FIPon02bluTconiche - Sistemi parametrici e problemi geometrici #575001

Matematica

Associa a ciascun sistema il numero di soluzioni al variare del parametro

k

.

{\begin{matrix} x^{2} + 4 y^{2} = 1 \\ y = x + 2 k \\ 0 \leq x \leq 1 \land y \geq 0 \end{matrix}

________

{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} = 1 \\ y = - 4 k \\ y \geq 0 \end{matrix}

________

{\begin{matrix} y = x^{2} + x \\ y = 3 k + 1 \\ x > - 1 \end{matrix}

________

{\begin{matrix} x y = 2 \\ y = x + k \\ 0 < y < 3 \end{matrix}

________

Posizionamento

1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile). Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro assistenza

Matematica

Sull'ellisse di equazione

\frac{x^{2}}{25} + \frac{y^{2}}{16} = 1

determina un punto

P

con ascissa positiva in modo che l'area del triangolo

F_{1} F_{2} P

risulti uguale a

k

, con

k \in R_{0}^{+}

(

F_{1}

e

F_{2}

sono i fuochi dell'ellisse).

A:

2

soluzioni per

- 3 \leq k \leq 3

.

B:

1

soluzione per

0 \leq k \leq 3

.

C:

2

soluzioni per

0 < k < 3

.

D:

2

soluzioni per

0 \leq k \leq 3

.

Scelta multipla

1

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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Matematica

Completa inserendo il numero di soluzioni dei seguenti sistemi al variare del parametro

k

.

{\begin{matrix} \sqrt{5 - x} + x - k = 0 \\ 0 < x \leq 5 \end{matrix}

________ sol. per

\sqrt{5} < k < 5

.
________ sol. per

5 \leq k < \frac{21}{4}

.
________ sol. coincidenti per

k = \frac{21}{4}

.

{\begin{matrix} \sqrt{2 + x^{2}} - k x - 2 = 0 \\ x > 0 \end{matrix}

________ sol. per

k < 1

.

{\begin{matrix} \sqrt{2 x^{2} + 4 x} - k x - 8 k = 0 \\ - 3 \leq x \leq - 1 \end{matrix}

________ sol. per

0 \leq k \leq \frac{\sqrt{6}}{5}

.

Completamento chiuso

1

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Matematica

Sul segmento

\bar{A B} = 1

determina un punto

P

tale che sia valida la relazione

4 {\bar{A P}}^{2} + {\bar{P B}}^{2} = k

, con

k \in R_{0}^{+}

.

A:

1

soluzione per

\frac{4}{5} < k \leq 1

,

2

soluzioni per

\frac{4}{5} \leq k \leq 4

.

B:

2

soluzioni per

\frac{4}{5} < k \leq 1

,

1

soluzione per

\frac{4}{5} \leq k \leq 4

.

C:

2

soluzioni per

1 \leq k \leq 4

.

D:

2

soluzioni per

k \geq \frac{4}{5}

.

Scelta multipla

1

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Matematica

Considera il sistema

{\begin{matrix} \sqrt{2 - x} + x - k = 0 \\ 0 < x \leq 2 \end{matrix}

,
con

k \in R

, e stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

A: Il sistema ammette

1

soluzione per

\sqrt{2} \leq k \leq 2

.

B: Il sistema ammette

2

soluzioni per

2 \leq k < \frac{9}{4}

.

C: Il sistema ammette

2

soluzioni coincidenti per

k = - \frac{9}{4}

.

D: Se la condizione del sistema fosse

0 \leq x \leq 2

, allora il sistema ammetterebbe

1

soluzione per

\sqrt{2} \leq k < 2

.

Vero o falso

1

Il punteggio di un esercizio è determinato
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Matematica

Determina le coordinate del punto

P

, che appartiene all'arco di ellisse evidenziato, in modo che risulti:

2 \bar{P H} + \bar{P K} = k

, con

k \in R^{+}

.

A:

1

soluzione per

- 1 \leq k \leq \sqrt{37}

.

B:

1

soluzione per

6 \leq k \leq \sqrt{37}

,

2

soluzioni per

1 \leq k < 6

.

C:

1

soluzione per

1 \leq k < 6

,

2

soluzioni per

6 \leq k \leq \sqrt{37}

.

D:

2

soluzioni per

1 \leq k \leq \sqrt{37}

.

Scelta multipla

1

Il punteggio di un esercizio è determinato
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Matematica

Dato il triangolo equilatero

A B C

di lato

12

cm, determina sul lato

A B

un punto

P

tale che:

{\bar{P B}}^{2} + {\bar{P A}}^{2} = k \cdot {\bar{P D}}^{2}

,
dove

D

è il piede della perpendicolare condotta da

P

sul lato

A C

e

k

è un parametro reale positivo.

Chiamiamo

x

la misura del segmento

P A

. Il punto

P

deve appartenere al segmento

A B

, quindi ________.
Il segmento

P B

misura quindi ________. Per costruzione, il triangolo

A P D

è rettangolo, con angoli di

60^{\circ}

e

30^{\circ}

. Quindi

\bar{P D} =

________.
Riscriviamo la relazione iniziale:

{\bar{P B}}^{2} + {\bar{P A}}^{2} = k \cdot {\bar{P D}}^{2} \to

(12 - x)^{2} + x^{2} = k {(\frac{\sqrt{3}}{2} x)}^{2}

.
Eseguiamo i calcoli e riordiniamo; otteniamo:

(8 - 3 k) x^{2} - 96 x + 576 = 0

.
Se

k = \frac{8}{3}

l'equazione diventa di primo grado con soluzione

x = 6

, che è accettabile perché soddisfa la condizione

0 \leq x \leq 12

.
Se

k \neq \frac{8}{3}

, l'equazione è di secondo grado e possiamo calcolare il discriminante:

Δ = 9216 - 4 (8 - 3 k) \cdot 576 \to

Δ = 6912 k - 9216

.
L'equazione ha soluzioni se

Δ

________

0

:

6912 k - 9216 \geq 0 \to

k \geq

________.
Se

k \geq \frac{4}{3}

le soluzioni sono

x_{1, 2} = \frac{96 \pm \sqrt{6912 k - 9216}}{2 (8 - 3 k)}

.
Osserviamo che se

k > \frac{4}{3}

solo una soluzione soddisfa la condizione

0 \leq x \leq 12

.
Considerando anche il valore

k = \frac{8}{3}

discusso in precedenza, possiamo dire che in generale per

k >

________ abbiamo

1

soluzione, per

k = \frac{4}{3}

ci sono due soluzioni coincidenti.

Completamento chiuso

1

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Matematica

Indica se le seguenti affermazioni sul metodo della parabola fissa sono vere o false.

A: Si deve inizialmente porre

y = x

per trasformare l'equazione in un sistema di due equazioni.

B: Osservando il grafico si discute al variare del parametro il numero di intersezioni tra la parabola e le rette del fascio.

C: Il metodo prevede lo studio di un fascio di parabole.

D: Al variare del parametro, si trovano sempre due soluzioni.

Vero o falso

1

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