Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - La similitudine e la circonferenza, la sezione aurea

FIP04bbtbluG7 - La similitudine e la circonferenza, la sezione aurea

8 esercizi

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Matematica

Completa applicando i teoremi delle corde, delle secanti, della secante e della tangente. Considera

P T

tangente alla circonferenza.

a. ________

= \bar{P C} \cdot \bar{P D}

\bar{A H} \cdot \bar{H B} =

________

\cdot \bar{H D}

\bar{P A} \cdot

________

= \bar{P D} \cdot \bar{P C}

\bar{B P} : \bar{P T} =

________

: \bar{A P}

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Matematica

Dimostra che, se un cateto è la sezione aurea dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo, allora quel cateto è congruente alla proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa.

Disegniamo la figura.

Sia

B H

la proiezione di

A B

sull'ipotenusa e

K

un punto su

B C

tale che

A C ≅ C K

.

Ipotesi
________

:

________

= \bar{A C} : \bar{B K}

.
Tesi

A C ≅ B H

\bar{C H} : \bar{A C} = \bar{A C} : \bar{B C}

per il ________ teorema di Euclide, quindi

{\bar{A C}}^{2} = \bar{C H} \cdot \bar{B C}

.
Inoltre,

{\bar{A C}}^{2} = \bar{B K} \cdot \bar{B C}

per ipotesi.
Quindi

\bar{C H} \cdot \bar{B C} = \bar{B K} \cdot \bar{B C}

e cioè

C H ≅ B K

.
Inoltre,

C H ≅ B C

________

B H

B K ≅ B C

________

C K

quindi anche

B H ≅ C K

.
Infine

A C ≅ B H

per costruzione.

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Matematica

Nella Gioconda è possibile individuare una spirale aurea. Calcola l'altezza del rettangolo aureo più grande, sapendo che quella del rettangolo più piccolo è

8

cm.

L'altezza del rettangolo più piccolo è il lato più corto del secondo rettangolo più piccolo e quindi la sezione aurea del lato più ________.
Quest'ultimo, a sua volta, è il lato corto del terzo rettangolo più piccolo e quindi la sezione aurea del lato più ________.
Questa relazione si ripete per ________ rettangoli fino ad arrivare al più grande.
Possiamo quindi scrivere:

8 :

________

=

\frac{8 \cdot 2^{4}}{(\sqrt{5} - 1)^{4}} = \frac{16}{7 - 3 \sqrt{5}}

cm.
Razionalizziamo:

\frac{16}{7 - 3 \sqrt{5}} \cdot \frac{7 + \sqrt{5}}{7 + \sqrt{5}} = 4 (7 + \sqrt{5})

cm.

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Matematica

Il rettangolo

A B C D

ha il lato

A D

lungo

12

cm ed è inscritto in una circonferenza di raggio

10

cm. La corda

A H

divide il lato

D C

in due segmenti

D K

K C

che stanno tra loro come

1

sta a

3

. Calcola il perimetro del triangolo

C H K

.

Disegniamo la figura.

Consideriamo il triangolo isoscele

A O D

. La sua altezza

h

relativa ad

A D

è:
________

= \sqrt{64} = 8

cm per il teorema di ________.
Quindi

A B = 16

cm.
Troviamo anche

D K =

________ cm e

C K = 12

cm.
Inoltre, nel triangolo

A D K

abbiamo

A K = \sqrt{4^{2} + 12^{2}} = 4 \sqrt{10}

cm per il teorema di Pitagora.
Quindi

\bar{D K} : \bar{H K} =

________

: \bar{C K}

per il teorema delle corde, cioè:

4 : \bar{H K} = 4 \sqrt{10} : 12 \to

H K = \frac{48}{4 \sqrt{10}} =

________ cm.
Il triangolo

C H K

è rettangolo perché inscritto in una ________ quindi

H C = \sqrt{12^{2} - {(\frac{6}{5} \sqrt{10})}^{2}} = \frac{18 \sqrt{2}}{\sqrt{5}} = \frac{18}{5} \sqrt{10}

cm per il teorema di Pitagora.
Infine,

2 p_{C H K} = 12 +

________

+ \frac{18}{5} \sqrt{10} =

12 + \frac{24}{5} \sqrt{10}

cm.

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Matematica

Sono dati i punti

A

B

e i punti

C

D

appartenenti rispettivamente a due semirette di origine

P

e tali che

A P : C P = D P : B P

. Dimostra che i quattro punti stanno su una stessa circonferenza.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

A

B

\in r

;

C

D

\in s

;

A P : C P = D P : B P

.
Tesi

A

B

C

D

\in C

.

Consideriamo la circonferenza

C

che passa per i punti

A

B

C

P A

interseca

C

nei punti

A

e ________. Supponiamo che

P C

intersechi

C

nei punti

C

D^{'}

.
Quindi

A P : C P = D^{'} P : B P

per il teorema delle ________.
Sappiamo però che

A P : C P = D P : B P

per ipotesi.
Quindi

D

D^{'}

coincidono per il teorema della ________ proporzionale e cioè

D

\in C

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Matematica

Per il punto medio $M$ dell'arco $A B$ di una circonferenza, conduci una corda $M N$ che taglia in $P$ la corda $A B$ . Dimostra che la retta $M A$ è tangente alla circonferenza passante per $A$ , $P$ , $N$ .

Disegniamo la figura.

Ipotesi: $\hat{A M} = \hat{M B}$

Tesi: $M A$ è tangente a $C^{'}$ .

Consideriamo i triangoli $A P N$ e $N A M$ . Essi hanno:

$A \hat{M} P ≅ N \hat{M} A$ perché è in comune;
$M \hat{A} P ≅ M \hat{N} A$ perché sottendono archi congruenti;

quindi $A P M \sim N A M$ per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

In particolare

$M N :$ ________ $= M A : M P$ .

La retta $M N$ è ________ la circonferenza $C^{'}$ .

Supponiamo che anche la retta $M A$ sia secante e che quindi esista un punto $A^{'} \in C^{'} \cap M A$ diverso da $A$ .

Allora $M N : M A^{'} = M A : M P$ per il teorema delle ________.

Concludiamo quindi che $A^{'}$ coincide con $A$ per il teorema della quarta proporzionale e cioè $M A$ è ________ a $C^{'}$ .

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Matematica

Nella figura, la circonferenza ha centro

O

. Determina la lunghezza di

B C

e di

A B

. Determina poi l'area del triangolo

A C O

. Le misure dei segmenti rappresentati sono in cm.

A O

interseca la circonferenza in

A^{'}

; prolunghiamo

A O

fino a intersecare la circonferenza di nuovo in

A^{″}

.
Abbiamo che

A A^{″} =

________ cm e

A C =

(

________

- 14)

cm.
Inoltre, ________

: \bar{A C} = \bar{A B} : \bar{A A^{'}}

per il teorema delle secanti quindi:

44 : (3 x - 14) = (2 x - 14) : 20 \to

6 x^{2}

________

70 x + 196 = 880 \to

3 x^{2} - 35 x + 342 = 0 \to

Δ = 5328

x_{1, 2} = \frac{35 \pm 73}{6} =

x_{1} = 18; x_{2} = - \frac{19}{3} .

Consideriamo solo la soluzione positiva.
Quindi

B C = 18

cm e

A B =

________ cm.
Infine,

2 p_{A C O} = 12 + 40 + 32 = 84

cm e

A_{A C O} = \sqrt{42 \cdot 30 \cdot 2 \cdot 10} = 60 \sqrt{7}

cm².

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Matematica

La figura rappresenta una circonferenza di centro

O

e raggio

r = 40

cm.

M

è il punto medio della corda

A B

\bar{O M} = 32

.
Calcola le lunghezze di

M D

C M

e il rapporto tra le aree dei triangoli

C B M

A D M

.

Nel triangolo rettangolo

O B M

abbiamo

M B = \sqrt{40^{2} - 32^{2}} = 24

cm per il teorema di Pitagora.
Quindi anche

A M =

________ cm.

\bar{M B} : \bar{M D} =

________:

\bar{A M}

per il teorema delle corde

24 : (\frac{1}{3} x - 4) = x : 24 \to

\frac{1}{3} x^{2} - 4 x - 576 = 0 \to

x^{2} - 12 x - 1728 = 0 \to

\frac{Δ}{4} = 1764

x_{1, 2} = 6 \pm

________

=

x_{1} = 48; x_{2} = - 36.

Consideriamo solo la soluzione positiva.
Quindi

C M = 48

cm e

M D = 12

cm.
Infine, il rapporto di similitudine tra

C B M

A D M

2

quindi il rapporto tra le loro aree è ________.

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