Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - I sistemi letterali e fratti

FIP06bbtblu14 - I sistemi lineari e fratti

10 esercizi

SVOLGI

INFO

È dato il sistema

{\begin{cases} (a + 3) x + (3 - 2 a) y = 4 \\ (a + 3) x + (2 a - 3) y = 4 \end{cases}

.
Quale delle seguenti affermazioni è falsa?

a = - 3

, il sistema è impossibile.

a \neq - \frac{3}{2}

, il sistema è determinato e ha soluzione

(\frac{4}{a + 3}; 0)

a = \frac{3}{2}

, il sistema è indeterminato.

a \neq \frac{3}{2}

a \neq - 3

, il sistema è determinato e ha soluzione

(\frac{4}{a + 3}; 0)

Scelta multipla

Un idraulico ha a disposizione tubi di due lunghezze:

x

cm e

y

cm.
Se ne collega in serie

2

di lunghezza

x

con

3

di lunghezza

y

copre una distanza pari a

k

; se invece ne collega

5

di lunghezza

x

con

2

di lunghezza

y

, copre una distanza pari a

2 k

.

a. Qual è il rapporto tra le lunghezze

x

y

dei due tipi di tubo?
b. Quanto misurano i due tipi d tubo se

k = 220

cm?

Troviamo

x

y

risolvendo il sistema:
________.
Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione: ricaviamo

x

dalla prima equazione.

x =

________
Sostituiamo l'espressione trovata nella seconda equazione.
________.
Possiamo trovare

y

dalla seconda equazione

y =

________.
Possiamo infine ricavare il valore di

x

dalla prima equazione:

x = \frac{k - 3 y}{2} =

________.

a. Il rapporto tra

x

y

vale:

\frac{x}{y} =

________.
b. Se

k = 220

cm, allora

x =

________ cm,

y = 20

Completamento chiuso

Per quali valori dei parametri

a

b

il seguente sistema è determinato?
Individuali applicando il metodo di Cramer.

{\begin{cases} \frac{3}{5} a x - 2 = 2 (\frac{b}{5} y - \frac{1}{2}) \\ 4 x - 2 b y = 1 \end{cases}

Riduciamo il sistema in forma normale:
________.
Calcoliamo

D

| \begin{matrix} \frac{3}{5} a & - \frac{2}{5} b \\ 4 & - 2 b \end{matrix} |

=

________.
Il sistema è determinato quando il determinante

D

è ________ zero.

b \cdot (

________

)

________

0

La condizione è soddisfatta quando

b

________

0 \lor a \neq

________.

Completamento chiuso

Quale fra le seguenti affermazioni relative al sistema

{\begin{cases} \frac{x + 2}{3 x} - \frac{y + 4}{2 y} = - \frac{1}{6} \\ x + y = 8 \end{cases}

è corretta?

Il sistema è impossibile per

x = 0

Il sistema è indeterminato.

Il sistema è impossibile.

Il sistema è determinato con soluzione

(2; 6)

Scelta multipla

Il sistema

{\begin{cases} 2 a x + 7 (y - a) = - 2 (2 a + x) - 5 y \\ a x + 2 a y - 1 = \frac{a}{2} \end{cases}

è indeterminato:

solo per

a = 2

solo per

a = 0

per

a = 0 \lor a = 2

solo per

a = - 2

Scelta multipla

Dicuti il seguente sistema letterale nelle incognite

x

y

, al variare dei parametri

a, b \in R

{\begin{cases} 2 (x + a) + y = 4 a - y \\ \frac{x + y}{a + b} + \frac{x - y}{a - b} - 1 = 1 - b (\frac{1}{a + b} - \frac{1}{a - b}) \end{cases}

Scriviamo le C.E. dei parametri:

a \neq b

a \neq

________.
Riduciamo il sistema in forma normale:
________

\to

________.
Applichiamo il metodo di Cramer: calcoliamo

D

D = | \begin{matrix} 1 & 1 \\ a & - b \end{matrix} | =

________

Il sistema è determinato se

D \neq 0 \to

a \neq

________:
calcoliamo

D_{x}

D_{y}

D_{x} = | \begin{matrix} a & 1 \\ a^{2} & - b \end{matrix} | =

________

D_{y} = | \begin{matrix} 1 & a \\ a & a^{2} \end{matrix} | =

________

Troviamo i valori di

x

y

x = \frac{D_{x}}{D} =

________,

y = \frac{D_{y}}{D} =

________.

Se

a =

________, il sistema ________.

Completamento chiuso

Il sistema

{\begin{cases} a x - 3 y = 2 a \\ 2 a x + 5 a y = 1 \end{cases}

è impossibile:

solo per

a = 0

per

a = 0 \lor a = - 6

per

a = - 6 \lor a = 5

per

a = 0 \lor a = - \frac{6}{5}

Scelta multipla

Risolvi e discuti il seguenti sistema letterale fratto nelle incognite

x

y

al variare del parametro

a \in R

{\begin{cases} \frac{x}{a + 1} + \frac{y}{a - 1} = 1 \\ \frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{a}{x y} \end{cases}

Scriviamo le condizioni sul parametro e sulle incognite:

a \neq \pm 1

x \neq 0

y \neq

________.
Se

a = \pm 1

, il sistema perde di significato.
Se

a \neq \pm 1

, svolgiamo i calcoli per ridurre il sistema in forma normale.

Semplifichiamo le due equazioni.
________
Applichiamo il metodo di Cramer: calcoliamo

D

D = | \begin{matrix} a - 1 & a + 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} |

=

________
Perciò il sistema è determinato ________. Calcoliamo

D_{x}

D_{y}

D_{x} =

________

= - 1 - a

D_{y} = | \begin{matrix} a - 1 & a^{2} - 1 \\ 1 & a \end{matrix} |

=

________

Troviamo

x

y

x = \frac{D_{x}}{D} =

________,

y = \frac{D_{y}}{D} = \frac{a - 1}{2}

.

Confrontiamo la soluzione con le condizioni sulle incognite, cioè

x \neq 0

y \neq 0

x \neq 0 \to

________

\neq 0 \to

a \neq

________;

y \neq 0 \to \frac{a - 1}{2} \neq 0 \to a \neq

________.
La soluzione

(

________;

\frac{a - 1}{2})

è quindi accettabile se

a \neq

________.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema con un'opportuna sostituzione.

{\begin{cases} - \frac{3}{x} + \frac{2}{y} = 1 \\ \frac{3}{x} - \frac{4}{y} - 7 = 0 \end{cases}

Determiniamo le C.E.:

x \neq 0

y \neq 0

.
Possiamo porre:

\frac{1}{x} = z

\frac{1}{y} = t

.
Il sistema in forma normale nelle incognite

z

t

è:
________.
Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione: sommiamo la prima equazione con la seconda e troviamo

t

- 2 t = 8 \to t =

________
Sostituiamo il valore di

t

nella seconda equazione e troviamo

z

z =

________.
Ricordandoci che

x = \frac{1}{z}

y = \frac{1}{t}

, otteniamo:

x =

________,

y =

________,
entrambe accettabili.

La soluzione del sistema di partenza è quindi:

(

________; ________

)

Completamento chiuso

Due numeri interi differiscono di

3

. La somma tra

1

e il rapporto tra il maggiore e il minore è uguale al reciproco del minore. Determina i due numeri.

Chiamiamo

x

y

i due numeri. Possiamo scrivere il sistema:
________.
C.E.: ________.
Portiamo il sistema in forma normale:
________.
Risolviamo il sistema per sostituzione: ricaviamo

x

dalla prima equazione.

{\begin{cases} x = y + 3 \\ y + 3 + y = 1 \end{cases}

Da cui:

y =

________ e

x =

________.

Completamento chiuso