Tipo di esercizi
Completamento chiuso,
Vero o falso
Libro
Lineamenti di matematica.azzurro triennio (2ª ed.) / Volume 3
Capitolo
Parabole e rette, ricerca dell'equazione di una parabola
INFO

Matematica

Posizione di una retta rispetto a una parabola
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false, osservando la parabola nella figura. La retta di equazione:
A: x=5 è esterna alla parabola.
B: y=5 è esterna alla parabola.
C: y=x+2 è secante alla parabola.
D: y=3 è tangente alla parabola.
Vero o falsoVero o falso
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Matematica

Posizione di una retta rispetto a una parabola
Determina gli eventuali punti di intersezione tra la retta e la parabola che hanno le seguenti equazioni.
y=x2,          y=x2+6x+8.

Mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della parabola:
{y=x2y=x2+6x+8.
Per confronto, otteniamo:
x2+6x+8=x2  
________;
Δ=________>0.
Quindi la retta è ________.
Le ascisse dei punti di intersezione sono:
________.
Sostituendo tali valori nell'equazione della retta, troviamo anche le ordinate dei punti di intersezione, che sono:
________.
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Matematica

Posizione di una retta rispetto a una parabola
Determina gli eventuali punti di intersezione tra la retta e la parabola che hanno le seguenti equazioni.
y=x+1,       y=x2+5x4.

Mettiamo a sistema l'equazione della retta e quella della parabola:
{y=x+1y=x2+5x4.
Per confronto, otteniamo:
________=0.
L'equazione ha il discriminante Δ________0, quindi la retta è ________ alla parabola.
Pertanto ________ punti di intersezione.
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Matematica

Rette tangenti a una parabola
Stabilisci se i punti A(3;13) e B(2;8) appartengono alla parabola di equazione y=x2+6x e determina le tangenti alla parabola passanti per A e quelle passanti per B.

Sostituiamo le coordinate di A nell'equazione della parabola:
________.
Poiché l'uguaglianza è ________, A________ alla parabola.
Scriviamo l'equazione del fascio di rette passanti per A:
________=m(________)
y=________.
Mettiamo a sistema le equazioni del fascio di rette e della parabola:
________.
Per confronto, otteniamo x2+6xmx3m+13=0.
Calcoliamo il discriminante Δ:
Δ=(________)24(________)=
m216.
Imponiamo la condizione di tangenza:
Δ=m216=________m1,2=±4.
Sostituiamo i valori trovati nell'equazione della ________ e otteniamo:
t1:   y=4x________;
t2:   y=4x________.

Sostituiamo ora le coordinate di B nell'equazione della parabola:
8=(2)2+6(2).
Poiché l'uguaglianza è ________, B________ alla parabola. Troveremo perciò ________.
Scriviamo l'equazione del fascio di rette passanti per B:
y=mx________8.
Poniamo a sistema le equazioni del fascio di rette e della parabola:
________.
Per confronto, otteniamo
x2+(6m)x________+8=0.
Imponiamo la condizione di tangenza, Δ=0:
(6m)24(________)=0.
Risolvendo l'equazione otteniamo
________.
Sostituiamo m nell'equazione della ________. Quindi le rette B tangenti alla parabola sono
________.




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Matematica

Parabola per tre punti
Scrivi l'equazione della parabola, con l'asse parallelo all'asse y, che passa per i punti A(0;5), B(1,3) e C(3;11).

L'equazione generale della parabola è y=ax2+bx+c.
Per determinare i parametri a, b e c imponiamo il passaggio della parabola per i tre punti.
Sostituiamo le coordinate di A, B e C nell'equazione della parabola e otteniamo il sistema:
________.
Risolviamo il sistema e otteniamo:
________.
La parabola cercata ha equazione:
________.
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Matematica

Parabola noti il vertice e un punto

Determina l'equazione di una parabola, con l'asse parallelo all'asse y, che ha per vertice il punto (3;112) e passa per il punto (0;1).

Imponiamo le condizioni date all'equazione della parabola, y=ax2+bx+c:

  • passaggio per (0;1): ________;
  • ascissa di V: b2a=________

    b=________a;

  • passaggio per V:
    ________.

Mettiamo a sistema le tre equazioni

________.

Risolviamo il sistema e otteniamo

________.

Quindi, l'equazione della parabola è

________.



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Matematica

Determinare l'equazione di una parabola
Scrivi l'equazione della parabola deducendo i dati dalla figura.

Dal grafico deduciamo che il vertice ha ________ uguale a 3. Inoltre la parabola passa per i punti (0;0) e ________.
Imponiamo le condizioni date all'equazione della parabola. Otteniamo il sistema
________.
Risolvendo il sistema troviamo:
________.
L'equazione della parabola è quindi
________.
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Matematica

Determinare l'equazione di una parabola

Scrivi l'equazione della parabola deducendo i dati dalla figura.

Dal grafico deduciamo che il vertice della parabola ha le coordinate ________ e che la parabola passa per il punto (0;1). Imponiamo queste condizioni all'equazione della parabola y=ax2+bx+c:

  • passaggio per V:
    ________;
  • passaggio per (0;1):
    ________;
  • ascissa di V: b2a=________

    b=________.

Mettiamo a sistema le tre equazioni e otteniamo

________.

Il sistema è soddisfatto per

________.

L'equazione della parabola è quindi

________.

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Matematica

Determinare l'equazione di una parabola

Scrivi l'equazione della parabola deducendo i dati dalla figura.

Dal grafico deduciamo che la parabola passa per i punti (3;4) e ________ e che l'asse ha equazione x=12.
Imponiamo le condizioni date all'equazione della parabola y=ax2+bx+c:

  • passaggio per (3;4):
    ________;
  • passaggio per ________:
    ________;
  • equazione dell'asse:
    ________=12.

Mettiamo a sistema le tre equazioni e otteniamo

________.

I parametri che soddisfano il sistema sono

________.

Quindi l'equazione della parabola cercata è

________.

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Matematica

Problema con la parabola

Le arcate nella Casa Milà di Gaudi a Barcellona sono ben approssimabili con archi di parabole. Se si rappresenta un tratto d'arcata con il grafico a fianco della foto, determina:

  1. l'equazione della parabola con vertice V;
  2. l'ascissa del punto di intersezione dell'arco con l'asse x.

  1. Dal grafico deduciamo che la parabola ha vertice in V(0;5) e passa per P(5;52).
    Sostituiamo le coordinate di V e P nell'equazione generale della parabola y=ax2+bx+c, e usiamo la condizione sull'ascissa del vertice per scrivere il seguente sistema:
    ________.
    Risolvendo il sistema otteniamo:
    {a=110b=0c=5.
    Quindi, l'equazione della parabola è y=________.
  2. Per determinare l'ascissa del punto di intersezione con l'asse x, dobbiamo risolvere il sistema
    ________.
    Risolvendo per confronto, otteniamo x=±52.
    Dal grafico si deduce che ________, dunque l'ascissa cercata è x=________.
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