FIP06bbtbluG5 - I quadrilateri inscritti e circoscritti, i poligoni regolari

Nell'esagono regolare $ABCDEF$ conduci le diagonali $AC$, $BF$, $BD$ e chiama $P$ e $Q$ i loro punti di intersezione. Calcola il perimetro del triangolo $BPQ$, sapendo che l'apotema dell'esagono è di $12$ cm.

Disegniamo la figura.

Gli angoli interni di un esagono regolare misurano ________.

$ACB$ e $FBA$ sono triangoli isosceli con gli angoli alla base che misurano ________

$D\hat{B}F\cong A\hat{B}C$________$C\hat{B}D$________$A\hat{B}F={60}^{\circ }$.

Consideriamo i triangoli $ABP$ e $BCQ$. Essi hanno:

• $AB\cong BC$ per ipotesi;
• $P\hat{A}B\cong P\hat{B}A\cong Q\hat{B}C\cong Q\hat{C}B$ per dimostrazione precedente;

quindi i triangoli $ABP$ e $BCQ$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza tra triangoli.

In particolare, $BP\cong$________ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Quindi il triangolo $PQB$ è isoscele con l'angolo al vertice di ${60}^{\circ }$ cioè è ________.

Sia $O$ il centro dell'esagono, $AOB$ è un triangolo equilatero dove l'apotema è la sua ________.

Troviamo quindi il lato dell'esagono $\ell$:

$144$________${\displaystyle \frac{{\ell }^2}{4}={\ell }^2\to }$

${\ell }^2=192\to \ell =8\sqrt{3}$ cm.

Inoltre $PHB$, dove $H$ è il piede dell'altezza di $APB$, è metà triangolo equilatero quindi troviamo la misura di $PB$, $s$:

$(4\sqrt{3}{)}^2+$________$=s^2\to$

$s^2=64\to s=$________ cm.

Troviamo infine il perimetro di $BPQ$:

$2p_{BPQ}=8\cdot$________$=$________ cm.

In un esagono regolare scegli due vertici opposti. Da questi vertici traccia le due diagonali non passanti per il centro. Dimostra che queste, incontrandosi, determinano un rombo.

Disegniamo la figura.

Sia $ABCDEF$ l'esagono e siano $G$ e $H$ i punti di intersezione delle diagonali tracciate a partire dai vertici $A$ e $D$.

Ipotesi

$ABCDEF$ esagono regolare.

Tesi

$DG\cong AG\cong AH\cong DH$.

L'esagono è regolare quindi i triangoli $FED$, $AFE$, $CBA$ e $DCB$ sono tutti ________ e tra loro congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

Consideriamo i triangoli $DEG$, $AFG$ e $ABH$. Essi hanno:

• $E\hat{D}G\cong F\hat{A}G\cong B\hat{A}H$ per dimostrazione precedente;
• $D\hat{E}G\cong A\hat{F}G\cong A\hat{B}H$ perché tutti congruenti alla differenza tra angoli ________ dell'esagono e angoli ________ dei triangoli isosceli;
• $DE\cong AF\cong BA$ per ipotesi;

quindi i triangoli $DEG$,  $AFG$ e $ABH$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli.

In particolare, $DG\cong$________$\cong AH$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Analogamente possiamo dimostrare anche la congruenza del segmento $DH$.

Quindi $DG$$\cong$________$\cong AH\cong DH$ e cioè $AGDH$ è un ________.