Tipo di esercizi
Completamento chiuso,
Vero o falso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - La funzione quadratica e la parabola
INFO

Matematica

Vero o falso?
A: La parabola di equazione y=3xx2+1 ha concavità rivolta verso l'alto.
B: Il vertice della parabola di equazione y=x26 giace sull'asse x.
C: La parabola di equazione y=26x222x+7 interseca l'asse y nel punto (0;7).
D: L'asse delle ascisse non interseca la parabola di equazione y=x23x+3.
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Matematica

La parabola in figura ha equazione y=ax2+bx+c. Stabilisci se le seguenti affermazioni sui coefficienti a, b e c sono vere o false.
A: b=3
B: a>0
C: c=0
D: b=0
E: b24ac>0
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La parabola di equazione y=(a21)x22x+a passa per il punto (2;10). Quanto vale a?

Sostituiamo x=2 e y=10:
________=________(a21)4+a.
Semplifichiamo e risolviamo:
4a2+a18=0 
4a28a+9a18=0 
4a(a2)+9(a2)=0 
(a________2)(4a________9)=0 
a=2  a=94.
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La parabola di equazione y=x2(b3)x interseca l'asse x in due punti distanti 5. Quali valori può assumere b?

I punti di intersezione sono (x1;0) e (x2;0).
Sostituiamo ________=0:
0=x2(b3)x.
Sappiamo che x1x2=5, imponiamo quindi ________=5:
________=5.
Semplifichiamo e risolviamo:
b26b+9=25  b26b16=0 
(b8)(b+2)=0  
b=8  b=________.
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Per quali valori di b la parabola di equazione y=x2b2 interseca gli assi cartesiani in tre punti che formano un triangolo rettangolo?

y=x2b2 è una parabola che ha come asse di simmetria l'asse ________ e che lo interseca nel punto (0;b2).

Per formare un triangolo rettangolo le intersezioni con l'asse x devono essere ________ e (b2;0).
Rappresentiamo la parabola in figura.

La distanza tra le due soluzioni quindi è di ________.
Sostituiamo y=0:
0=x2b2.
Sappiamo che x1x2=________ imponiamo Δa=2b2:
4b2=2b2.
Semplifichiamo e risolviamo:
2|b|=2b2  |b|=b2 
b=b2  b=b2  ________.
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Scrivi l'equazione della parabola rappresentata nella figura e le coordinate del suo vertice V.

Le coordinate dei punti del grafico sono (1;0), (5;0) e (0;52).
Sostituiamo le coordinate nell'equazione generica y=ax2+bx+c e mettiamole a sistema:
________.
Risolviamo il sistema:
{25=10a10b5=50a+10bc=52  
{60a=305=50a+10bc=52  ________.
L'equazione della parabola cercata è dunque
y=12x2+2x+52.
Le coordinate del vertice sono
V(22(12);________),
cioè V(2;92)
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In un rombo, la somma delle lunghezze delle diagonali vale 16 cm e una diagonale misura (x3) cm. Indica quali valori può assumere x ed esprimi l'area del rombo A(x) in funzione di x. Per quali valori di x l'area vale 152?

Se una diagonale è (x3) cm, l'altra è [16(x3)] cm, cioè (19x) cm.
Quindi 3________x<________.

Determiniamo l'area
A(x)=(x3)(19x)2=
________=
12x2+11x577.

Imponiamo x222x+572=152 e risolviamo:
x222x+________=0  
(x________18)(x4)=0  
x=18  x=4.
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Una scatola a forma di prisma retto ha per base un triangolo equilatero il cui lato, in cm, misura x. Sai che la scatola ha altezza 4 cm.
a.   Trova il suo volume V(x) in funzione di x.
b.   Quanto deve valere x, se il volume è pari a 12 cm³ ?

a.   L'altezza di un triangolo equilatero di lato x è ________.
L'area di base è x32x2=34x2,
quindi V(x)=________4=3x2.

b.   Imponiamo 3x2=12 e risolviamo:
________=144________=48  
x=234.

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Due numeri sono tali che la loro somma è 14. Qual è il massimo valore che può assumere il loro prodotto?

Chiamiamo i due numeri x e 14________x.
Scriviamo il prodotto P(x)=x(14x)=14xx2.
P(x) è una parabola con concavità verso ________.
Troviamo il vertice di P(x):
(142;1964)  V(________; 49).
Quindi il valore massimo che il prodotto può assumere è 49.
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Determina per quale valore di x la figura colorata, inscritta nel rettangolo ABCD, ha area minima e calcola il valore di quest'area.


Scriviamo le aree dei triangoli non colorati in funzioni di x:
AOCP=2x6x2=6x2;
AOBN=________=12x4x2;
AMAN=(63x)(124x)2=
6x230x________36;
AMDP=3x(126x)2=18x________x2.

Quindi Acolorata(x)=
726x212x+4x26x2+30x18x+9x2=
x2+36.

Acolorata(x) è una parabola con concavità verso ________. Il vertice è V(0;36).
Concludiamo dunque che l'area ________ della parte colorata è 36 cm² e il valore di x per cui si assume è x=0.




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Una lattina di aranciata ha forma cilindrica e altezza 12 cm.
a.   Dimostra che, se il raggio di base è variabile e uguale a x, il suo volume è V=12πx2.
b.   Rappresenta graficamente la funzione quadratica che hai ottenuto.
c.   Trova per quale valore del raggio la lattina contiene 600 cm³ di aranciata.
d.   Se raddoppia il raggio, la quantità di aranciata che può essere contenuta nella lattina raddoppia?


a.   L'area del cerchio di base A(x)=________ cm² e l'altezza è 12 cm quindi V(x)=12πx2 cm³.

b.   V(x)=12πx2 è una parabola con vertice nell'origine e concavità verso ________.


c.   Imponiamo 12πx2=600 e risolviamo:
x2=50π ________.
Accettiamo sono x=5π2π3,99 cm.

d.   Sostituiamo x=2r e otteniamo  V(r)=48πr2=4(12πr2).
Quindi, se il raggio raddoppia, la quantità di aranciata che può essere contenuta nella lattina ________.
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