FIP05BBverdeG3 - triangoli, trapezi

Nella figura le rette $r$, $s$, $t$ e $u$ sono parallele, $OC$ è perpendicolare alla retta $r$ e $OA\cong AB\cong BC$. Se il perimetro di $ODC$ è $85$ cm, $OD=30$ cm e $DB=24$ cm, qual è il perimetro di $EACD$?


Per il teorema di Talete abbiamo
$ED=$________$=$________ cm.
Abbiamo inoltre che $EA=$________$=12$ cm e $OA=10$ cm.
La lunghezza di $DC$ è
$DC=85-29-$________$=$________ cm.
Il perimetro di $EACD$ è quindi
$P=26+15+12+$________$=$$73$ cm.

Dal vertice $A$ del triangolo equilatero $ABC$ traccia dalla parte di $B$ il segmento $AP$ parallelo a $BC$ e congruente alla sua metà. Dimostra che il quadrilatero $BCAP$ è un trapezio rettangolo. Indica poi con $Q$ il punto di intersezione dei prolungamenti dei lati $PB$ e $AC$ e dimostra che $QP\cong PB$.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.


Ipotesi:
$AB\cong BC\cong AC$;
$AP\parallel BC$;
$AP\cong {\displaystyle \frac{1}{2}BC}$.

Tesi:
$BCAP$ trapezio rettangolo;
$QP\cong PB$.

Dimostrazione
Tracciamo l'altezza $AH$ del triangolo $ABC$. Poiché per ipotesi $AP\cong {\displaystyle \frac{1}{2}BC\cong BH}$ dato che il triangolo è equilatero e $AP\parallel$________, il quadrilatero $APBH$ è un ________. Ne consegue che il quadrilatero $BCAP$ è un trapezio rettangolo.
Osserviamo che $A\hat{B}C\cong P\hat{A}B$ perché alterni ________ delle rette parallele $AP$ e $BC$ tagliate dalla trasversale $AB$. Inoltre, $P\hat{A}Q\cong A\hat{C}B$ poiché sono angoli ________ delle rette parallele $AP$ e $BC$ tagliate dalla trasversale $CQ$. Infine, poiché $ABC$ è equilatero, si ha $A\hat{C}B\cong C\hat{B}A\cong B\hat{A}P\cong P\hat{A}Q$ per proprietà transitiva.
Consideriamo i triangoli $QAP$ e $APB$. Essi hanno:
•   $AP$ in comune;
•   $A\hat{P}Q\cong A\hat{P}B$ perché retti;
•   $Q\hat{A}P\cong$________ per quanto dimostrato prima. Pertanto sono congruenti per il ________ criterio di congruenza e $QP\cong PB$ in quanto elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Vero o falso?
Nel triangolo $ABC$, $M$, $N$ e $P$ sono rispettivamente i punti medi dei lati $AB$, $BC$ e $AC$.

L'area del trapezio $ABCD$ in figura è di $280$ cm².
a.   Che tipo di quadrilatero è $EFGH$?
b.   Determina l'area di $EFGH$.


a.   Il quadrilatero $EFGH$ è un ________.
b.   L'area di $EFGH$ è $A=$________$=$________ cm².

I bastoncini nella figura sono tutti uguali. Il trapezio $ABCD$ è rettangolo.
a.   Quanto vale il rapporto ${\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AB}}}$?
b.   Il perimetro di $DHB$ è di $36$ cm. Quanto vale quello di $DOP$?

a.   Il rapporto ${\displaystyle \frac{\overline{OP}}{\overline{AB}}}$ vale ________.

b.   Il perimetro di $DOP$ è ________.