Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - I problemi con i sistemi di grado superiore al secondo

FIP04bbtblu19 - I problemi con i sistemi di grado superiore al secondo

8 esercizi

SVOLGI

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Matematica

In un numero di due cifre la somma della cifra delle unità con il doppio della cifra delle decine è $10$ . La somma dei reciproci dei quadrati delle due cifre è $\frac{5}{18}$ . Qual è il numero?

Indichiamo con $x$ la cifra delle unità e con $y$ la cifra delle decine e scriviamo il sistema risolvente.

________

Risolvento il sistema otteniamo:

${\begin{matrix} x + 2 y = 10 \\ 18 x^{2} + 18 y^{2} - 5 x^{2} y^{2} = 0 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x =$ ________	.
	$y = 2$

Il numero è ________.

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Matematica

Il prodotto di due numeri aumentato di $20$ è uguale a $5$ . La somma dei reciproci dei quadrati dei due numeri è $\frac{34}{225}$ . Determina i due numeri.

Indichiamo con $x$ e $y$ i due numeri e impostiamo il sistema risolvente.

________

Risolviamo il sistema:

${\begin{matrix} x y = - 15 \\ 225 x^{2} + 225 y^{2} - 34 x^{2} y^{2} = 0 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} x y = - 15 \\ x^{2} + y^{2} = 34 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x y = - 15$
	$(x + y)^{2} =$ ________

Il sistema è equivalente ai seguenti due sistemi simmetrici:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x y = - 15$	$\lor$
	$x + y =$ ________

${\begin{matrix} x y = - 15 \\ x + y = - 2 \end{matrix} .$

I due numeri sono ________ oppure $- 5$ e $3$ .

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Matematica

Considera il sistema

${\begin{matrix} x + y = 3 a \\ x^{2} + y^{2} = 29 a^{2} - 14 a + 2 \end{matrix} .$

Determina per quali valori del parametro a il sistema ammette soluzioni positive.

Risolviamo il sistema:

${\begin{matrix} x + y = 3 a \\ x^{2} + y^{2} = 29 a^{2} - 14 a + 2 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} x + y = 3 a \\ (x + y)^{2} - 2 x y = 29 a^{2} - 14 a + 2 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x + y = 3 a$	.
	$x y =$ ________ $a^{2} + 7 a - 1$ .

Risolviamo il sistema utilizzando l'incognita ausiliaria $t$ :

$t^{2} - 3 a t - 10 a^{2} + 7 a - 1 = 0 \to$

$t_{1} =$ ________; $t_{2} = - 2 a + 1$ .

Il sistema ammette soluzioni positive se

$0 <$ ________ $\land$ $- 2 a + 1 > 0$

cioè se ________ $< a < \frac{1}{2}$ .

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Matematica

L'area di un rombo è $30$ cm². La diagonale del rettangolo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati del rombo misura $\sqrt{34}$ cm. Determina la misura delle diagonali del rombo.

Indichiamo con $x$ e $y$ le diagonali del rombo.

Scriviamo il sistema e lo risolviamo:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$\frac{x y}{2} = 30$	$\to$
	$($ ________ $)^{2}$ $+ {(\frac{y}{2})}^{2} = 34$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x y = 60$	$\to$
	$x^{2} + y^{2} =$ ________

${\begin{matrix} x y = 60 \\ (x + y)^{2} = 256 \end{matrix} .$

Il sistema è equivalente ai seguenti due sistemi simmetrici:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x y = 60$	$\lor$ ${\begin{matrix} x y = 60 \\ x + y = - 16 \end{matrix} .$
	$x + y =$ ________

Risolviamo il primo sistema e otteniamo le misure delle diagonali del rombo che sono ________ cm e $6$ cm.

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Matematica

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è $153$ cm². L'altezza relativa all'ipotenusa misura $6$ cm. Calcola perimetro e area del triangolo.

Indichiamo con $x$ e con $y$ le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa e impostiamo il sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x^{2} + y^{2} = 153$	$\to$
	________ $= 6^{2}$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$(x + y)^{2} =$ ________	.
	$x y = 36$

Il sistema è equivalente ai seguenti due sistemi simmetrici:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x y = 36$	$\lor$
	$x + y =$ ________

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x y = 36$	.
	$x + y =$ ________

Risolviamo il primo sistema ed otteniamo le misure delle proiezioni: $12$ cm e $3$ cm.

Abbiamo quindi che il perimetro è

$2 p = 15 + 3 \sqrt{5} +$ ________ $=$

$(15 + 9 \sqrt{5})$ cm

e l'area $A$ $=$ ________ cm².

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Matematica

Per la festa del suo compleanno, Kevin si reca in pasticceria e acquista una crostata al limone e una millefoglie; paga con una banconota da $50$ € e riceve $13$ € di resto.

Sapendo che la somma dei reciproci dei prezzi delle due torte è $\frac{37}{300}$ e che la millefoglie è più costosa della crostata, quali sono i prezzi dei due dolci?

Dai dati del problema, possiamo scrivere e risolvere il seguente sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	________ $= 50 - 13$	$\to$
	$\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{37}{300}$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x + y = 37$	.
	$x y = 300$

Risolviamo il sistema utilizzando l'incognita ausiliaria $t$ :

$t^{2} - 37 t + 300 = 0 \to t_{1} =$ ________, $t_{2} = 12$ .

Il prezzo della crostata è $12$ € e quello della millefoglie è ________ €.

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Matematica

Giorgia e Louise sono due amiche. La somma dei quadrati delle loro età attuali è $325$ . Cinque anni fa la somma dei quadrati delle loro età era $125$ . Sapendo che Giorgia è la più grande, qual è la sua età attuale?

Indichiamo con $x$ l'età di Giorgia e con $y$ quella di Louise.

Dai dati del problema, possiamo scrivere e risolvere il seguente sistema:

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x^{2} + y^{2} = 325$	$\to$
	$(x$ ________ $5)^{2} + (y - 5)^{2} = 125$

${\begin{matrix} (x + y)^{2} - 2 x y = 325 \\ x + y = 25 \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} x y = 150 \\ x + y = 25 \end{matrix} .$

Utilizziamo l'incognita ausiliaria $t$ :

$t^{2}$ ________ $25 t + 150 = 0 \to$

$t_{1} =$ ________, $t_{2} = 10$ .

Giorgia ha ________ anni.

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Matematica

In figura sono rappresentati un rettangolo e due triangoli equilateri. Il perimetro della sagoma è $30$ cm, mentre l'area totale misura $(24 + 13 \sqrt{3})$ cm². Determina le misure della base e dell'altezza del rettangolo

Indichiamo con $x$ la base del rettangolo e con $y$ la sua altezza. Possiamo scrivere e risolvere il seguente sistema utilizzando i dati e osservando la figura.

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$3 x + 3 y = 30$	$\to$
	$x y + \frac{1}{2} x$ ________ $+ \frac{1}{2} y \frac{\sqrt{3}}{2} y = 24 + 13 \sqrt{3}$

${\begin{matrix} x + y = 10 \\ x y + \frac{\sqrt{3}}{4} x^{2} + \frac{\sqrt{3}}{4} y^{2} = 24 + 13 \sqrt{3} \end{matrix} \to$

${\begin{matrix} \end{matrix}$	$x + y = 10$
	$x y =$ ________

Utilizziamo l'incognita ausiliaria $t$ :

$t^{2} - 10 t +$ ________ $=$ $0$ $\to$

$t_{1} =$ ________, $t_{2} = 4$ .

Le misure della base e dell'altezza sono ________ cm e $4$ cm.

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