Tipo di esercizi
Scelta multipla,
Completamento chiuso,
Vero o falso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - Problemi sulle rette
INFO

Matematica

Tra le rette perpendicolari a quellia di equazione 3x2y+6=0, trova la retta:
a.   passante per l'origine;
b.   passante per il punto medio del segmento di estremi A(1;5) e B(2;3);
c.   che ha ordinata all'origine 3;

Sia r la retta di equazione 3x2y+6=0.
Scriviamo l'equazione della retta r in forma esplicita.
3x2y+6=0y=32x+3
Una retta perpendicolare a r ha equazione:
s:y=________x+q, con qR.

a.   Determiniamo il valore di q in modo che s passi per l'origine:
q=________.
La retta cercata ha equazione y=23x.

b.   Determiniamo il punto medio di AB:
M=(1+22;________)M=(32;1)
Sostituiamo le coordinate di M nell'equazione di s e determiniamo q:
1=2332+qq=________.
La retta cercata ha equazione
y=23x+________.

c.   La retta cercata ha equazione
y=23x________.
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Considera il triangolo di vertici A(2;3) e B(4;1) e C(0;3). Determina le equazioni delle mediane e il loro punto di incontro.

Rappresentiamo il triangolo nel piano cartesiano.

Indichiamo T, N e M rispettivamente i punti medi dei segmenti AB, BC e AC.

Determiniamo le coordinate dei punti medi:
T=(________;________)=(3;1);
N=(42;1+32)=(2;________);
M=(22;3+32)=(1;________).

Determiniamo le equazioni delle rette.
Equazione della retta AN: x=2
Equazione della retta BM:
y+14=x43y=________x+133.
Equazione della retta CT:
________=x3y=23x+3.

Dalla geometria euclidea sappiamo che le tre mediane si incontrano tutte in uno stesso punto.
Per trovare le sue coordinate intersechiamo, per esempio, le rette AN e CT:
{x=2y=23x+3y=________.
Il punto cercato è (2;53).
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Determina l'equazione della retta s, perpendicolare alla retta x3y+5=0, e passante per P(3;1). Individua su tale retta un punto A con ordinata tripla rispetto all'ascissa.

Chiamiamo r la retta di equazione x3y+5=0.
Scriviamo l'equazione della retta r in forma esplicita:
x3y+5=0y=13x+53.
La retta s ha equazione
y=________x+q.
Determiniamo il valore di q:
1=33+qq=________.
La retta s ha equazione
y=________x+8.
Il punto A ha coordinate del tipo: A(x;3x).
Sostituiamo le coordinate di A nella retta s:
3x=3x+8x=________.
Il punto A ha coordinate (43;________).

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Scrivi le equazioni contenenti i lati del quadrilatero ABCD con A(4;3), B(6;1), C(3;4), A(2;2). Verifica che tale quadrilatero è un trapezio.

Le equazioni delle rette cercate sono:
AB: y=25x________;

BC:   y=x+7;

CD:   y=________x+145;

DA:   y=________x+7;

Il quadrilatero è un trapezio perché i lati AB e CD sono ________.
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Nel fascio proprio di centro P(3;5) determina:
a.   le rette che distano dall'origine 42;
b.   la retta che passa per A(4;2);
c.   la retta perpendicolare alla retta passante per B(2;3) e C(4;3).

Determiniamo l'equazione del fascio proprio di centro P(3;5):
y5=m(x________3)r:mxy3m+5=0.

a.   Imponiamo che la distanza di r dall'origine sia 42:
d(0;r)=42|3m+5|m2+1=42
|3m+5|=42(m2+1).
Eleviamo al quadrato entrambi i membri e risolviamo l'equazione in m:
9m2+2530m=________(m2+1)
32m29m2+30m+________25=0
________m2+30m________=0
23m2+23m+7m+7=0
23m(m+1)+7(m+1)=0
(23m+7)(m+1)=0
m=________;
m=1.
Le rette cercate hanno equazioni:
y=x+8;   y=________x+13623.

b.   Sostituiamo le coordinate di A nell'equazione del fascio di rette:
mxy3m+5=0
________m23m+5=0
m=3
Determiniamo l'equazione della retta passante per A e con m=3:
(yyA)=m(xxA)
(y2)=3(x4)
y=3x________.

c.   Determiniamo l'equazione della retta BC:
y(3)3(3)=x(2)4(2)
y=________x9.
Quindi la retta perpendicolare a BC deve avere coefficiente angolare m=________.
Sostituiamo m nell'equazione del fascio di rette:
13xy313+5=0
________.



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Considera il triangolo di vertici A(4;1), B(3;2), C(2;4). Calcola la misura dell'altezza h relativa al lato BC e l'area del triangolo.

Rappresentiamo il triangolo nel piano cartesiano.

Determiniamo l'equazione della retta r che contiene BC:

r:   y=6x+16.

Calcoliamo h e BC¯:

h=d(A;r)=

|6(4)1________|=4137;
36+1

BC¯=(32)2+(24)2=________.

Calcoliamo l'area del triangolo ABC:

BC¯h2=12374137=________.

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Matematica

Osserva la figura, usa i dati per stabilire se il triangolo ABC è rettangolo e calcolane l'area.


Dalla figura deduciamo che le coordinate del punto B sono (4;1). Inoltre, il punto C ha ________ pari a 6 e appartiene alla retta y=12x+3, quindi la sua ordinata è
y=126+3=6C(6;6).
Con un ragionamento analogo determiniamo le coordinate di A:
A(0;________).
Determiniamo le rette AB e BC:
AB:y313=x0y0
yAB=________.
BC:y161=x464
yBC=52x9.
Poiché mABmBC________1, il triangolo ________ rettangolo.
Determiniamo la distanza di C da AB, cioè l'altezza del triangolo:
h=|6+126|1+4=________.
Determiniamo la base AB¯:
AB¯=(40)2+(13)2=
16+4=25.
Quindi l'area del triangolo è
A=AB¯h2=1225125=12

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Considera i punti A(2;1), B(4;3) e la retta r di equazione y=15x+4. Quali devono essere le coordinate del punto C sulla retta r in modo che il triangolo ABC sia isoscele con base AB?
A: C(5;5)
B: C(5;0)
C: C(0;5)
D: C(5;5)
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Vero o falso?
La retta passante per A(4;1) e B(2;3)
A: passa per C(3;1).
B: è perpendicolare alla retta di equazione 2yx2=0.
C: interseca l'asse y in (0;5).
D: forma con gli assi cartesiani un triangolo di area 49.
Vero o falsoVero o falso
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