Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Problemi sulle rette

FIP04bbtblu17 - problemi sulle rette

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Considera i punti

A (- 2; 1)

B (4; - 3)

e la retta

r

di equazione

y = \frac{1}{5} x + 4

. Quali devono essere le coordinate del punto

C

sulla retta

r

in modo che il triangolo

A B C

sia isoscele con base

A B

C (5; 5)

C (5; 0)

C (0; 5)

C (- 5; 5)

Scelta multipla

Determina l'equazione della retta

s

, perpendicolare alla retta

x - 3 y + 5 = 0

, e passante per

P (3; - 1)

. Individua su tale retta un punto

A

con ordinata tripla rispetto all'ascissa.

Chiamiamo

r

la retta di equazione

x - 3 y + 5 = 0

.
Scriviamo l'equazione della retta

r

in forma esplicita:

x - 3 y + 5 = 0 \to y = \frac{1}{3} x + \frac{5}{3} .

La retta

s

ha equazione

y = -

________

x + q

.
Determiniamo il valore di

q

- 1 = 3 \cdot 3 + q \to q =

________.
La retta

s

ha equazione

y = -

________

x

+ 8

.
Il punto

A

ha coordinate del tipo:

A (x; 3 x)

.
Sostituiamo le coordinate di

A

nella retta

s

3 x = - 3 x + 8 \to

x =

________.
Il punto

A

ha coordinate

(

\frac{4}{3}

;________

)

Completamento chiuso

Osserva la figura, usa i dati per stabilire se il triangolo

A B C

è rettangolo e calcolane l'area.

Dalla figura deduciamo che le coordinate del punto

B

sono

(4; 1)

. Inoltre, il punto

C

ha ________ pari a

6

e appartiene alla retta

y = \frac{1}{2} x + 3

, quindi la sua ordinata è

y = \frac{1}{2} \cdot 6 + 3 = 6 \to C (6; 6) .

Con un ragionamento analogo determiniamo le coordinate di

A

A (0;

________

) .

Determiniamo le rette

A B

B C

A B : \frac{y - 3}{1 - 3} = \frac{x - 0}{y - 0} \to

y_{A B} =

________.

B C : \frac{y - 1}{6 - 1} = \frac{x - 4}{6 - 4} \to

y_{B C} =

\frac{5}{2} x - 9

.
Poiché

m_{A B} \cdot m_{B C}

________

- 1

, il triangolo ________ rettangolo.
Determiniamo la distanza di

C

A B

, cioè l'altezza del triangolo:

h = \frac{| 6 + 12 - 6 |}{\sqrt{1 + 4}} =

________.
Determiniamo la base

\bar{A B}

\bar{A B} = \sqrt{(4 - 0)^{2} + (1 - 3)^{2}} =

\sqrt{16 + 4} = 2 \sqrt{5}

.
Quindi l'area del triangolo è

A = \frac{\bar{A B} \cdot h}{2} = \frac{1}{2} \cdot 2 \sqrt{5} \cdot \frac{12}{\sqrt{5}} = 12

Completamento chiuso

Considera il triangolo di vertici

A (2; 3)

B (4; - 1)

C (0; 3)

. Determina le equazioni delle mediane e il loro punto di incontro.

Rappresentiamo il triangolo nel piano cartesiano.

Indichiamo

T

N

M

rispettivamente i punti medi dei segmenti

A B

B C

A C

.

Determiniamo le coordinate dei punti medi:

T = (

________;________

)

=

(3; 1)

;

N = (\frac{4}{2}; \frac{- 1 + 3}{2})

=

(2;

________

)

;

M = (\frac{2}{2}; \frac{3 + 3}{2}) =

(1;

________

)

.

Determiniamo le equazioni delle rette.
Equazione della retta

A N

x = 2

Equazione della retta

B M

\frac{y + 1}{4} = \frac{x - 4}{- 3} \to y =

________

x + \frac{13}{3}

.
Equazione della retta

C T

:
________

= \frac{x}{3} \to

y = - \frac{2}{3} x + 3

.

Dalla geometria euclidea sappiamo che le tre mediane si incontrano tutte in uno stesso punto.
Per trovare le sue coordinate intersechiamo, per esempio, le rette

A N

C T

{\begin{cases} x = 2 \\ y = - \frac{2}{3} x + 3 \end{cases} \to

y =

________.
Il punto cercato è

(2; \frac{5}{3})

Completamento chiuso

Tra le rette perpendicolari a quellia di equazione

3 x - 2 y + 6 = 0

, trova la retta:
a. passante per l'origine;
b. passante per il punto medio del segmento di estremi

A (1; 5)

B (2; - 3)

;
c. che ha ordinata all'origine

- 3

;

Sia

r

la retta di equazione

3 x - 2 y + 6 = 0

.
Scriviamo l'equazione della retta

r

in forma esplicita.

3 x - 2 y + 6 = 0 \to y = \frac{3}{2} x + 3

Una retta perpendicolare a

r

ha equazione:

s : y = -

________

x + q

, con

q \in R

.

a. Determiniamo il valore di

q

in modo che

s

passi per l'origine:

q =

________.
La retta cercata ha equazione

y = -

\frac{2}{3} x .

b. Determiniamo il punto medio di

A B

M = (\frac{1 + 2}{2};

________

)

\to

M = (\frac{3}{2}; 1)

Sostituiamo le coordinate di

M

nell'equazione di

s

e determiniamo

q

1 = - \frac{2}{3} \cdot \frac{3}{2} + q \to

q =

________.
La retta cercata ha equazione

y = - \frac{2}{3} x +

________.

c. La retta cercata ha equazione

y = - \frac{2}{3} x

________.

Completamento chiuso

Considera il triangolo di vertici $A (- 4; - 1)$ , $B (3; - 2)$ , $C (2; 4)$ . Calcola la misura dell'altezza $h$ relativa al lato $B C$ e l'area del triangolo.

Rappresentiamo il triangolo nel piano cartesiano.

Determiniamo l'equazione della retta $r$ che contiene $B C$ :

$r$ : $y = - 6 x + 16$ .

Calcoliamo $h$ e $\bar{B C}$ :

$h = d (A; r) =$

$\| 6 \cdot (- 4) - 1 -$ ________ $\|$	$= \frac{41}{\sqrt{37}}$ ;
$\sqrt{36 + 1}$

$\bar{B C} = \sqrt{(3 - 2)^{2} + (- 2 - 4)^{2}} =$ ________.

Calcoliamo l'area del triangolo $A B C$ :

$\frac{\bar{B C} \cdot h}{2} =$ $\frac{1}{2} \cdot \sqrt{37} \cdot \frac{41}{\sqrt{37}} =$ ________.

Completamento chiuso

Nel fascio proprio di centro

P (3; 5)

determina:
a. le rette che distano dall'origine

4 \sqrt{2}

;
b. la retta che passa per

A (4; 2)

;
c. la retta perpendicolare alla retta passante per

B (- 2; - 3)

C (- 4; 3)

.

Determiniamo l'equazione del fascio proprio di centro

P (3; 5)

y - 5 =

m (x

________

3)

\to

r : m x - y - 3 m + 5 = 0.

a. Imponiamo che la distanza di

r

dall'origine sia

4 \sqrt{2}

d (0; r) = 4 \sqrt{2} \to \frac{| - 3 m + 5 |}{\sqrt{m^{2} + 1}} = 4 \sqrt{2} \to

| - 3 m + 5 | = 4 \sqrt{2} \sqrt{(m^{2} + 1)}

.
Eleviamo al quadrato entrambi i membri e risolviamo l'equazione in

m

9 m^{2} + 25 - 30 m =

________

(m^{2} + 1)

32 m^{2} - 9 m^{2} + 30 m +

________

- 25 = 0

________

m^{2} + 30 m

________

= 0

23 m^{2} + 23 m + 7 m + 7 = 0

23 m (m + 1) + 7 (m + 1) = 0

(23 m + 7) (m + 1) = 0

m = -

________;

m = - 1

.
Le rette cercate hanno equazioni:

y = - x + 8; y = -

________

x + \frac{136}{23}

.

b. Sostituiamo le coordinate di

A

nell'equazione del fascio di rette:

m x - y - 3 m + 5 = 0 \to

________

m - 2 - 3 m + 5 = 0 \to

m = - 3

Determiniamo l'equazione della retta passante per

A

e con

m = - 3

(y - y_{A}) = m (x - x_{A}) \to

(y - 2) = - 3 (x - 4) \to

y = - 3 x

________.

c. Determiniamo l'equazione della retta

B C

\frac{y - (- 3)}{3 - (- 3)} = \frac{x - (- 2)}{- 4 - (- 2)} \to

y =

________

x - 9

.
Quindi la retta perpendicolare a

B C

deve avere coefficiente angolare

m =

________.
Sostituiamo

m

nell'equazione del fascio di rette:

\frac{1}{3} x - y - 3 \cdot \frac{1}{3} + 5 = 0 \to

________.

Completamento chiuso

Scrivi le equazioni contenenti i lati del quadrilatero

A B C D

con

A (- 4; - 3)

B (6; 1)

C (3; 4)

A (- 2; 2)

. Verifica che tale quadrilatero è un trapezio.

Le equazioni delle rette cercate sono:

A B

y =

\frac{2}{5} x -

________;

B C

y = - x + 7

;

C D

y =

________

x + \frac{14}{5}

;

D A

y =

________

x

+ 7

;

Il quadrilatero è un trapezio perché i lati

A B

C D

sono ________.

Completamento chiuso

Vero o falso?
La retta passante per

A (4; - 1)

B (2; 3)

passa per

C (3; 1)

è perpendicolare alla retta di equazione

2 y - x - 2 = 0

interseca l'asse

y

(0; 5)

forma con gli assi cartesiani un triangolo di area

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Vero o falso