Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) / Volume 3 Parabole e rette, ricerca dell'equazione di una parabola

FIP2AZZino05 - La parabola

10 esercizi

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Matematica

Posizione di una retta rispetto a una parabola

Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, osservando la parabola nella figura. La retta di equazione:

x = 5

è esterna alla parabola.

y = 5

è esterna alla parabola.

y = x + 2

è secante alla parabola.

y = 3

è tangente alla parabola.

Vero o falso

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Matematica

Posizione di una retta rispetto a una parabola

Determina gli eventuali punti di intersezione tra la retta e la parabola che hanno le seguenti equazioni.

y = - x - 2

y = x^{2} + 6 x + 8

.

Mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della parabola:

{\begin{matrix} y = - x - 2 \\ y = x^{2} + 6 x + 8 \end{matrix} .

Per confronto, otteniamo:

x^{2} + 6 x + 8 = - x - 2 \to

________;

Δ =

________

> 0.

Quindi la retta è ________.
Le ascisse dei punti di intersezione sono:
________.
Sostituendo tali valori nell'equazione della retta, troviamo anche le ordinate dei punti di intersezione, che sono:
________.

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Matematica

Posizione di una retta rispetto a una parabola

Determina gli eventuali punti di intersezione tra la retta e la parabola che hanno le seguenti equazioni.

y = x + 1

y = - x^{2} + 5 x - 4

.

Mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della parabola:

{\begin{matrix} y = x + 1 \\ y = - x^{2} + 5 x - 4 \end{matrix} .

Per confronto, otteniamo:
________

= 0

.
L'equazione ha il discriminante

Δ

________

0

, quindi la retta è ________ alla parabola.
Pertanto ________ punti di intersezione.

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Matematica

Rette tangenti a una parabola

Stabilisci se i punti

A (- 3; - 13)

B (- 2; - 8)

appartengono alla parabola di equazione

y = x^{2} + 6 x

e determina le tangenti alla parabola passanti per

A

e quelle passanti per

B

.

Sostituiamo le coordinate di

A

nell'equazione della parabola:
________.
Poiché l'uguaglianza è ________,

A

________ alla parabola.
Scriviamo l'equazione del fascio di rette passanti per

A

:
________

= m

(

________

) \to

y =

________.
Mettiamo a sistema le equazioni del fascio di rette e della parabola:
________.
Per confronto, otteniamo

x^{2} + 6 x - m x - 3 m + 13 = 0

.
Calcoliamo il discriminante

Δ

Δ = (

________

)^{2} - 4 \cdot (

________

) =

m^{2} - 16

.
Imponiamo la condizione di tangenza:

Δ = m^{2} - 16 =

________

\to

m_{1, 2} = \pm 4

.
Sostituiamo i valori trovati nell'equazione della ________ e otteniamo:

t_{1}

y = 4 x

________;

t_{2}

y = - 4 x

________.

Sostituiamo ora le coordinate di

B

nell'equazione della parabola:

- 8 = (- 2)^{2} + 6 (- 2)

.
Poiché l'uguaglianza è ________,

B

________ alla parabola. Troveremo perciò ________.
Scriviamo l'equazione del fascio di rette passanti per

B

y = m x

________

- 8.

Poniamo a sistema le equazioni del fascio di rette e della parabola:
________.
Per confronto, otteniamo

x^{2} + (6 - m) x

________

+ 8 = 0

.
Imponiamo la condizione di tangenza,

Δ = 0

(6 - m)^{2} - 4 \cdot (

________

) = 0

.
Risolvendo l'equazione otteniamo
________.
Sostituiamo

m

nell'equazione della ________. Quindi le rette

B

tangenti alla parabola sono
________.

Completamento chiuso

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Matematica

Parabola per tre punti

Scrivi l'equazione della parabola, con l'asse parallelo all'asse

y

, che passa per i punti

A (0; - 5)

B (1, 3)

C (3; - 11)

.

L'equazione generale della parabola è

y = a x^{2} + b x + c

.
Per determinare i parametri

a

b

c

imponiamo il passaggio della parabola per i tre punti.
Sostituiamo le coordinate di

A

B

C

nell'equazione della parabola e otteniamo il sistema:
________.
Risolviamo il sistema e otteniamo:
________.
La parabola cercata ha equazione:
________.

Completamento chiuso

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Matematica

Parabola noti il vertice e un punto

Determina l'equazione di una parabola, con l'asse parallelo all'asse $y$ , che ha per vertice il punto $(- 3; \frac{11}{2})$ e passa per il punto $(0; 1)$ .

Imponiamo le condizioni date all'equazione della parabola, $y = a x^{2} + b x + c$ :

passaggio per $(0; 1)$ : ________;
ascissa di $V$ : $- \frac{b}{2 a} =$ ________ $\to$
$b =$ ________ $a$ ;
passaggio per $V$ :
________.

Mettiamo a sistema le tre equazioni

________.

Risolviamo il sistema e otteniamo

________.

Quindi, l'equazione della parabola è

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Determinare l'equazione di una parabola

Scrivi l'equazione della parabola deducendo i dati dalla figura.

Dal grafico deduciamo che il vertice ha ________ uguale a

3

. Inoltre la parabola passa per i punti

(0; 0)

e ________.
Imponiamo le condizioni date all'equazione della parabola. Otteniamo il sistema
________.
Risolvendo il sistema troviamo:
________.
L'equazione della parabola è quindi
________.

Completamento chiuso

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Matematica

Determinare l'equazione di una parabola

Scrivi l'equazione della parabola deducendo i dati dalla figura.

Dal grafico deduciamo che il vertice della parabola ha le coordinate ________ e che la parabola passa per il punto $(0; 1)$ . Imponiamo queste condizioni all'equazione della parabola $y = a x^{2} + b x + c$ :

passaggio per $V$ :
________;
passaggio per $(0; 1)$ :
________;
ascissa di $V$ : $- \frac{b}{2 a} =$ ________ $\to$
$b =$ ________.

Mettiamo a sistema le tre equazioni e otteniamo

________.

Il sistema è soddisfatto per

________.

L'equazione della parabola è quindi

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Determinare l'equazione di una parabola

Scrivi l'equazione della parabola deducendo i dati dalla figura.

Dal grafico deduciamo che la parabola passa per i punti $(3; - 4)$ e ________ e che l'asse ha equazione $x = \frac{1}{2}$ .
Imponiamo le condizioni date all'equazione della parabola $y = a x^{2} + b x + c$ :

passaggio per $(3; - 4)$ :
________;
passaggio per ________:
________;
equazione dell'asse:
________ $= \frac{1}{2}$ .

Mettiamo a sistema le tre equazioni e otteniamo

________.

I parametri che soddisfano il sistema sono

________.

Quindi l'equazione della parabola cercata è

________.

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Matematica

Problema con la parabola

Le arcate nella Casa Milà di Gaudi a Barcellona sono ben approssimabili con archi di parabole. Se si rappresenta un tratto d'arcata con il grafico a fianco della foto, determina:

l'equazione della parabola con vertice $V$ ;
l'ascissa del punto di intersezione dell'arco con l'asse $x$ .

Dal grafico deduciamo che la parabola ha vertice in $V (0; 5)$ e passa per $P (5; \frac{5}{2})$ .
Sostituiamo le coordinate di $V$ e $P$ nell'equazione generale della parabola $y = a x^{2} + b x + c$ , e usiamo la condizione sull'ascissa del vertice per scrivere il seguente sistema:
________.
Risolvendo il sistema otteniamo:
${\begin{matrix} a = - \frac{1}{10} \\ b = 0 \\ c = 5 \end{matrix}$ .
Quindi, l'equazione della parabola è $y =$ ________.
Per determinare l'ascissa del punto di intersezione con l'asse $x$ , dobbiamo risolvere il sistema
________.
Risolvendo per confronto, otteniamo $x = \pm 5 \sqrt{2}$ .
Dal grafico si deduce che ________, dunque l'ascissa cercata è $x =$ ________.

Completamento chiuso

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