FIP05bbtblu18 - La funzione quadratica e la parabola #374037

La parabola in figura ha equazione

y = a x^{2} + b x + c

. Stabilisci se le seguenti affermazioni sui coefficienti

a

,

b

e

c

sono vere o false.

A:

b = 3

B:

a > 0

C:

c = 0

D:

b = 0

E:

b^{2} - 4 a c > 0

Vero o falso

Per quali valori di

b

la parabola di equazione

y = x^{2} - b^{2}

interseca gli assi cartesiani in tre punti che formano un triangolo rettangolo?

y = x^{2} - b^{2}

è una parabola che ha come asse di simmetria l'asse ________ e che lo interseca nel punto

(0; - b^{2})

.

Per formare un triangolo rettangolo le intersezioni con l'asse

x

devono essere ________ e

(b^{2}; 0)

.
Rappresentiamo la parabola in figura.

La distanza tra le due soluzioni quindi è di ________.
Sostituiamo

y = 0

:

0 = x^{2} - b^{2}

.
Sappiamo che

x_{1} - x_{2} =

________ imponiamo

\frac{\sqrt{Δ}}{a} = 2 b^{2}

:

\sqrt{4 b^{2}} = 2 b^{2}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

2 | b | = 2 b^{2} \to

| b | = b^{2} \to

b = b^{2} \lor b = - b^{2} \to

________.

Completamento chiuso

La parabola di equazione

y = x^{2} - (b - 3) x

interseca l'asse

x

in due punti distanti

5

. Quali valori può assumere

b

?

I punti di intersezione sono

(x_{1}; 0)

e

(x_{2}; 0)

.
Sostituiamo ________

=

0

:

0 = x^{2} - (b - 3) x

.
Sappiamo che

x_{1} - x_{2} = 5

, imponiamo quindi ________

= 5

:
________

= 5

.
Semplifichiamo e risolviamo:

b^{2} - 6 b + 9 = 25 \to b^{2} - 6 b - 16 = 0 \to

(b - 8) (b + 2) = 0 \to

b = 8 \lor b =

________.

Completamento chiuso

La parabola di equazione

y = (a^{2} - 1) x^{2} - 2 x + a

passa per il punto

(2; 10)

. Quanto vale

a

?

Sostituiamo

x = 2

e

y = 10

:
________

=

________

(a^{2} - 1) - 4 + a

.
Semplifichiamo e risolviamo:

4 a^{2} + a - 18 = 0 \to

4 a^{2} - 8 a + 9 a - 18 = 0 \to

4 a (a - 2) + 9 (a - 2) = 0 \to

(a

________

2) (4 a

________

9) = 0 \to

a = 2 \lor a = - \frac{9}{4}

.

Completamento chiuso

Una scatola a forma di prisma retto ha per base un triangolo equilatero il cui lato, in cm, misura

x

. Sai che la scatola ha altezza

4

cm.
a. Trova il suo volume

V (x)

in funzione di

x

.
b. Quanto deve valere

x

, se il volume è pari a

12

cm³ ?

a. L'altezza di un triangolo equilatero di lato

x

è ________.
L'area di base è

\frac{x \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} x}{2}

=

\frac{\sqrt{3}}{4} x^{2}

,
quindi

V (x) =

________

\cdot 4 = \sqrt{3} x^{2}

.

b. Imponiamo

\sqrt{3} x^{2} = 12

e risolviamo:
________

= 144 \to

________

= 48 \to

x = 2 \sqrt[4]{3}

.

Completamento chiuso

Scrivi l'equazione della parabola rappresentata nella figura e le coordinate del suo vertice

V

.

Le coordinate dei punti del grafico sono

(- 1; 0)

,

(5; 0)

e

(0; \frac{5}{2})

.
Sostituiamo le coordinate nell'equazione generica

y = a x^{2} + b x + c

e mettiamole a sistema:
________.
Risolviamo il sistema:

{\begin{cases} - 25 = 10 a - 10 b \\ - 5 = 50 a + 10 b \\ c = \frac{5}{2} \end{cases} \to

{\begin{cases} 60 a = - 30 \\ - 5 = 50 a + 10 b \\ c = \frac{5}{2} \end{cases} \to

________.
L'equazione della parabola cercata è dunque

y = - \frac{1}{2} x^{2} + 2 x + \frac{5}{2}

.
Le coordinate del vertice sono

V (- \frac{2}{2 \cdot (- \frac{1}{2})};

________

)

,
cioè

V (2; \frac{9}{2})

Completamento chiuso

In un rombo, la somma delle lunghezze delle diagonali vale

16

cm e una diagonale misura

(x - 3)

cm. Indica quali valori può assumere

x

ed esprimi l'area del rombo

A (x)

in funzione di

x

. Per quali valori di

x

l'area vale

\frac{15}{2}

?

Se una diagonale è

(x - 3)

cm, l'altra è

[16 - (x - 3)]

cm, cioè

(19 - x)

cm.
Quindi

3

________

x

<

________.

Determiniamo l'area

A (x) = \frac{(x - 3) (19 - x)}{2} =

________

=

- \frac{1}{2} x^{2} + 11 x - \frac{57}{7}

.

Imponiamo

- \frac{x^{2} - 22 x + 57}{2} = \frac{15}{2}

e risolviamo:

x^{2} - 22 x +

________

= 0 \to

(x

________

18) (x - 4) = 0 \to

x = 18 \lor x = 4

.

Completamento chiuso

Vero o falso?

A:

La parabola di equazione

y = 3 x - x^{2} + 1

ha concavità rivolta verso l'alto.

B:

Il vertice della parabola di equazione

y = x^{2} - 6

giace sull'asse

x

.

C:

La parabola di equazione

y = 26 x^{2} - 2 \sqrt{2} x + 7

interseca l'asse

y

nel punto

(0; 7)

.

D:

L'asse delle ascisse non interseca la parabola di equazione

y = x^{2} - 3 x + 3

.

Vero o falso

Una lattina di aranciata ha forma cilindrica e altezza

12

cm.
a. Dimostra che, se il raggio di base è variabile e uguale a

x

, il suo volume è

V = 12 π x^{2}

.
b. Rappresenta graficamente la funzione quadratica che hai ottenuto.
c. Trova per quale valore del raggio la lattina contiene

600

cm³ di aranciata.

a. L'area del cerchio di base

A (x) =

________ cm² e l'altezza è

12

cm quindi

V (x) = 12 π x^{2}

cm³.

b.

V (x) = 12 π x^{2}

è una parabola con vertice nell'origine e concavità verso ________.

c. Imponiamo

12 π x^{2} = 600

e risolviamo:

x^{2} = \frac{50}{π} \to

________.
Accettiamo sono

x = \frac{5}{π} \sqrt{2 π} ≃ 3, 99

cm.

Completamento chiuso

Determina per quale valore di

x

la figura colorata, inscritta nel rettangolo

A B C D

, ha area minima e calcola il valore di quest'area.

Scriviamo le aree dei triangoli non colorati in funzioni di

x

:

A_{O C P} =

\frac{2 x \cdot 6 x}{2} = 6 x^{2}

;

A_{O B N} =

________

= 12 x - 4 x^{2}

;

A_{M A N} =

\frac{(6 - 3 x) (12 - 4 x)}{2} =

6 x^{2} - 30 x

________

36

;

A_{M D P} =

\frac{3 x (12 - 6 x)}{2} =

18 x -

________

x^{2}

.

Quindi

A_{c o l o r a t a} (x) =

72 - 6 x^{2} - 12 x + 4 x^{2} - 6 x^{2} + 30 x - 18 x + 9 x^{2} =

x^{2} + 36

.

A_{c o l o r a t a} (x)

è una parabola con concavità verso ________. Il vertice è

V (0; 36)

.
Concludiamo dunque che l'area ________ della parte colorata è

36

cm² e il valore di

x

per cui si assume è

x = 0

.

Completamento chiuso

Due numeri sono tali che la loro somma è

14

. Qual è il massimo valore che può assumere il loro prodotto?

Chiamiamo i due numeri

x

e

14

________

x

.
Scriviamo il prodotto

P (x) = x (14 - x) = 14 x - x^{2}

.

P (x)

è una parabola con concavità verso ________.
Troviamo il vertice di

P (x)

:

(- \frac{14}{- 2}; - \frac{196}{- 4}) \to

V (

________;

49

)

.
Quindi il valore massimo che il prodotto può assumere è

49

.

Completamento chiuso