FIP05bbtbluG5 - I poligoni inscritti e circoscritti, i triangoli e i punti notevoli

È dato un triangolo rettangolo $ABC$ di ipotenusa $AB$. Dimostra che:

a.   ortocentro, baricentro e circocentro appartengono alla stessa retta $r$;

b.   se $AC$ e $CB$ non sono congruenti, l'incentro non appartiene alla retta $r$.

Disegniamo la figura e identifichiamo i punti fondamentali citati.

Ipotesi

$ABC$ triangolo rettangolo in $\hat{C}$;

$AC≆BC$.

Tesi

$C$, $G$, $M$$\in r$;

$I\notin r$.

a.   L'ortocentro coincide con il vertice ________ perché due delle altezze sono i cateti stessi.

Il circoncentro è il centro del cerchio ________ ad $ABC$ con diametro $AB$. Quindi $M$, il punto medio di $AB$, coincide con il ________.

Dimostriamo quindi che $G$, il baricentro di $ABC$, appartiene a $CM$.

$CM$ è ________ per costruzione, quindi $G$________$CM$.

Possiamo quindi concludere che $C$, $G$ e $M$ appartengono alla stessa retta $r$ su cui giace il segmento $CM$.

b.   Sia $I$ l'incentro di $ABC$, cioè il centro del cerchio inscritto al triangolo $ABC$.

Siano quindi $T$,$H$ e $K$ i punti di tangenza del cerchio con i lati di $ABC$.

Dimostriamo la tesi per assurdo ________ l'ipotesi $AC≆BC$.

Supponiamo che $I$________$r$.

Allora $CM$ coincide con ________ ed è bisettrice di $A\hat{C}B$.

Consideriamo i triangoli $ACH$ e $BCH$:

• ${\displaystyle A\hat{H}C\cong B\hat{H}C\cong \frac{\pi }{2}}$ perché ________ è punto di tangenza;
• $CH$ in comune;
• $A\hat{C}A\cong B\hat{C}H$ perché $CH$ è ________;

quindi $ACH$ e $BCH$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

In particolare $AC\cong BC$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Quindi possiamo concludere che $I$________$r$.