Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.verde biennio (3ª edizione) Matematica.verde biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le applicazioni delle disequazioni

FIP05bbtverde20 - Le applicazioni delle disequazioni

12 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Determina il dominio di:
a.

y = \sqrt{\frac{8 - 4 x}{x^{3} + 4 x^{2}}}

.
b.

y = \sqrt{\frac{- 1}{x^{3}}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} .

a. Per determinare il dominio della funzione

y = \sqrt{\frac{8 - 4 x}{x^{3} + 4 x^{2}}}

,
risolviamo la disequazione

\frac{8 - 4 x}{x^{3} + 4 x^{2}}

________

0

.
Studiamo separatamente il numeratore e il denominatore:

N \geq 0

8 - 4 x \geq 0 \to 4 x

________

8

\to

x \leq 2

;

D > 0

x^{3} + 4 x^{2} > 0

\to

x^{2} (x + 4) > 0

;

F_{1} > 0

x^{2} > 0

\to

________;

F_{2} > 0

x + 4 > 0 \to x > - 4

.
Compiliamo il quadro dei segni:

Il dominio della funzione risulta quindi
________

\lor x \neq 0

.

b. Per determinare il dominio della funzione

y = \sqrt{\frac{- 1}{x^{3}}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}}

,
risolviamo il sistema

{\begin{matrix} - \frac{1}{x^{3}} > 0 \\ \frac{x + 1}{x - 1} \geq 0 \end{matrix} .

Risolviamo separatamente le due disequazioni del sistema.
Il numeratore della prima disequazione è sempre negativo, quindi il denominatore deve essere sempre

x

________

0

.
Studiamo separatamente il numeratore e il denominatore della seconda disequazione:

N \geq 0

x + 1 > 0

\to

x >

________;

D > 0

x - 1 > 0 \to x > 1

.
Compiliamo il quadro dei segni

Quindi la disequazione è soddisfatta per
________.
Il sistema quindi si riduce a

{\begin{matrix} x < 0 \\ x \leq - 1 \lor x > 1 \end{matrix}

la cui soluzione è ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione irrazionale.
$\sqrt{x^{2} + 5 x} = 2 x$

$\sqrt{x^{2} + 5 x} = 2 x$
L'equazione è equivalente al seguente sistema.

${\begin{matrix} \end{matrix}$	________ $\geq 0$	.
	$x^{2} + 5 x =$ ________ $x^{2}$

La soluzione della disequazione è
________.

Risolviamo l'equazione:
$x^{2} + 5 x - 4 x^{2} = 0 \to$

________ $+ 5 x = 0$ $\to$ $x (- 3 x + 5) = 0$ .

Le soluzioni dell'equazione sono
$x_{1} = 0 \lor$ ________,

e risultano entrambe ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione irrazionale.
$\sqrt{2 x^{2} - 9 x + 4} = x - 2$

$\sqrt{2 x^{2} - 9 x + 4} = x - 2$
L'equazione equivale al seguente sistema.

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x - 2 \geq 0$	.
	$2 x^{2} - 9 x + 4 =$ ________

La soluzione della disequazione è $x \geq 2$ .

Risolviamo l'equazione:

$2 x^{2} - 9 x + 4 =$ ________ $\to$

________ $- 5 x = 0$

Le soluzioni sono ________.

La soluzione $x_{1}$ è ________, mentre $x_{2}$ è ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione irrazionale.

\sqrt[3]{19 x^{3} + 16 x^{4}} = - 5 x

\sqrt[3]{19 x^{3} + 16 x^{4}} = - 5 x

Il radicale presente nella equazione ha indice dispari, quindi è sufficiente elevare entrambi i membri al ________.

19 x^{3} + 16 x^{4} =

________

x^{3}

16 x^{4} +

________

x^{3} = 0

16 x^{3} (x +

________

) = 0

________

\lor

________

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Matematica

Risolvi la seguente equazione irrazionale.
$\sqrt[3]{\sqrt{x^{2} + 5} - 4} = - 1$

$\sqrt[3]{\sqrt{x^{2} + 5} - 4} = - 1$
L'equazione è equivalente al sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x^{2} + 5$ ________ $0$	.
	$\sqrt{x^{2} + 5}$ $-$ ________ $= - 1$

La disequazione è ________.

Risolviamo l'equazione.

$\sqrt{x^{2} + 5} -$ ________ $= - 1$

$\sqrt{x^{2} + 5} = 3$

$x^{2} + 5 =$ ________

$x = \pm 2$

Le soluzioni trovate sono entrambi accettabili.

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Matematica

Un numero naturale è tale che la somma tra la sua metà e la radice quadrata del suo doppio è

15

. Determina il numero.

Indichiamo con

x

il numero. Abbiamo:

\frac{x}{2} +

________

= 15

\to

\sqrt{2 x} = - \frac{x}{2} + 15 \to

2 x = \frac{x^{2}}{4} + 225 - 15 x \to

x^{2} -

________

x + 900 = 0 \to

x = 18, x = 50

.
La soluzione che soddisfa la condizione ________ è

x =

________ ed è quindi soluzione dell'equazione.

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Matematica

In un triangolo rettangolo il cateto maggiore supera di

2

cm il doppio del cateto minore. Calcola l'area del triangolo sapendo che il perimetro misura

30

cm.

Indichiamo con

x

il cateto minore, abbiamo:

x + 2 x + 2 + \sqrt{x^{2} + (2 x + 2)^{2}} = 30 \to

________

= - 3 x + 28

.
Eleviamo al quadrato:

5 x^{2} + 4 + 8 x = 9 x^{2} - 168 x + 784 \to

x^{2} -

________

x + 195 = 0 \to

x = 5, x = 39.

La soluzione che soddisfa la condizione ________ è

x = 5

ed è quindi soluzione dell'equazione.
L'area del triangolo è

A =

\frac{5 \cdot 12}{2} = 30

cm².

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Matematica

Determina per quali valori di

k

la seguente equazione nell'incognita

x

ha per radice un valore maggiore di

8

e minore di

20

x + 2 k = k (k + 4) + 5

x + 2 k = k (k + 4) + 5

x + 2 k = k^{2} + 4 k + 5

x + 2 k = k^{2} +

________

+ 5

Imponiamo che la soluzione trovata sia maggiore di

8

e minore di

20

{\begin{matrix} k^{2} + 2 k + 5 > 8 \\ k^{2} + 2 k + 5 < 20 \end{matrix} .

Risolviamo separatamente le due disequazioni.
•

k^{2} + 2 k

________

3 > 0

\frac{Δ}{4} =

________

\to

________.
La disequazione è soddisfatta per
________
•

k^{2} + 2 k - 15 < 0

\frac{Δ}{4} = 16 \to

k_{1} = - 5

k_{2} =

________.
La disequazione è soddisfatta per
________.
Rappresentiamo gli intervalli delle soluzioni.

Quindi le soluzioni sono
________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione con valore assoluto.
$5 | 2 x + 1 | = 4 x^{2} + 5$

$5 | 2 x + 1 | = 4 x^{2} + 5$
L'equazione è equivalente ai seguenti sistemi.

${\begin{matrix} 2 x + 1 \geq 0 \\ 5 (2 x + 1) = 4 x^{2} + 5 \end{matrix} \lor$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$2 x + 1$ ________ $0$
	$5 (- 2 x$ ________ $1) = 4 x^{2} + 5$

Risolviamo il primo sistema.

${\begin{matrix} 2 x \geq - 1 \\ 10 x + 5 = 4 x^{2} + 5 \end{matrix} \to {\begin{matrix} x \geq - 1 \\ 4 x^{2} - 10 x = 0 \end{matrix} \to$ ${\begin{matrix} x \geq - 1 \\ 2 x (2 x - 5) = 0 \end{matrix} .$

Le soluzioni sono $x_{1} = 0 \lor x_{2} =$ ________
e sono entrambe ________.

Risolviamo il secondo sistema.

${\begin{matrix} 2 x < - 1 \\ - 10 x - 5 = 4 x^{2} + 5 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} x < - \frac{1}{2} \\ 4 x^{2} + 10 x + 10 = 0 \end{matrix}$

$\frac{Δ}{4} =$ ________ $\to$ ________.

Le soluzioni dell'equazione di partenza sono quindi $x_{1} = 0 \lor x_{2} \frac{5}{2}$ .

Completamento chiuso

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Matematica

Risolvi la seguente equazione.

$| 4 - x^{2} | + 4 = 2 x$

L'equazione data è equivalente a:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x < - 2 \lor x > 2$	$\lor {\begin{matrix} - 2 \leq x \leq 2 \\ 4 - x^{2} + 4 = 2 x \end{matrix} .$
	________ $+ 4 = 2 x$

Risolviamo i due sistemi:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x < - 2 \lor x > 2$	$\lor {\begin{matrix} - 2 \leq x \leq 2 \\ x = 2, x = - 4 \end{matrix} .$
	$x = 0$ , $x =$ ________

La soluzione accettabile è $x =$ ________.

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Matematica

Risolvi la seguente equazione.

$| x + 4 | = 1 + | 2 x + 1 |$

Studiamo il segno delle espressioni all'interno dei valori assoluti.

$x + 4 \geq 0 \to x \geq - 4$ ;
$2 x + 1 \geq 0 \to x \geq$ ________.

L'equazione è equivalente ai seguenti sistemi misti:

1. ${\begin{matrix} x < - 4 \\ - x - 4 = 1 - 2 x - 1 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} x < - 4 \\ x = 4 \end{matrix} \to$ ________.

2. ${\begin{matrix} \end{matrix}$	$- 4 \leq x < - \frac{1}{2}$	$\to$
	$x + 4 = 1$ ________

${\begin{matrix} - 4 \leq x < - \frac{1}{2} \\ x = - \frac{4}{3} \end{matrix} \to$ $x = - \frac{4}{3} .$

3. ${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x \geq - \frac{1}{2}$	$\to$
	________ $= 1 + 2 x + 1$

${\begin{matrix} x \geq - \frac{1}{2} \\ x = 2 \end{matrix} \to x = 2.$

Quindi le soluzioni sono $x = - \frac{4}{3}$ e $x = 2$ .

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Matematica

La somma tra il valore assoluto di un numero intero diminuito di $10$ con il doppio del valore assoluto del numero stesso è $14$ .

Determina il numero.

Traduciamo il testo del problema in un'equazione:

________.

L'equazione è equivalente ai sistemi:

1. ${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x < 0$	$\to$
	$- x + 10$ ________ $2 x = 14$

${\begin{matrix} x < 0 \\ - 3 x = 4 \end{matrix} \to$ $x = - \frac{4}{3}$ ;

2. ${\begin{matrix} \end{matrix}$	$0 \leq x < 10$	$\to$
	$- x + 10 + 2 x = 14$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$0 \leq x < 10$	$\to$ $x = 4$ ;
	$x =$ ________

3. ${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x \geq 10$	$\to$
	$x$ ________ $10 + 2 x = 14$

${\begin{matrix} x \geq 10 \\ x = 8 \end{matrix} \to$ ________

Il numero intero è ________.

Completamento chiuso

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