soluzione approssimata a una cifra decimale esatta è quindi x=0,8.


b.   ________
Completamento chiuso
1

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Matematica

Metodo del punto unito
L'equazione 12ex−1−x=0 ha due soluzioni c1 e c2. che appartengono rispettivamente agli intervalli [0;2] e [2;3].
A:
La condizione sufficiente di convergenza per utilizzare il metodo del punto unito è soddisfatta per entrambi gli intervalli.
B:
La successione ottenuta con il metodo del punto unito converge alla soluzione c1 qualunque sia il punto x0∈[0;2] di partenza.
C:
La successione ottenuta con il metodo del punto unito converge alla soluzione c2 qualunque sia il punto x0∈[2;3] di partenza.
D:
Il valore 0,231 è un'approssimazione esatta di c1 fino alla terza cifra decimale.
Vero o falso
1

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Matematica

Integrazione con il metodo dei rettangoli
Calcola due valori approssimati dell'integrale ∫01xx2+13dx con il metodo dei rettangoli utilizzando una suddivisione in 8 parti.

Suddividiamo l'intervallo [0;1] in 8 parti di ampiezza
h=________=0,125.
Compiliamo la tabella con i punti di suddivisione dell'intervallo e i corrispondenti valori della funzione integranda.


Calcoliamo le somme
Sn′=b−an∑i=0n−1f(xi)=
0,125⋅(0+0,126+0,255+0,392+0,539+
+0,698+0,870+________)=0,492
e
Sn=b−an∑i=1nf(xi)=
0,125⋅(________+0,255+0,392+0,539+
0,698+0,870+1,058+1,260)=0,650.

Completamento chiuso
1

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Matematica

Metodo delle tangenti
Verifica che l'equazione cos⁡x=x2−3x ha un'unica soluzione nell'intervallo [2;3] e determinala con due cifre decimali esatte usando il metodo delle tangenti.

Tracciamo i grafici delle funzioni
g(x)=cos⁡x e h(x)=x2−3x
e osserviamo che essi hanno un'unica intersezione nell'intervallo [2;3].

Consideriamo la funzione f(x)=x2−3x−cos⁡x e verifichiamo che la derivata seconda ha segno costante:
f′(x)=2x−3+sin⁡x,
f″(x)=2+________________ per ogni x∈[2;3].

Poiché
f(2)=−2−cos⁡2>0
f(3)=−cos⁡3<0
la funzione è concorde con la derivata seconda nel punto ________.

Applichiamo la formula di ricorrenza
xn+1=xn−f(xn)f′(xn)
partendo da x0=3.

Calcoliamo
xn+1=xn−xn2−3xn−cos⁡xn2xn−3+sin⁡xn=
________
fino a che si stabilizza la cifra dei centesimi:
la soluzione approssimata al centesimo dell'equazione è quindi x=2,66.
Completamento chiuso
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Matematica

Metodo delle secanti
Determina con il metodo delle secanti la soluzione approssimata con tre cifre decimali esatte dell'equazione x+12−sin⁡x=0.

Scriviamo l'equazione nella forma
sin⁡x=x+12
e rappresentiamo i grafici delle funzioni g(x)=sin⁡x e h(x)=x+12.

Osserviamo che la soluzione dell'equazione appartiene all'intervallo ________.
Consideriamo la funzione f(x)=x+12−sin⁡x.
Poiché
f(−2)=−2+12−sin⁡(−2)=
−32+sin⁡2<0.
e
f″(x)=________________0 per ogni x∈[−2;−1],
abbiamo f(−2)⋅f″(x)>0.
Possiamo perciò usare la formula di ricorrenza
{x0=b0xn+1=xn−a0−xnf(a0)−f(xn)⋅f(xn).

Nel caso in esame
x0=________,
xn+1=xn−−2−xn−32+sin⁡2−xn−12+sin⁡xn⋅
(xn+12−sin⁡x)=
xn+2+xnsin⁡2−2−xn+sin⁡xn⋅(xn+12−sin⁡x).

Calcolando i valori di xn fino a quando si stabilizza la cifra dei millesimi otteniamo che la soluzione approssimata al millesimo è quindi x=1,497.


Completamento chiuso
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Matematica

Integrazione con il metodo dei trapezi
Considera l'integrale ∫01211+xdx.
a.   Calcola un valore approssimato dell'integrale con il metodo dei trapezi utilizzando una suddivisione in 5 parti.
b.   Qual è una stima dell'errore commesso con l'approssimazione dell'integrale con il metodo dei trapezi usando una suddivisione in 5 parti?

a.
________

b.
________
Completamento chiuso
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Matematica

Integrazione con il metodo delle parabole
Considera ∫02sin⁡x1+cos⁡xdx.
A:
Puoi applicare il metodo delle parabole con una suddivisione in 9 intervalli.
B:
Utilizzando il metodo delle parabole con una suddivisione in 10 parti, il valore approssimato con tre cifre decimali è 1,231.
C:
Il metodo delle parabole fornisce un valore esatto dell'integrale.
Vero o falso
1

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