Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - I sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

FIP05bbtblu14 - I sistemi lineari di tre equazioni in tre incognite

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Il sistema

{\begin{cases} a x + y + z = 1 \\ 6 x + b y + z = - 1 \\ 3 x + 3 y + 3 z = c \end{cases}

ammette soluzione

(\frac{1}{3}; 1; - 1)

se:

a = 3, b = - 2, c = - 1

a = 3, b = 2, c = - 1

a = - 3, b = 2, c = 1

a = 3, b = - 2, c = 1

Scelta multipla

Il perimetro di un rettangolo è uguale al perimetro di un triangolo equilatero aumentato di

3

cm. La base del rettangolo supera di

1

cm il lato del triangolo, mentre l'altezza del rettangolo è pari a un quinto del perimetro del triangolo equilatero. Determina le lunghezze dei lati dei due poligoni. Risolvi con il metodo di sostituzione.

Indichiamo con

ℓ

la misura della lunghezza del lato del triangolo equilatero e con

b

h

rispettivamente le misure delle lunghezze della base e dell'altezza del rettangolo. Allora il sistema che risolve il problema è:
________.
Sostituiamo le espressioni della seconda e terza equazione nella prima e otteniamo:
________.
Semplifichiamo e ricaviamo

ℓ

ℓ =

________.
Possiamo ora trovare

b

h

dalla seconda e terza equazione.

b = ℓ + 1 =

________;

h =

________.
Quindi la base è lunga ________ cm, mentre l'altezza ________ cm.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite con il metodo che ritieni più opportuno.

{\begin{cases} 3 x + 2 z = \frac{y + 17}{2} \\ x + 5 = 2 (z - y) \\ 3 (x - y) - 6 = 4 - 2 y - 2 z \end{cases}

Il sistema in forma normale è:
________.
Applichiamo il metodo di riduzione e eliminiamo

y

dalla seconda e dalla terza equazione. Aggiungiamo alla seconda equazione due volte la prima:
________.
Sottraiamo la prima equazione dalla terza.
________.
Riscriviamo il sistema con le nuove equazioni.
________
La seconda e terza equazione ora contengono solamente

y

z

. Con il metodo di riduzione, eliminiamo

z

dalla seconda. Sottraiamo alla seconda equazione il triplo della terza:
________

x = 2.

Troviamo

z

dalla terza equazione:

z = \frac{7 - 3 x}{2} = \frac{1}{2}

.
Ricaviamo infine

y

dalla prima equazione:

y = 6 x + 4 z - 17 =

________.
La soluzione del sistema è:
________.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema di tre equazioni in tre incognite con il metodo che ritieni più opportuno.

{\begin{cases} 6 x + y - z = 0 \\ \frac{1}{2} x - \frac{1}{3} z = - \frac{5}{6} \\ y - 2 z = 5 \end{cases}

Il sistema è in forma normale. Possiamo applicare il metodo di sostituzione e ricavare

y

dalla terza equazione:

y =

________.
Sostituiamo l'espressione trovata nella prima e nella seconda equazione.
________
Le prime due equazioni contengono solamente le incognite

x

z

. Possiamo ricavare

z

dalla prima equazione e sostituirne il valore nella seconda.
________
Dalla seconda equazione ricaviamo

x

x =

________.
Ora possiamo ricavare

z

dalla prima equazione:

z = - 5 - 6 x =

________.
E infine

y

dalla terza:

y = 2 z + 5 =

________.
La soluzione del sistema è:
________.

Completamento chiuso

Senza risolverlo, indica se il seguente sistema è indeterminato.

{\begin{cases} x + 2 y - 3 z = 5 \\ 7 x - 4 y + z = 6 \\ 5 x - 8 y + 7 z = - 4 \end{cases}

Il sistema è in forma normale. Per capire se il sistema è determinato, indeterminato o impossibile, calcoliamo il determinante

D

D = | \begin{matrix} 1 & 2 & - 3 \\ 7 & - 4 & 1 \\ 5 & - 8 & 7 \end{matrix} | =

- 28 + 10 + 168 - 60 + 8 - 98 =

________
Il sistema ________ determinato. Per capire se il sistema è impossibile o indeterminato, calcoliamo

D_{x}

D_{x} = | \begin{matrix} 5 & 2 & - 3 \\ 6 & - 4 & 1 \\ - 4 & - 8 & 7 \end{matrix} | =

- 140 - 8 + 144 + 48 + 40 - 84 = 0

Poiché

D_{x} = 0

, calcoliamo

D_{y}

D_{y} = | \begin{matrix} 1 & 5 & - 3 \\ 7 & 6 & 1 \\ 5 & - 4 & 7 \end{matrix} | =

42 + 25 + 84 + 90 - 245 + 4 =

________
Calcoliamo infine

D_{z}

D_{z} = | \begin{matrix} 1 & 2 & 5 \\ 7 & - 4 & 6 \\ 5 & - 8 & - 4 \end{matrix} | =

16 + 60 - 280 + 100 + 48 + 56 =

________
Abbiamo trovato che

D = D_{x} = D_{y} = D_{z} = 0

, quindi il sistema è ________.

Completamento chiuso

Determina i coefficienti

a, b, c

del polinomio

P (x) = a x^{2} + b x + c

in modo che

P (- 1) = - 8

P (2) = - 2

P (\frac{3}{2}) = - \frac{7}{4}

.

Il sistema che risolve il problema è:
________.
Il sistema è già in forma normale. Risolviamolo con il metodo di sostituzione. Ricaviamo

a

dalla prima equazione:

a =

________.
Sostituiamo l'espressione trovata nella seconda e terza equazione.
________.
Ricaviamo

c

dalla terza equazione:

c =

________.
Sostituiamo l'espressione trovata nella seconda equazione:

2 b - 3 b + 13 = 10

b =

________.
Ricaviamo

c

c = 3 b - 13 =

________.
Sostituiamo infine i valori di

b

c

trovati nella prima equazione e ricaviamo

a

a = b - c - 8 =

________.

Completamento chiuso

Aggiungi al sistema

{\begin{cases} 2 x - 3 y + z = 2 \\ x + z = 0 \end{cases}

un'equazione tra le seguenti in modo da renderlo determinato.

3 x - 3 y + 2 z = 2

2 x + y + 3 z = - 1

x - 3 y = 2

x - \frac{3}{2} y + \frac{1}{2} z = 1

Scelta multipla

Giulio ha acquistato una giacca, un paio di pantaloni e una camicia. Nello stesso negozio Jamal ha comprato due paia di pantaloni e una giacca spendendo

260

€, Luigi tre camicie e un paio di pantaloni spendendo

140

€. Se un paio di pantaloni e una giacca costano come sette camicie, quanto ha speso Giulio?

Indichiamo con

x

il prezzo, in €, di una giacca, con

y

il prezzo, in €, di un paio di pantaloni e con

z

il prezzo, in €, di una camicia. Allora possiamo scrivere il sistema:
________.
Risolviamo il sistema per sostituzione. Ricaviamo

x

dalla prima equazione e sostituiamone l'espressione nella seconda e nella terza.
________.
Possiamo ricavare

y

dalla seconda equazione e sostituire l'espressione nella terza.
________.
Troviamo

z

dall'ultima equazione:

z =

________.
Possiamo ricavare

x

y

dalla prima e seconda equazione:

y = 140 - 3 z =

________;

x = 260 - 2 y =

________.
La spesa di Giulio è quindi pari a:

(x + y + z)

€

=

________ €.

Completamento chiuso