FIP04bbtblu20 - I problemi con le disequazioni

L'area della parte di quadrato colorata in figura, in cui le misure sono in cm, è:

In un triangolo l'altezza supera di $2$ cm la metà della base. Determina quali valori può assumere la misura $x$, in cm, della base in modo che l'area sia al massimo $24$ cm².

Indichiamo con $x$ la misura della base. Allora l'altezza misura:
________.
Vogliamo trovare i valori di $x$ tali che la misura dell'area del triangolo non superi $24$, cioè:
________$\le 24$.
Risolviamo le parentesi e otteniamo:
________$\le 0$.
La disequazione è soddisfatta per:
________.
Poiché $x>0$, i valori accettabili sono:
________.

Da una lamiera quadrata di lato $x$ cm vengono tagliati quattro quadrati di lato $(x-12)$ cm e, ripiegando lungo i lati tratteggiati, si costruisce una scatola. Determina per quali valori di $x$:
a.   è possibile costruire la scatola;
b.   si ottengono scatole con superficie maggiore di $180$ cm².


a.   Affinchè la scatola si possa costruire, sia la lunghezza del pezzo tagliato sia la lunghezza della lamiera rimasta dopo il taglio devono essere positive, cioé:
$\{\begin{array}{c}x-12>0\\ x-(x-12)-(x-12)>0\end{array}\to$
________
La soluzione del sistema è:
________.

b.   L'area della superficie azzurra dev'essere maggiore di $180$ cm², cioè:
________$>180$.
Eliminiamo le parentesi:
$x^2-48x+576+4(-x^2+36x-288)>180$
$-3x^2+96x-756>0$.
Dividendo membro a membro per $-3$ otteniamo:
$x^2-32x+252$________$0$.
Le soluzioni sono:
________.

Associa ogni condizione, relativa alla parabola di equazione $y=(9-k^2)x^2+2kx-1$, ai valori di $k$ che la soddisfano.

1.   Ha il vertice di ordinata positiva.
________

2.   Ha il vertice di ascissa negativa.
________

3.   Interseca l'asse $x$.
________

4.   Ha concavità verso il basso e non interseca l'asse $x$.
________

Dimostra che ogni numero naturale è tale che sommando il suo quadrato al suo doppio si ottiene una quantità che non supera il triplo prodotto fra il numero stesso e il suo successivo.

Indichiamo con $n$ un numero naturale. La disequazione che risolve il problema è:
________.
Semplificando otteniamo:
________.
Le soluzioni della disequazione sono:
________.
Osserviamo che tutti i numeri naturali soddisfano la disequazione.

La somma tra il triplo di un numero $x$ e il doppio del suo reciproco è minore del numero stesso diminuito di $5$. Quali numeri soddisfano questa condizione?

La disequazione che risolve il problema è:
________.
Scriviamo la disequazione nella forma ${\displaystyle \frac{N(x)}{D(x)}>0}$ o ${\displaystyle \frac{N(x)}{D(x)}<0}$:
________$<0$.
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Osserviamo che:
$N>0\to 2x^2+5x+2>0\to$
________;
$D>0\to x>0$.
Il quadro dei segni è quello in figura ________.


Dobbiamo determinare i valori di $x$ tali che la frazione sia minore di zero, cioè:
________.

In un triangolo isoscele il lato obliquo supera di $1$ cm la base. Indicata con $x$ la lunghezza della base, determina per quali valori di $x$ il quadrato dell'altezza relativa alla base è compreso tra $21$ cm² e $33$ cm².

Per il teorema di Pitagora, il quadrato dell'altezza relativa alla base è pari a:
________.
Dobbiamo quindi risolvere il sistema:
________.
Risolviamo separatamente le due disequazioni.

Prima disequazione.
________$>0$
Le soluzioni dell'equazione associata sono ${\displaystyle x=-\frac{20}{3}}$ e $x=4$, quindi la disequazione è risolta per:
________.

Seconda disequazione.
________$<0$
Le soluzioni dell'equazione associata sono $x=-8$ e $x={\displaystyle \frac{16}{3}}$, quindi la disequazione è risolta per:
________.
Tenendo presente che $x>0$, lo schema grafico con le soluzioni delle due disequazioni è rappresentato in figura ________.


Le soluzioni del sistema sono:
________.

In un parco la superficie occupata da uno scivolo può essere considerata un rettangolo di dimensioni $x$ e $3x$. Per ragioni di sicurezza, deve essere lasciato libero uno spazio aggiuntivo di $1,5$ m per ogni lato.
Determina per quali valori di $x$ lo scivolo può essere installato in sicurezza in un'area di al massimo $24$ m².


Determiniamo le lunghezze dei lati del rettangolo di parco che circondano lo scivolo in funzione di $x$. Il lato più lungo è lungo
$(3x+1,5+1,5)=(3x+3)$m.
Analogamente, il lato più corto è lungo ________ m.
Quindi la disequazione risolvente del problema è:
________$\le 24$.
Semplifichiamo le parentesi e otteniamo:
$x^2+4x-5\le 0$.
Le soluzioni della disequazione sono
________.
Tenendo conto che $x>0$, le soluzioni del problema sono:
________.

Luigi vuole creare nel suo giardino, di lati $12$ m e $5$ m, due orti disposti come in figura. Trova quali valori in metri può assumere $x$ affinché l'area coltivata sia compresa tra $22$ m² e $40$ m².


Osserviamo innanzitutto che $x>0$, $12-2x>0$ e $4x<5$ quindi:
________.
L'area totale dei due orti misura:
________.
Il sistema che risolve il problema è:
________.
Risolviamo separatamente le due disequazioni.

Prima disequazione.
________$<0$
Le soluzioni dell'equazione associata sono ${\displaystyle x=\frac{1}{2}}$ e ${\displaystyle x=\frac{11}{2}}$, quindi la prima disequazione è verificata per:
________.

Seconda disequazione.
________$>0$
Le soluzioni dell'equazione associata sono:
________.
quindi la seconda disequazione è verificata per:
________.
Per risolvere il problema dobbiamo trovare i valori di $x$ che soddisfano il sistema:
$\{\begin{array}{c}{\displaystyle 0<x<\frac{5}{4}}\\ {\displaystyle \frac{1}{2}<x<\frac{11}{2}}\\ x<1\vee x>5\end{array}.$
Le soluzioni sono:
________.

La rete di un tavolo da ping pong è alta $15,25$ cm. Se si considera un piano cartesiano con l'origine nel punto medio del bordo inferiore della rete, l'asse $x$ parallelo ai due lati lunghi del tavolo e l'asse $y$ perpendicolare a esso e rivolto verso l'alto, la traiettoria della pallina lanciata da Carlo, che gioca dalla parte negativa dell'asse $x$, ha equazione
$y=-0,00125x^2-0,3125x+20$.
a.   Per quali valori $x$ la pallina si trova al di sopra della rete? Approssima a una cifra decimale.
b.   Interpreta il risultato algebrico nel contesto reale: la pallina supererà la rete? In caso affermativo, a che distanza orizzontale da essa cadrà? Motiva la risposta.

a.   La pallina si trova sopra la rete ogni volta che ________ cm, cioè:
$-0,00125x^2-0,3125x+20>15,25$
$0,00125x^2+0,3125x-4,75<0$.
Trasformiamo in frazione i coefficienti:
${\displaystyle \frac{1}{800}{x}^2+}$________$x$${\displaystyle -\frac{19}{4}<0}$
$x^2+250x-$________$<0$
Troviamo le radici dell'equazione associata
$x=-125\pm \sqrt{{125}^2+3800}\to$
$x=-125\pm \sqrt{19425}$.
Poiché $19425$ non è un quadrato perfetto, approssimiamo il risultato alla prima cifra decimale:
$x=-125\pm 139,4$
$x=-264,4\vee x=14,4$.
Le soluzioni della disequazione sono:
________.

b.   Abbiamo trovato le soluzioni $-264,3\text{cm }<x<114,4\text{cm }$.
In corrispondenza di $x=0$, che è compreso in questo intervallo, la pallina ________ la rete.
La pallina tocca il tavolo (se questo è sufficientemente lungo) quando
$-0,00125x^2-0,3125x+20=0$,
ossia quando la parabola interseca l'asse ________.
Risolviamo l'equazione.
$-0,00125x^2-0,3125x+20=0$
${\displaystyle \frac{1}{800}{x}^2+\frac{5}{16}x-20=0}$
$x^2+250x-$________$=0$
Le soluzioni dell'equazione sono:
$x=-125\pm \sqrt{{125}^2+16000}$
$x=-125\pm \sqrt{31625}$
$x=-125\pm 177,8$
$x=-302,2\vee x=52,8$.
Solo $x=$________ cm è accettabile, in quanto il punto si trova oltre alla rete rispetto al giocatore che inizialmente lanciato la pallina. Inoltre, poiché  il tavolo da ping pong è lungo $274$ cm, il tavolo si estende da $x=$________ a $x=$________, quindi in $x=52,8$ la pallina ________ effettivamente il tavolo.