Matematica - Scuola secondaria di secondo gradoMatematica.verde triennio (3ª edizione) Matematica.verde triennio (3ª edizione) / Matematica.verde triennio (3ª ed.)ε1. Serie di funzioni e serie di potenze

FIPepsilon01 - Serie di funzioni e serie di potenze

11 esercizi
SVOLGI
INFO

Matematica

Serie di funzioni
Data la serie di funzioni ∑ n = 1 + ∞ ( e n x − e ( n + 1 ) x ) , associa a ogni elemento la sua espressione.

f 3 ( x )   ________
f n ( 3 )   ________
s 3 ( x )   ________
s n ( 3 )   ________

Posizionamento
1

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Matematica

Serie uniformemente convergente
Considera la serie ∑ n = 0 + ∞ ( x 3 − 7 ) n e la sua somma s ( x ) .
A: La serie converge uniformemente in [ a ; b ] per ogni a e b tali che 6 3 < a < b < 2 .
B: La serie converge uniformemente in ] 6 3 ; 2 [ .
C: Per x ∈ [ 9 5 ; 19 10 ] la somma della serie ∑ n = 1 + ∞ 3 x 2 n ( x 3 − 7 ) n − 1 è f ( x ) = 3 x 2 ( 8 − x 3 ) 2 .
D: ∫ 9 5 19 10 s ( x ) d x = ∑ n = 0 + ∞ 1 n + 1 ( 10 − 3 − 7 ) n + 1
Vero o falso
1

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Matematica

Intervallo di convergenza
Determina l'intervallo di convergenza delle seguenti serie di potenze:
a.    ∑ n = 0 + ∞ 3 n n ! x n ;
b.    ∑ n = 0 + ∞ n + 1 3 n x n ;
c.    ∑ n = 0 + ∞ n n 3 n x n ;
d.    ∑ n = 0 + ∞ n n 2 + 1 x n .

a.    ∑ n = 0 + ∞ 3 n n ! x n
lim n → + ∞ [ 3 n + 1 ( n + 1 ) ! ⋅ n ! 3 n ] =
lim n → + ∞ [ 3 n + 1 ] = ________ → r = + ∞
La serie ________.

b.    ∑ n = 0 + ∞ n + 1 3 n x n
lim n → + ∞ [ ________ ⋅ 3 n n + 1 ] =
lim n → + ∞ [ n + 2 3 ( n + 1 ) ] = 1 3 → r = ________
La serie converge in ________.

c.    ∑ n = 0 + ∞ n n 3 n x n
lim n → + ∞ | n n 3 n | n = ________ → r = 0
La serie ________.

d.    ∑ n = 0 + ∞ n n 2 + 1 x n
lim n → + ∞ | n n 2 + 1 | n = 1 → r = ________
La serie converge in ________.
Completamento chiuso
1

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Matematica

Integrazione e derivazione per serie
Usando i teoremi di integrazione e di derivazione, calcola la somma di ciascuna delle seguenti serie di potenze:
a.   ∑ n = 0 + ∞ ( n + 1 ) x n ;
b.   ∑ n = 1 + ∞ 2 n x n .

a.   ∑ n = 0 + ∞ ( n + 1 ) x n
∑ n = 1 + ∞ x n = 1 1 − x − 1 , − 1 < x < 1 ;
∑ n = 0 + ∞ ( n + 1 ) x n = ________, − 1 < x < 1 .

b.   ∑ n = 1 + ∞ 2 n x n
∑ n = 0 + ∞ 2 x n = ________, − 1 < x < 1 ;
∑ n = 1 + ∞ 2 n x n = 2 ( 1 − x ) 2 , − 1 ≤ x < 1 .
Completamento chiuso
1

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Matematica

Polinomio di Taylor
Scrivi il polinomio di Taylor del terzo ordine con punto iniziale x 0 = 2 della funzione f ( x ) = 1 3 − x .

f ( x 0 ) + f ′ ( x 0 ) ( x − x 0 ) + f ″ ( x 0 ) 2 ! ( x − x 0 ) 2 + f ‴ ( x 0 ) 3 ! ( x − x 0 ) 3 =

________ + f ′ ( 2 ) ( x − 2 ) + f ″ ( 2 ) 2 ( x − 2 ) 2 + ________ ( x − 2 ) 3 =

1 + ( x − 2 ) + ________ ( x − 2 ) 2 + ( x − 2 ) 3
Completamento chiuso
1

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Matematica

Criterio di Weierstrass
La serie ∑ n = 1 + ∞ x n ( n + x 2 ) converge uniformemente:
A: in ogni intervallo [ a ; b ] ⊆ R .
B: solo nell'intervallo [ 0 ; 1 ] .
C: solo nell'intervallo [ 0 ; 1 [ .
D: in nessun intervallo.
Scelta multipla
1

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Matematica

Serie di potenze
Associa a ogni serie di potenze il punto iniziale.

∑ n = 0 + ∞ 5 n x n   ________
∑ n = 0 + ∞ n 2 ( 5 x − 1 ) n   ________
∑ n = 0 + ∞ n ( x − 5 ) n   ________
∑ n = 0 + ∞ 1 5 n ( x − 5 ) n   ________
Posizionamento
1

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Matematica

Convergenza puntuale
In quale dei seguenti insiemi converge puntualmente la serie ∑ n = 1 + ∞ 1 n ( 1 − x 2 ) n ?
A: [ − 2 ; 2 ]
B: [ − 2 ; 2 ]
C: [ − 2 ; 2 ] − { 0 }
D: ] − 2 ; 2 [
Scelta multipla
1

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Matematica

Sviluppo in serie di Maclaurin
Scrivi lo sviluppo in serie di Maclaurin della funzione f ( x ) = x ln ⁡ ( 1 + 3 x ) , indicando l'intervallo di convergenza.

∑ n = 0 + ∞ f n ( x 0 ) n ! ( x − x 0 ) n =

∑ n = 0 + ∞ f ( n ) ( 0 ) n ! x n = − x ∑ n = 1 + ∞ ( − 3 ) n n x n =

________ x 2 − 9 2 x 3 + ________ x 4 − 81 4 x 5 + O ( x 6 )

Converge per | x | < ________ ∨ 3 x = 1 .
Completamento chiuso
1

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Matematica

Formula di Maclaurin
Scrivi la formula di Maclaurin del terzo ordine con il resto nella forma di Lagrange per la funzione f ( x ) = x e 4 x .

f ( 0 ) + f ′ ( 0 ) x + f ″ ( 0 ) 2 ! x 2 + f ‴ ( 0 ) 3 ! x 3 + f ⁗ ( c ) 4 ! x 4 =

x + ________ x 2 + 8 x 3 + ________ e 4 c ( 1 + c ) c 4
Completamento chiuso
1

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Matematica

Serie di potenze nel campo complesso
Determina il cerchio di convergenza della serie ∑ n = 1 + ∞ ( 5 i ) n n z n .

lim n → + ∞ [ ( 5 ) n + 1 n + 1 ⋅ n ( 5 ) n ] =
lim n → + ∞ [ 5 n n + 1 ] = 5 → r = 1 5
________.
Completamento chiuso
1

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