Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Il primo teorema di Euclide e il teorema di Pitagora

FIP04bbtbluG6 - Il primo teorema di Euclide e il teorema di Pitagora

9 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Vero o falso?

In figura

E D ∥ A B

P R ∥ Q D

.
Indica se le seguenti affermazioni sono vere o false.

{\bar{B E}}^{2} = \bar{B P} \sqrt{{\bar{A E}}^{2} + {\bar{B E}}^{2}}

{\bar{P R}}^{2} = \bar{E R} \cdot \bar{E B} - {\bar{E R}}^{2}

{\bar{B D}}^{2} - {\bar{E B}}^{2} = \bar{E Q} \cdot \bar{E B}

{\bar{E D}}^{2} = {\bar{B R}}^{2} + {\bar{P R}}^{2}

Vero o falso

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Matematica

Una scatola ha dimensioni

6 \times 6 \times 3

(con le lunghezze espresse in cm). Quale lunghezza potrà avere al massimo uno stecchino per entrare completamente nella scatola?

6

cm.

7

cm.

8

cm.

9

cm.

10

cm.

Scelta multipla

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Matematica

In un rettangolo

A B C D

A B = 4

cm e

B C = 2

cm. Determina un punto

P

A B

in modo che:

{\bar{P A}}^{2} + {\bar{P B}}^{2} + {\bar{P C}}^{2} + {\bar{P D}}^{2} = 33

.

Poniamo

x = \bar{P A}

e utilizzando il teorema di Pitagora otteniamo:

x^{2} + (4 - x)^{2} +

________

+

________

= 33

.
Risolvendo l'equazione otteniamo

x = 3, 5

cm oppure

x = 0, 5

cm.

Completamento chiuso

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Matematica

In un triangolo isoscele ciascun lato misura

\frac{3}{5} \sqrt{10} a

e l'altezza relativa alla base è i

\frac{3}{2}

della base stessa. Determina il perimetro del triangolo e il diametro della circonferenza circoscritta al triangolo.

Indichiamo con

x

la base del triangolo isoscele

A B C

.
Utilizzando il teorema di Pitagora sul triangolo ________:

{(\frac{x}{2})}^{2} + {(\frac{3}{2} x)}^{2} = {(\frac{3}{5} \sqrt{10} a)}^{2}

.
Risolvendola abbiamo:

x =

________.
Il perimetro del triangolo è:

2 p =

________.
L'altezza relativa alla base è quindi:

\bar{A H} =

________.
Sia

E

il punto di intersezione tra la circonferenza circoscritta e il prolungamento di

A H

.
Applicando il primo teorema di Euclide al triangolo rettangolo

A B E

abbiamo che il diametro

d

della circonferenza circoscritta al triangolo è:

d = {(\frac{3}{5} \sqrt{10} a)}^{2} :

________

=

________.

Completamento chiuso

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Matematica

Vero o falso?

In un triangolo acutangolo

A B C

, i lati

A B

B C

A C

sono lunghi rispettivamente

17

cm,

44

cm e

39

cm. Siano

A H

l'altezza relativa a

B C

C M

la mediana relativa ad

A B

. Allora:

{\bar{A C}}^{2} - {\bar{C H}}^{2} = {\bar{A B}}^{2} - {\bar{B H}}^{2}

{\bar{A B}}^{2} = 44 \bar{B H}

C: la proiezione di

M

B C

coincide con il punto medio di

B H

C M = \frac{5}{2} \sqrt{265}

cm.

Vero o falso

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Matematica

Nella figura il triangolo

A B C

è rettangolo in

C

A D ≅ A H

. Inoltre,

E A

è perpendicolare ad

A C

E G

è perpendicolare a

B C

. Dimostra che:
a.

A E G C

è un quadrato;
b.

A E G C

è equivalente al rettangolo

A D F B

;
c. il trapezio

E F B K

è equivalente al quadrilatero

H K G C

.

a.

A E G C

ha tutti gli angoli retti e

A C = A E

in quanto

A D E

equivalente a ________ per il secondo criterio di congruenza.

b. Per il primo teorema di Euclide abbiamo che:

A C^{2} = A B \cdot

________. E quindi il quadrato

A E C F

è equivalente al rettangolo

A D F B

.

c. Il trapezio

E F B K

è equivalente al quadrilatero

H K G C

in quanto ________ di figure rispettivamente equivalenti:

A E G C

equivalente a

A D F B

A E K

in comune e

A D E

equivalente a ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Dato un triangolo

E F G

, sia

C

la circonferenza a esso circoscritta. Indichiamo con

X

il punto d'intersezione (diverso da

F

) della bisettrice dell'angolo

E \hat{F} G

con la circonferenza

C

e con

Y

il punto medio dell'arco

\overset{⌢}{E G}

contenente

F

. Sapendo che

\bar{F X} = 12

\bar{F Y} = 5

, quanto misura il raggio della circonferenza

C

9

\frac{13}{2}

7

8

\frac{11}{2}

Scelta multipla

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Matematica

Dimostra che in un trapezio circoscritto a una circonferenza la somma dei quadrati dei lati obliqui è equivalente alla somma dei quadrati delle distanze dei vertici dal centro.

Applichiamo il teorema di Pitagora al triangolo rettangolo di base un lato obliquo del trapezio e di vertice il centro del cerchio inscritto.

Abbiamo quindi che il quadrato costruito sull'________, quindi sul lato obliquo del trapezio, è equivalente alla ________ dei quadrati costruiti sui cateti che sono le due distanze dei vertici dal centro.

Lo stesso vale per il triangolo costruito sull'altro lato obliquo del trapezio.

Quindi in conclusione abbiamo che la somma dei quadrati dei due lati obliqui del trapezio è equivalente alla ________ dei quadrati delle distanze dei vertici dal centro.

Completamento chiuso

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Matematica

Consideriamo il triangolo rettangolo

A B C

di ipotenusa

A B

. La mediana

C M

relativa ad

A B

è i

\frac{5}{2}

della proiezione

A H

del cateto

A C

sull'ipotenusa e il perimetro di

A B C

8 (3 \sqrt{5} + 5)

cm. Trova la lunghezza del raggio della circonferenza inscritta ad

A B C

.

Per il primo teorema di Euclide abbiamo che:

{\bar{A C}}^{2} = \bar{A H} \cdot \bar{A B} =

\bar{A H} \cdot

________

=

________

\to

\bar{A C} = \sqrt{5} \bar{A H}

;

{\bar{B C}}^{2} = \bar{B H} \cdot \bar{A B} =

________

\cdot

________

= 20 {\bar{A H}}^{2} \to

\bar{B C} = 2 \sqrt{5} \bar{A H}

.

Il perimetro del triangolo rettangolo è:

2 \sqrt{5} \bar{A H} + \sqrt{5} \bar{A H} +

________

=

8 (3 \sqrt{5} + 3) \to \bar{A H} =

________ cm.

Possiamo ora calcolare l'area del triangolo rettangolo:

A =

________

=

________ cm².

La lunghezza del raggio della circonferenza inscritta è:

a = \frac{A}{p} =

________

=

________

(3 \sqrt{5} - 3)

cm.

Completamento chiuso

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