Tipo di esercizi
Completamento chiuso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - La similitudine e la circonferenza, la sezione aurea
INFO

Matematica

Completa applicando i teoremi delle corde, delle secanti, della secante e della tangente. Considera PT tangente alla circonferenza.

a.   ________=PC¯PD¯
b.   AH¯HB¯=________HD¯
c.    PA¯________=PD¯PC¯
d.   BP¯:PT¯=________:AP¯
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Dimostra che, se un cateto è la sezione aurea dell'ipotenusa di un triangolo rettangolo, allora quel cateto è congruente alla proiezione dell'altro cateto sull'ipotenusa.

Disegniamo la figura.


Sia BH la proiezione di AB sull'ipotenusa e K un punto su BC tale che ACCK.

Ipotesi
________:________=AC¯:BK¯.
Tesi
ACBH.

CH¯:AC¯=AC¯:BC¯ per il ________ teorema di Euclide, quindi AC¯2=CH¯BC¯.
Inoltre, AC¯2=BK¯BC¯ per ipotesi.
Quindi CH¯BC¯=BK¯BC¯ e cioè CHBK.
Inoltre,
CHBC________BH e
BKBC________CK quindi anche BHCK.
Infine ACBH per costruzione.
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Nella Gioconda è possibile individuare una spirale aurea. Calcola l'altezza del rettangolo aureo più grande, sapendo che quella del rettangolo più piccolo è 8 cm.

L'altezza del rettangolo più piccolo è il lato più corto del secondo rettangolo più piccolo e quindi la sezione aurea del lato più ________.
Quest'ultimo, a sua volta, è il lato corto del terzo rettangolo più piccolo e quindi la sezione aurea del lato più ________.
Questa relazione si ripete per ________ rettangoli fino ad arrivare al più grande.
Possiamo quindi scrivere:
8:________=824(51)4=16735 cm.
Razionalizziamo:
167357+57+5=4(7+5) cm.
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Il rettangolo ABCD ha il lato AD lungo 12 cm ed è inscritto in una circonferenza di raggio 10 cm. La corda AH divide il lato DC in due segmenti DK e KC che stanno tra loro come 1 sta a 3. Calcola il perimetro del triangolo CHK.

Disegniamo la figura.


Consideriamo il triangolo isoscele AOD. La sua altezza h relativa ad AD è:
________=64=8 cm per il teorema di ________.
Quindi AB=16 cm.
Troviamo anche DK=________ cm e CK=12 cm.
Inoltre, nel triangolo ADK abbiamo AK=42+122=410 cm per il teorema di Pitagora.
Quindi DK¯:HK¯=________:CK¯ per il teorema delle corde, cioè:
4:HK¯=410:12
HK=48410=________ cm.
Il triangolo CHK è rettangolo perché inscritto in una ________ quindi
HC=122(6510)2=1825=18510 cm per il teorema di Pitagora.
Infine,
2pCHK=12+________+18510=
12+24510 cm.
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Sono dati i punti A, B e i punti C, D appartenenti rispettivamente a due semirette di origine P e tali che AP:CP=DP:BP. Dimostra che i quattro punti stanno su una stessa circonferenza.

Disegniamo la figura.


Ipotesi
A, Br;
C, Ds;
AP:CP=DP:BP.
Tesi
A, B, C, DC.

Consideriamo la circonferenza C che passa per i punti A, B e C.
PA interseca C nei punti A e ________. Supponiamo che PC intersechi C nei punti C e D.
Quindi AP:CP=DP:BP per il teorema delle ________.
Sappiamo però che AP:CP=DP:BP per ipotesi.
Quindi D e D coincidono per il teorema della ________ proporzionale e cioè DC.
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Per il punto medio M dell'arco AB di una circonferenza, conduci una corda MN che taglia in P la corda AB. Dimostra che la retta MA è tangente alla circonferenza passante per A, P, N.

Disegniamo la figura.

Ipotesi:  AM^=MB^

Tesi:  MA è tangente a C.

Consideriamo i triangoli APN e NAM. Essi hanno:

  • AM^PNM^A perché è in comune;
  • MA^PMN^A perché sottendono archi congruenti;

quindi APMNAM per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

In particolare

MN:________=MA:MP.

La retta MN è ________ la circonferenza C.

Supponiamo che anche la retta MA sia secante e che quindi esista un punto ACMA diverso da A.

Allora MN:MA=MA:MP per il teorema delle ________.

Concludiamo quindi che A coincide con A per il teorema della quarta proporzionale e cioè MA è ________ a C.

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Nella figura, la circonferenza ha centro O. Determina la lunghezza di BC e di AB. Determina poi l'area del triangolo ACO. Le misure dei segmenti rappresentati sono in cm.

AO interseca la circonferenza in A; prolunghiamo AO fino a intersecare la circonferenza di nuovo in A.
Abbiamo che AA=________ cm e
AC=(________14) cm.
Inoltre, ________:AC¯=AB¯:AA¯ per il teorema delle secanti quindi:
44:(3x14)=(2x14):20
6x2________70x+196=880
3x235x+342=0
Δ=5328 e x1,2=35±736=
x1=18;x2=193.
Consideriamo solo la soluzione positiva.
Quindi BC=18 cm e AB=________ cm.
Infine, 2pACO=12+40+32=84 cm e
AACO=4230210=607 cm².
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La figura rappresenta una circonferenza di centro O e raggio r=40 cm.
M è il punto medio della corda AB e OM¯=32.
Calcola le lunghezze di MD e CM e il rapporto tra le aree dei triangoli CBM e ADM.

Nel triangolo rettangolo OBM abbiamo MB=402322=24 cm per il teorema di Pitagora.
Quindi anche AM=________ cm.
MB¯:MD¯=________:AM¯ per il teorema delle corde
24:(13x4)=x:24 
13x24x576=0 
x212x1728=0 
Δ4=1764 e x1,2=6±________=
x1=48;x2=36.
Consideriamo solo la soluzione positiva.
Quindi CM=48 cm e MD=12 cm.
Infine, il rapporto di similitudine tra CBM e ADM è 2 quindi il rapporto tra le loro aree è ________.
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