Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - La lunghezza della circonferenza e l’area del cerchio

FIP05bbtbluG7 - La lunghezza della circonferenza e l'area del cerchio

10 esercizi

SVOLGI

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Matematica

La circonferenza grande in figura è lunga

10

m. Le

10

circonferenze piccole hanno i centri allineati su un diametro della circonferenza grande. Le due circonferenze piccole più esterne sono tangenti internamente alla circonferenza grande; ciascuna delle altre è tangente esternamente alle due a essa contigue. Quanto vale la somma delle misure delle circonferenze piccole?

1

5

10

100

E: Dipende dal diametro delle singole circonferenze.

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Matematica

Esternamente a un quadrato

A B C D

, il cui lato misura

ℓ

, traccia le semicirconferenze di diametri

A B

A D

e l'arco di circonferenza di centro

A

ed estremi

B

D

. Trova la misura dell'area della figura mistilinea delimitata dagli archi tracciati.

La misura dell'area della figura mistilinea delimitata dagli archi è:

A =

________

+ 2

[

\frac{1}{2} π (

________

)^{2}

]

=

________.

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Matematica

Gli ottagoni della struttura in acciaio e vetro della figura sono regolari. Dimostra che:
a. i triangoli

O A B

O^{'} A^{'} B^{'}

sono simili;
b. il rapporto tra i raggi delle due circonferenze è uguale al rapporto tra i perimetri dei due ottagoni inscritti.

Essendo i due ottagoni regolari, abbiamo che i due triangoli

O A B

O^{'} A^{'} B^{'}

hanno tutti gli ________ uguali e quindi sono simili per il ________ criterio di similitudine.

Applichiamo il teorema dei poligoni regolari, abbiamo che in due ottagoni regolari ________ sono proporzionali ai raggi delle circonferenze circoscritte:

2 p : 2 p^{'} =

________.

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Matematica

Dimostra che in due triangoli simili due lati omologhi stanno fra loro come i raggi delle circonferenze inscritte e come i raggi di quelle circoscritte.

Sia

k

il rapporto di similitudine, abbiamo che il rapporto tra i raggi delle circonferenze inscritte è uguale a:

\frac{r}{r^{'}} = \frac{A}{p} \cdot \frac{p^{'}}{A^{'}} =

________

=

________.

Il rapporto tra i raggi delle circonferenze circoscritte è:

\frac{R}{R^{'}} = \frac{a \cdot b \cdot c}{4 \cdot A} \cdot \frac{4 \cdot A^{'}}{a^{'} \cdot b^{'} \cdot c^{'}} =

________

=

________.

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Matematica

Le tre circonferenze in figura hanno raggio uguale a

6

cm e sono a due a due tangenti. Calcola l'area della superficie colorata.

L'area del triangolo equilatero è:

A_{t} = \frac{1}{2} (12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} 12) =

________

\sqrt{3}

cm².

La somma dei tre settori circolari è equivalente alla ________ di raggio

6

cm:

A_{c} =

________

=

________ cm².

L'area colorata è quindi:

A_{c o l o r a t a} = 36 \sqrt{3} -

________

=

18 (2 \sqrt{3} - π)

cm².

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Matematica

L'area del cerchio più grande in figura è

676 π

cm². Calcola l'area della parte colorata.

Il raggio del cerchio più grande è di ________ cm.

L'area del triangolo è di ________ cm² e l'area del cerchio piccolo è di ________

π

cm².

L'area colorata è:

A_{c o l o r a t a} =

(676 π -

________

π -

________

)

cm²

=

________ cm².

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Matematica

In una scultura d'arte moderna è rappresentato un cerchio nascosto in parte da un triangolo equilatero, come in figura: il cerchio ha il diametro lungo quanto l'altezza del triangolo, la quale misura

\sqrt{6}

m. Quanto vale l'area della parte del cerchio non coperta dal triangolo?

(\frac{3}{2} π - \frac{8}{\sqrt{3}}) m^{2}

\frac{π}{2} m^{2}

(π - \frac{3 \sqrt{3}}{4}) m^{2}

(\frac{3}{2} π - \frac{9 \sqrt{3}}{8}) m^{2}

\frac{3}{2} π m^{2}

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Matematica

Il cerchio in figura ha area

4 π

cm². La base del triangolo isoscele coincide con il lato del quadrato inscritto nella circonferenza. Determina l'area delle due regioni colorate.

L'area del quadrato inscritto alla circonferenza è uguale a:

A_{q} =

________ cm².

Abbiamo quindi che l'area della prima regione colorata è:

A_{1} = \frac{1}{4} (4 π -

________

)

=

(π -

________

)

cm².

L'area del triangolo isoscele è uguale a:

A_{t} = \frac{1}{2} 2 \sqrt{2} (

________

)

=

(2 \sqrt{2} + 2)

cm².

Abbiamo quindi che l'area della seconda regione colorata è:

A_{2} = [4 π

________

(π - 2) - (2 \sqrt{2} + 2)]

=

(\frac{3}{2} π - \sqrt{2})

cm².

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Matematica

Una corona circolare ha area

16 π

cm² e il raggio della circonferenza interna è i

\frac{3}{5}

del raggio della circonferenza esterna. Calcola:
a. la lunghezza del contorno della corona circolare;
b. l'area del quadrato inscritto in un cerchio isoperimetrico alla corona.

a. Siano

R

r

rispettivamente i raggi della circonferenza esterna e interna.
Abbiamo che:

π R^{2}

________

π {(\frac{3}{5} R)}^{2} = 16 π

, da cui

R =

________,

r = 3

.
La lunghezza del contorno della corona circolare è:

C = (2 \cdot 5 \cdot π + 2 \cdot 3 \cdot π)

=

16 π

cm.

b. Il cerchio isoperimetrico alla corona ha raggio di ________ cm.
Quindi il lato del quadrato inscritto è

ℓ

=

________ cm.
L'area del quadrato è

A = ℓ^{2} = 128

cm².

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Matematica

Le corde $A B$ e $B C$ di un cerchio di raggio $6$ cm sono rispettivamente il lato dell'esagono regolare e il lato del quadrato inscritti. Determina l'area della superficie delimitata dalle due corde e dal maggiore degli archi $\overset{⌢}{A C}$ .

Calcoliamo:

l'area del cerchio:
$A_{c e r c h i o} =$ ________ cm²;
l'area del settore circolare delimitato dalla corda $A B$ :
$A_{1} =$ ________ $=$ ________ cm²;
l'area del settore circolare delimitato dalla corda $C B$ :
$A_{2} = \frac{6 \cdot 2 π}{2} = 6 π$ cm²;
l'area della superficie minore delimitata dalla corda $A B$ :
$A_{d_{1}} = ($ ________ $- 18)$ cm²;
l'area della superficie minore delimitata dalla corda $C B$ :
$A_{d_{2}} = (6 π -$ ________ $)$ cm².

L'area della superficie delimitata dalle due corde è:

$A = 36 π - (9 π - 18)$ ________ $(6 π - 9 \sqrt{3})$ $=$

$(21 π + 9 \sqrt{3} + 18)$ cm².

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