Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le applicazioni del teorema di Pitagora e il secondo teorema di Euclide

FIP05bbtbluG6 - Le applicazioni del teorema di Pitagora e il secondo teorema di Euclide

10 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Calcola perimetro e area del quadrato colorato, sapendo che le misure sono espresse in centimetri.

Il lato

ℓ

del quadrato colorato è:

ℓ =

________ cm.
Calcoliamo quindi perimetro

2 p =

________ cm e
area

A =

________ cm².

Completamento chiuso

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Matematica

r

è il raggio della circonferenza, quale di queste espressioni rappresenta l'area del trapezio

C E D O

(\sqrt{3} + 1) \frac{r^{2}}{2}

(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) \frac{r^{2}}{2}

(\frac{\sqrt{3}}{2} + 1) \frac{r^{2}}{4}

(\sqrt{3} + 1) r^{2}

Scelta multipla

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Matematica

Considera la circonferenza di raggio

4 a

e centro

O

, siano

A B

una corda e

P

il punto di intersezione delle tangenti alla circonferenza in

A

B

. Determina la lunghezza della corda

A B

, sapendo che l'altezza relativa ad

A B

del triangolo

A B O

è un quinto del segmento

O P

.

Consideriamo il triangolo

A O P

e applichiamo il ________ teorema di Euclide:

{\bar{A O}}^{2} = \bar{O P} \cdot \frac{1}{5} \bar{O P}

.
Risolvendo otteniamo

\bar{O P} =

________.
Applichiamo ora il secondo teorema di Euclide:

{\bar{A H}}^{2} = \bar{O H} \cdot \bar{H P}

, dove

H

è il punto di intersezione tra

O P

A B

.
Risolvendo otteniamo

\bar{A H} =

________.
Abbiamo quindi che:

\bar{A B} =

________.

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Matematica

Disegna un trapezio rettangolo con la diagonale minore perpendicolare al lato obliquo. L'altezza del trapezio è

\frac{3}{4}

della base minore e il lato obliquo è

3 a

. Calcola area e perimetro del trapezio.

Indichiamo con

b

la base minore del trapezio rettangolo e con

x

la differenza tra base maggiore e base minore.
Per il secondo teorema di Euclide abbiamo che:

{(\frac{3}{2} b)}^{2} = b \cdot x \to x =

________.
Per il teorema di Pitagora abbiamo che:

(3 a)^{2} = {(\frac{3}{4} b)}^{2} \cdot (

________

)^{2}

\to

b =

________.
Il perimetro è:

2 p = \frac{16}{5} a + \frac{12}{5} a +

________

+ \frac{9}{5} a + 3 a =

________.
L'area è:

A = \frac{12}{5} (\frac{16}{5} a +

________

)

\cdot \frac{1}{2} = 9, 84 a^{2}

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Matematica

Considera un triangolo rettangolo. Dimostra che la somma dei triangoli equilateri costruiti sui suoi cateti è equivalente al triangolo equilatero costruito sull'ipotenusa.

Indichiamo con

a

b

i cateti del triangolo rettangolo e con

c

l'ipotenusa.
L'area del triangolo equilatero costruito sul cateto

a

è:

\frac{1}{2} a

________

=

________.
L'area del triangolo equilatero costruito sul cateto

b

è:

\frac{1}{2} b

________

=

________.
Utilizzando il teorema di Pitagora abbiamo quindi che:
________

+

________

=

\frac{\sqrt{3}}{4} (a^{2} + b^{2}) =

________.

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Matematica

Da un punto

P

esterno a una circonferenza di centro

O

traccia le tangenti che incontrano la circonferenza nei punti

A

B

. Indica con

H

K

le intersezioni del segmento

P O

rispettivamente con la corda

A B

e con la circonferenza. Dimostra che il rettangolo avente i lati congruenti a

P H

O H

è equivalente alla differenza dei quadrati costruiti su

K O

O H

. (SUGGERIMENTO Ricorda che

O K

è un raggio della circonferenza.)

Consideriamo il triangolo rettangolo

O P A

, per il ________ teorema di Euclide abbiamo che

{\bar{A O}}^{2} = \bar{O H} \cdot

________.

Osserviamo che

{\bar{A O}}^{2} = {\bar{K O}}^{2}

essendo

A O

O K

________ della circonferenza.

Osserviamo inoltre che il rettangolo di area

\bar{O H} \cdot \bar{O P}

è equivalente alla somma di

\bar{O H} \cdot \bar{H P} +

________.
Concludiamo quindi che

{\bar{K O}}^{2} - {\bar{O H}}^{2} = \bar{O H} \cdot \bar{H P}

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Matematica

Un triangolo

A B C

ha gli angoli

\hat{B}

\hat{C}

rispettivamente di ampiezza

60^{\circ}

75^{\circ}

. Qual è il perimetro del triangolo, sapendo che l'altezza

A H

è lunga

\sqrt{6}

cm?

A: I dati non sono sufficienti.

2 (3 + \sqrt{6} - \sqrt{3})

cm.

(3 + \sqrt{6} - \sqrt{3})

cm.

4 (3 + \sqrt{6} - \sqrt{2})

cm.

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Matematica

A B C D

è un trapezio inscritto in una semicirconferenza di diametro

B C = 10

cm. Sapendo che la differenza fra le aree dei triangoli equilateri costruiti sulle due basi è di

9 \sqrt{3}

cm², determina l'altezza del trapezio.

Chiamiamo

A_{1}

A_{2}

le aree dei triangoli costruiti rispettivamente sulla base maggiore e sulla base minore del trapezio.
Abbiamo che

A_{1} = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot

________

=

________ cm².
Calcoliamo

A_{2} = A_{1} - 9 \sqrt{3} = 16 \sqrt{3}

cm². Abbiamo quindi che

A D =

________ cm.
Consideriamo ora il triangolo

A O M

, dove

M

punto medio di

A D

per il teorema di Pitagora abbiamo che

O M =

________

=

________ cm.

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Matematica

Calcola la lunghezza di

A D

, sapendo che

O

è il centro della circonferenza del bracciale.

Prolunghiamo il segmento

O D

e costruiamo il triangolo rettangolo

D E A

.

Consideriamo il triangolo

O E A

, è un triangolo rettangolo con gli angoli acuti di

30^{\circ}

60^{\circ}

. Quindi abbiamo che

A E = 18 \sqrt{3}

mm e

O E =

________ mm.

Possiamo ora calcolare

\bar{A D}

con il teorema di Pitagora:

A D =

________

= 18 \sqrt{7}

mm.

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Matematica

Vero o falso?

Un esagono regolare

A B C D E F

è inscritto in una circonferenza di raggio

r

. Siano

H

K

rispettivamente la proiezione di

C

sulla diagonale

A D

e il punto di intersezione tra il prolungamento del lato

B C

e la retta tangente in

D

alla circonferenza. Allora:

A B K D

è un trapezio rettangolo.

D H = \frac{r}{2} \sqrt{3}

C: l'area di

A B K D

\frac{7}{8} \sqrt{3} r^{2}

C H^{2} = A H \cdot H D

Vero o falso

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