Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le equazioni parametriche

FIP04bbtblu18 - Le equazioni di secondo grado

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Dopo aver dimostrato che l'equazione

3 x^{2} - (a + 1) x - a^{2} = 0

ammette sempre due soluzioni reali, spiega perché non possono essere concordi.

Calcoliamo

Δ = (a + 1)^{2} + 12 a^{2}

(a + 1)^{2}

________

0

\forall a \in R

e anche

12 a^{2} \geq 0

\forall a \in R

quindi

Δ

________

0

\forall a \in R

, cioè l'equazione ammette sempre due soluzioni reali.

Inoltre

\frac{- a^{2}}{3} \leq 0

, ________ quindi le soluzioni sono sempre discordi.

Completamento chiuso

Considera la seguente equazione parametrica nell'incognita

x

k x^{2} + (k + 2) x + 2 = 0

, con

k \neq 0

.
Determina per quali valori del parametro

k

sono verificate le condizioni indicate:

a.   una soluzione è nulla;
b.   le soluzioni sono concordi;
c.   la differenza tra le soluzioni è

1

;
d.

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} = 1

.

a. Sostituiamo

x = 0

nell'equazione:

2 = 0

quindi ________

k \in R

.

b. Imponiamo

\frac{c}{a}

________

0

,
cioè

\frac{2}{k}

> 0

\to

k >

________.

c. Imponiamo ________

= 1

,
cioè

\frac{\sqrt{(k + 2)^{2} - 8 k}}{k} = 1 \to

k^{2} - 4 k + 4 = k^{2} \to k =

________.

d. Riscriviamo la condizione richiesta come:

x_{1}^{2} - x_{2}^{2} + x_{1}^{2} \cdot x_{2}^{2} = 1 \to

(x_{1} - x_{2}) (x_{1} + x_{2}) + (x_{1} x_{2})^{2} = 1

.
Imponiamo quindi

\frac{\sqrt{Δ}}{a} \cdot (- \frac{b}{a}) + \frac{c^{2}}{a^{2}} = 1 \to

c^{2} - b \sqrt{Δ} =

________,
cioè

4 - (k + 2) \sqrt{(k - 2)^{2}} = k^{2} \to

4 - (k + 2) | k - 2 | = k^{2}

{\begin{cases} k \geq 2 \\ k^{2} = 4 \end{cases} \lor {\begin{cases} k < 2 \\ 0 = 0 \end{cases}

\to

________.

Completamento chiuso

Associa a ogni condizione relativa all'equazione

x^{2} + (2 k - 1) x + k^{2} - k = 0

, in

x

, i valori corrispondenti del parametro

k

.

1. Ha soluzioni reali distinte.
________

2. Ha due soluzioni reali opposte.
________

3. Ha due soluzioni reali antireciproche.
________

4. Ha come soluzione

x = - 1

.
________

Posizionamento

Per quali valori del parametro

k

l'equazione

k x^{2} + (2 k + 3) x + k + 3 = 0

ammette due soluzioni reali il cui prodotto è almeno

10

0 < k \leq \frac{1}{3}

- \frac{1}{3} < k \leq 0

k < 0 \lor k > \frac{1}{3}

k = 0 \lor k = \frac{1}{3}

Scelta multipla

Considera la seguente equazione parametrica nell'incognita

x

(a + 2) x^{2} + 2 a x + a - 2 = 0

.
Determina per quali valori del parametro

a

sono verificate le condizioni indicate:

a. le radici sono reali distinte;
b. le radici sono discordi e la maggiore in valore assoluto è positiva;
c. una radice è

2

;
d.

x_{1} = 5 - x_{2}

;
e.

\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 4

;
f.

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 26

.

a. Per essere un'equazione di secondo grado deve essere

a \neq - 2

.
Imponiamo

Δ

________

0

Δ = 4 a^{2} - 4 (a + 2) (a - 2) =

4 a^{2} - 4 (a^{2} - 4) =

16

________

0

quindi

\forall a \in R, a \neq - 2

.

b. Imponiamo

\frac{C}{A}

________

0

- \frac{B}{A}

________

0

,
cioè

\frac{a - 2}{a + 2} < 0 \land - \frac{2 a}{a + 2} > 0 \to

- 2 < a < 2 \land - 2 < a < 0 \to

- 2 < a < 0

.

c. Sostituiamo

x = 2

e otteniamo

4 (a + 2) + 4 a + a - 2 = 0

;
quindi ________

+ 6 = 0

, cioè

a = - \frac{2}{3}

d. Riscriviamo la condizione richiesta come:

x_{1} = 5 - x_{2} \to x_{1} + x_{2} = 5

.
Imponiamo

- \frac{B}{A} =

________,
cioè

- \frac{2 a}{a + 2} = 5 \to - 2 a = 5 a + 10 \to

a = - \frac{10}{7}

.

e. Riscriviamo la condizione richiesta come:

\frac{1}{x_{1}^{2}} + \frac{1}{x_{2}^{2}} = 4 \to \frac{x_{1}^{2} + x_{2}^{2}}{x_{1}^{2} x_{2}^{2}} = 4 \to

(x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} =

________.
Imponiamo ________

- 2 \frac{C}{A} = 4 \frac{C^{2}}{A^{2}} \to

\frac{B^{2} - 2 A C}{A^{2}} = \frac{4 C^{2}}{A^{2}} \to

B^{2} - 2 A C = 4 C^{2}

,
cioè

4 a^{2} - 2 (a + 2) (a - 2) = 4 (a - 2)^{2} \to

4 a^{2} - 2 a^{2} + 8 = 4 (a^{2} - 4 a + 4) \to

2 a^{2} - 16 a

________

8 = 0 \to

a^{2} - 8 a + 4 = 0 \to

\frac{Δ}{4} = 16 - 4 = 12,

a_{1, 2} = 4 \pm \sqrt{12} = 4 \pm 2 \sqrt{3}

.

f. Riscriviamo la condizione indicata come:

x_{1}^{3} + x_{2}^{3} = 26 \to

(x_{1}

________

x_{2})

(x_{1}^{2} + x_{2}^{2}

________

x_{1} x_{2}) = 26

(x_{1}

________

x_{2})

[(x_{1} + x_{2})^{2} - 3 x_{1} x_{2}] = 26

.
Imponiamo quindi
________

(\frac{B^{2}}{A^{2}} - 3 \frac{C}{A}) = 26 \to

- \frac{B^{3}}{A^{3}} + 3 \frac{B C}{A^{2}} = 26 \to

- B^{3} + 3 A B C = 26 A^{3}

,
cioè

- 8 a^{3} + 3 (a + 2) 2 a (a - 2) = 26 (a + 2)^{3} \to

7 a^{3} + 39 a^{2} + 84 a + 52 = 0 \to

(a + 1) (7 a^{2} + 32 a + 52) = 0 \to

a = - 1

è l'unica soluzione perché per la parte quadratica

\frac{Δ}{4} = 256 - 364

________

0

Completamento chiuso

Considera la seguente equazione parametrica nell'incognita

x

(2 - k) x^{2} + 2 k x + 1 = 0

, con

k \neq 2

.
Determina per quali valori del parametro

k

sono verificate le condizioni indicate:

a.

(x_{1} - x_{2})^{2} = 40

;
b. la somma delle soluzioni è negativa;
c. le soluzioni sono opposte;
d. una soluzione

x_{1}

è tale che

| x_{1} | = 1

.

a. Imponiamo

\frac{Δ}{a^{2}} = 40 \to b^{2} - 4 a c = 40 a^{2}

,
cioè

4 k^{2} - 4 (2 - k) = 40 (2 - k)^{2} \to

9 k^{2}

________

41 k + 42 = 0

\to

Δ = 1681 - 1512 = 169

x_{1, 2} = \frac{41 \pm 13}{18}

\to

x_{1} = 3

;

x_{2} = \frac{14}{9}

.

b. Imponiamo

- \frac{b}{a}

________,
cioè

- \frac{2 k}{2 - k}

________

0

\to

\frac{2 k}{k - 2} < 0 \to 0 < k < 2

.
Imponiamo inoltre

Δ \geq 0

affinché le soluzioni esistano:

4 k^{2} - 4 (2 - k) \geq 0 \to k^{2} + k - 2 \geq 0 \to

(k + 2) (k - 1) \geq 0 \to

________.
Infine, mettiamo assieme le due soluzioni e otteniamo ________.

c. Riscriviamo la condizione indicata come

x_{1} = - x_{2} \to x_{1}

________

x_{2} = 0

.
Imponiamo quindi ________

= 0

,
cioè

- \frac{2 k}{2 - k} = 0 \to

k = 0

d. La condizione richiesta equivale a

x_{1} = 1 \lor x_{1} = - 1

.
Sostituiamo quindi nell'equazione.

2 - k + 2 k + 1 = 0 \lor

2 - k - 2 k + 1 = 0 \to

k =

________

\lor

k =

________.

Completamento chiuso

Nell'equazione

2 k x^{2} + (m - 1) x + k + 2 m = 0

k \neq 0

, trova

k

m

, sapendo che la somma delle soluzioni è uguale al loro prodotto e che una soluzione vale

2

.

La somma delle soluzioni è ________ e il loro prodotto è

\frac{k + 2 m}{2 k}

quindi:

\frac{1 - m}{2 k} = \frac{k + 2 m}{2 k} \to

k

________

3 m = 1

.
Sostituiamo

x = 2

nell'equazione:

8 k + 2 m - 2 + k + 2 m = 0 \to 9 k + 4 m = 2

.
Quindi risolviamo il sistema:

{\begin{cases} k + 3 m = 1 \\ 9 k + 4 m = 2 \end{cases} \to {\begin{cases} 9 k + 27 m = 9 \\ 9 k + 4 m = 2 \end{cases} \to

________

=

________

\to

{\begin{cases} k = \frac{2}{23} \\ m = \frac{7}{23} \end{cases} .

Completamento chiuso

Considera la seguente equazione parametrica nell'incognita

x

4 k x^{2} - 2 (k + 1) x + 1 = 0

, con

k \neq 0

.
Determina per quali valori del parametro

k

sono verificate le condizioni indicate:

a. le radici sono reali;
b.

x_{1} = 2 - x_{2}

;
c.

| x_{1} + x_{2} | = 4

;
d.

\frac{3}{x_{1}} + \frac{3}{x_{2}} = - \frac{1}{3}

;
e.

x_{1}^{2} - 2 x_{1} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} = 0

;
f. le radici sono discordi.

a. Imponiamo

Δ

________

0

;

Δ = 4 (k + 1)^{2} - 16 k =

4 k^{2} - 8 k + 4 = 4 (k - 1)^{2} \geq 0

quindi ________

k \in R, k \neq 0

.

b. Riscriviamo la condizione come:

x_{1} = 2 - x_{2} \to x_{1} + x_{2} = 2

.
Imponiamo ________

= 2

;
cioè

- \frac{- 2 (k + 1)}{4 k} = 2 \to

k + 1 = 4 k \to k = \frac{1}{3}

.

c. Utilizziamo i calcoli al punto b e imponiamo

| \frac{k + 1}{2 k} | = 4;

\frac{k + 1}{2 k} = 4

________

\frac{k + 1}{2 k} = - 4 \to

k + 1 = 8 k

________

k + 1 = - 8 k \to

k = \frac{1}{7} \lor k = - \frac{1}{9}

.

d. Riscriviamo la condizione indicata come:

\frac{3}{x_{1}} + \frac{3}{x_{2}} = - \frac{1}{3} \to \frac{9 x_{2} + 9 x_{1}}{3 x_{1} x_{2}} = - \frac{x_{1} x_{2}}{3 x_{1} x_{2}}

9 (x_{1} + x_{2}) + x_{1} x_{2} = 0

.
Imponiamo quindi

- 9 \frac{b}{a} + \frac{c}{a} = 0 \to \frac{c - 9 b}{a} = 0

;
cioè ________

= 0 \to

18 k + 19 = 0 \to k = - \frac{19}{18}

.

e. Traduciamo la richiesta:

x_{1}^{2} - 2 x_{1} + x_{2}^{2} - 2 x_{2} = 0 \to

(x_{1} + x_{2})^{2} - 2 x_{1} x_{2} - 2 (x_{1} + x_{2}) = 0

.
Imponiamo quindi

\frac{b^{2}}{a^{2}} - 2 \frac{c}{a} - 2 (- \frac{b}{a}) = 0 \to

\frac{b^{2} - 2 a c + 2 a b}{a^{2}} = 0;

cioè

4 (k + 1)^{2} - 8 k - 16 k (k + 1) = 0 \to

12 k^{2} + 16 k - 4 = 0 \to

3 k^{2}

________

4 k - 1 = 0 \to

\frac{Δ}{4} = 4

________

3

=

7

k_{1, 2} = \frac{- 2 \pm \sqrt{7}}{3}

.

f. Imponiamo

\frac{c}{a}

________

0

,
cioè

\frac{1}{4 k}

________

0

\to

k < 0

Completamento chiuso