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Matematica

In un numero di due cifre la somma della cifra delle unità con il doppio della cifra delle decine è 10. La somma dei reciproci dei quadrati delle due cifre è 518. Qual è il numero?


Indichiamo con x la cifra delle unità e con y la cifra delle decine e scriviamo il sistema risolvente.

________

Risolvento il sistema otteniamo:

{x+2y=1018x2+18y25x2y2=0 

{...x=________.
y=2

Il numero è ________.

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Matematica

Il prodotto di due numeri aumentato di 20 è uguale a 5. La somma dei reciproci dei quadrati dei due numeri è 34225. Determina i due numeri.


Indichiamo con x e y i due numeri e impostiamo il sistema risolvente.

________

Risolviamo il sistema:

{xy=15225x2+225y234x2y2=0 

{xy=15x2+y2=34 

{...xy=15
(x+y)2=________

Il sistema è equivalente ai seguenti due sistemi simmetrici:

{...xy=15  
x+y=________

{xy=15x+y=2.

I due numeri sono ________ oppure 5 e 3.




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Matematica

Considera il sistema

{x+y=3ax2+y2=29a214a+2.

Determina per quali valori del parametro a il sistema ammette soluzioni positive.


Risolviamo il sistema:

{x+y=3ax2+y2=29a214a+2

{x+y=3a(x+y)22xy=29a214a+2

{...x+y=3a.
xy=________a2+7a1.

Risolviamo il sistema utilizzando l'incognita ausiliaria t:

t23at10a2+7a1=0 

t1=________; t2=2a+1.

Il sistema ammette soluzioni positive se

0<________  2a+1>0

cioè se ________<a<12.

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Matematica

L'area di un rombo è 30 cm². La diagonale del rettangolo ottenuto congiungendo i punti medi dei lati del rombo misura 34 cm. Determina la misura delle diagonali del rombo.


Indichiamo con x e y le diagonali del rombo.

Scriviamo il sistema e lo risolviamo:

{....xy2=30  
(________)2+(y2)2=34
{....xy=60  
x2+y2=________

{xy=60(x+y)2=256.

Il sistema è equivalente ai seguenti due sistemi simmetrici:

{...xy=60 {xy=60x+y=16.
x+y=________

Risolviamo il primo sistema e otteniamo le misure delle diagonali del rombo che sono ________ cm e 6 cm.


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Matematica

In un triangolo rettangolo la somma dei quadrati delle proiezioni dei cateti sull'ipotenusa è 153 cm². L'altezza relativa all'ipotenusa misura 6 cm. Calcola perimetro e area del triangolo.


Indichiamo con x e con y le due proiezioni dei cateti sull'ipotenusa e impostiamo il sistema:

{...x2+y2=153
________=62
{...(x+y)2=________.
xy=36

Il sistema è equivalente ai seguenti due sistemi simmetrici:

{...xy=36  
x+y=________
{...xy=36.
x+y=________

Risolviamo il primo sistema ed otteniamo le misure delle proiezioni: 12 cm e 3 cm.

Abbiamo quindi che il perimetro è

2p=15+35+________=

(15+95) cm

e l'area A=________ cm².




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Matematica

Per la festa del suo compleanno, Kevin si reca in pasticceria e acquista una crostata al limone e una millefoglie; paga con una banconota da 50 € e riceve 13 € di resto.

Sapendo che la somma dei reciproci dei prezzi delle due torte è 37300 e che la millefoglie è più costosa della crostata, quali sono i prezzi dei due dolci?


Dai dati del problema, possiamo scrivere e risolvere il seguente sistema:

{....________=5013
1x+1y=37300
{...x+y=37.
xy=300

Risolviamo il sistema utilizzando l'incognita ausiliaria t:

t237t+300=0t1=________, t2=12.

Il prezzo della crostata è 12 € e quello della millefoglie è ________ €.

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Matematica

Giorgia e Louise sono due amiche. La somma dei quadrati delle loro età attuali è 325. Cinque anni fa la somma dei quadrati delle loro età era 125. Sapendo che Giorgia è la più grande, qual è la sua età attuale?


Indichiamo con x l'età di Giorgia e con y quella di Louise.

Dai dati del problema, possiamo scrivere e risolvere il seguente sistema:

{...x2+y2=325
(x________5)2+(y5)2=125

{(x+y)22xy=325x+y=25 

{xy=150x+y=25.

Utilizziamo l'incognita ausiliaria t:

t2________25t+150=0

t1=________, t2=10.

Giorgia ha ________ anni.

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Matematica

In figura sono rappresentati un rettangolo e due triangoli equilateri. Il perimetro della sagoma è 30 cm, mentre l'area totale misura (24+133) cm². Determina le misure della base e dell'altezza del rettangolo

Indichiamo con x la base del rettangolo e con y la sua altezza. Possiamo scrivere e risolvere il seguente sistema utilizzando i dati e osservando la figura.

{...3x+3y=30
xy+12x________+12y32y=24+133

{x+y=10xy+34x2+34y2=24+133

{...x+y=10
xy=________

Utilizziamo l'incognita ausiliaria t:

t210t+________=0

t1=________, t2=4.

Le misure della base e dell'altezza sono ________ cm e 4 cm.







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