FIP05bbtblu20 - Le equazioni e le disequazioni parametriche

Vero o falso?
Considera l'equazione $x^2+(2k+3)x-k^2+7k-10=0$.

La disequazione $kx-3x^2+k+1<0$ è verificata $\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ se:

Considera l'equazione parametrica $x^2-(2a-3)x+a^2+5a-3=0$ e determina per quali valori reali del parametro $a$ l'equazione ammette soluzioni:
a.   reali distinte;
b.   il cui prodotto è almeno $3$.

a.   Un'equazione di secondo grado ha radici reali e distinte quando il suo determinante è________ zero. Scriviamo quindi la disequazione:
________$>0$.
Semplificando le parentesi, otteniamo:
________.
I valori di $a$ cercati sono quindi:
________.

b.   Perché il prodotto delle radici sia almeno tre, dev'essere che il quoziente tra il termine noto e il coefficiente del termine di secondo grado sia ________ tre, cioè:
$a^2+5a-3\ge 3$
$a^2+5a-6\ge 0$
________.

Dalla soluzione del punto a. sappiamo che le soluzioni sono reali quando il determinante è maggiore o uguale a zero, cioè:
${\displaystyle a\le \frac{21}{32}}$.
La soluzione del punto b. è data quindi dal sistema:
________.
I valori di a cercati sono:
________.

Studia il segno delle radici della seguente equazione in $x$, al variare di $k$ in $\mathbb{R}$, applicando la regola di Cartesio.
$(k+1)x^2-2(k+3)x+3k=0$

Studiamo prima per quali valori del parametro l'equazione ha soluzioni reali:
$\mathrm{\Delta }\ge 0\to$
________$\ge 0\to$
$k^2+6k+9-3k^2-3k\ge 0\to$
$2k^2-3k-9$________$0\to$
${\displaystyle -\frac{3}{2}\le k\le 3}$.

Un'equazione di secondo grado $A{x}^2+Bx+C=0$ ha una soluzione positiva per ogni "permanenza" di segno dei coefficienti e una soluzione negativa per ogni "variazione" di segno dei coefficienti.
Studiamo il segno dei coefficienti dell'equazione per individuare le permanenze e/o le variazioni:
•   $a>0$:$k+1>0$$\to$$k$________$-1$;
•   $b>0$:$-2(k+3)>0$$\to$$k$________$-3$;
•   $c>0$:$3k>0$$\to$$k$________$0$.
Il quadro dei segni che ci serve è quello in figura ________.


Studiamo in ogni intervallo il segno delle radici, con la regola di Cartesio analizzando anche i valori che annullano il parametro.
•   per ${\displaystyle k<-\frac{3}{2}}$: non ci sono radici reali;
•   per ${\displaystyle k=-\frac{3}{2}}$: due radici reali coincidenti ________;
•   per ${\displaystyle -\frac{3}{2}<k<-1}$: due radici reali distinte ________;
•   per $k=-1$: l'equazione è di primo grado; la radice è ________;
•   per $-1<k<0$: due radici reali distinte ________;
•   per $k=0$: una radice nulla e una ________;
•   per $0<k<3$: due radici reali distinte ________;
•   per $k=3$: due radici reali coincidenti ________;
•   per $k>3$: non ci sono radici reali.

Vero o falso?
La disequazione ${\displaystyle \frac{k{x}^2+kx+8k}{x^2-2kx}\le 0}$ ha soluzioni:

Associa a ogni affermazione, relativa all'equazione parametrica
$(k-2)x^2+(3k-1)x+2k+1=0$,
i valori di $k$ che la rendono vera.

1.   L'equazione ammette soluzioni reali coincidenti.
________

2.   L'equazione ammette soluzioni reali il cui prodotto è al massimo $5$.
________

3.   L'equazione ammette soluzioni reali per le quali la somma dei quadrati è almeno $2$.
________

4.   L'equazione ammette soluzioni reali per le quali il prodotto supera il quadrato della somma.
________

Considera la disequazione parametrica
$(2k^2-1)x^2+(3+4k)x+2<0$
Per quali valori di $k$ la disequazione ammette come soluzioni i valori di $x$ interni all'intervallo delle soluzioni dell'equazione associata?

Cerchiamo i valori di $k$ per cui l'equazione associata abbia soluzioni reali e il termine di secondo grado sia positivo, cioè:
________.
Risolviamo una disequazione alla volta.

Prima disequazione.
$9+24k+16k^2-16k^2+8>0$
________

Seconda disequazione.
$2k^2-1>0$
________


Le soluzioni del problema sono date dallo schema in figura ________, cioè:
________.

Calcola per quali valori di $k$ la seguente disequazione è impossibile.
$(k-1)x^2+2(k-2)x+k<0$

Cerchiamo i valori di $k$ per cui per l'equazione associata ha $\mathrm{\Delta }$________$0$.
Consideriamo $(k-1)x^2+2(k-2)x+k=0$; troviamo:
$\mathrm{\Delta }=k^2-4k+4-k^2$________$k=$
$-$________$k+4$.
Imponiamo $\mathrm{\Delta }$________$0$ e otteniamo:
$-3k+4$________$0$$\to$
$3k$________$4$$\to$
$k$________${\displaystyle \frac{4}{3}}$.