Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le potenze con esponente razionale

FIP04bbtblu16 - le potenze con esponente razionale

8 esercizi

SVOLGI

INFO

Vero o falso?

{(\frac{\sqrt{\sqrt[3]{25}}}{\sqrt{5}})}^{- 6}

è uguale a

- 5

{[{(- \frac{1}{4})}^{\frac{3}{2}}]}^{- \frac{1}{3}}

è uguale a

\frac{1}{2}

Per ogni valore reale di

a

risulta

a^{- \frac{n}{m}} = \sqrt[m]{\frac{1}{a^{n}}}

La potenza

0^{- \frac{4}{3}}

non esiste.

Vero o falso

Associa a ciascuna espressione della prima riga la relativa potenza nella seconda riga.

1.

\frac{1}{\sqrt[3]{32}} \cdot \sqrt{2}

________

2.

4^{3} \cdot \frac{1}{\sqrt{2 \sqrt{2}}} : 2

________

3.

\frac{\sqrt[3]{4^{2}} : \sqrt{\sqrt[3]{4}}}{2}

________

4.

\sqrt{\frac{4}{\sqrt[3]{2}}}

________

Posizionamento

Semplifica la seguente espressione utilizzando le proprietà delle potenze con esponente razionale.
Supponi positivi i fattori letterali.

\sqrt{x^{3} \sqrt{\frac{x}{\sqrt[4]{x}}}} \cdot \frac{1}{2 \sqrt{x}} : {(\frac{2}{x})}^{- 1}

Scriviamo ciascun fattore letterale come potenza con esponente razionale:

\sqrt{x^{3} \sqrt{\frac{x}{\sqrt[4]{x}}}} =

________

=

________;

\frac{1}{2 \sqrt{x}} = \frac{1}{2}

________;

{(\frac{2}{x})}^{- 1} = 2

________.
L'espressione quindi diventa:

x^{\frac{27}{16} - \frac{1}{2} - 1} =

________.

Completamento chiuso

Qual è il valore della seguente espressione?

{[\frac{2}{3} \cdot {(\frac{9}{2})}^{- \frac{1}{2}}]}^{\frac{1}{2}}

\cdot {(\frac{1}{2})}^{- \frac{1}{4}}

\cdot [\sqrt[3]{27} : 6]^{3}

- \frac{1}{2}

3^{\frac{1}{2}}

{(\frac{2}{3})}^{- \frac{1}{3}}

\frac{1}{12}

Scelta multipla

Individua tra le seguenti uguaglianze quella non corretta. Supponi positivi tutti i fattori letterali.

{(\sqrt[3]{4} \cdot \sqrt{2} : \sqrt[4]{\frac{1}{2}})}^{2} = 2^{\frac{17}{6}}

\frac{\sqrt{x^{3}} \cdot \sqrt[3]{x}}{x \cdot \sqrt[4]{x}} = x^{\frac{7}{12}}

\frac{1}{3} \cdot \sqrt[4]{3} : \sqrt{\sqrt{27}} = 3

a : {(\sqrt[6]{a^{2} \cdot \sqrt{\frac{1}{a} \cdot \sqrt[3]{a^{5}}}})}^{2} = a^{\frac{2}{9}}

Scelta multipla

L'espressione

\sqrt[n]{x \sqrt{\sqrt[p]{y}}}

, con

x

y

\geq 0

, e con

n

p

\in N - {0}

, è equivalente a:

(x^{2 p} y)^{2 n p}

(x^{2 p} y)^{\frac{1}{2 n p}}

(x y)^{\frac{1}{n}}

(x^{2 p} y)^{- 2 n p}

Scelta multipla

Semplifica la seguente, supponendo verificate le condizioni di esistenza.
$\frac{{[(x y)^{\frac{1}{4}} - 1]}^{2} - {(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}^{2}}{(x^{\frac{1}{2}} - 1) (y^{\frac{1}{2}} - 1)}$
Poniamo
$A =$    ${[(x y)^{\frac{1}{4}} - 1]}^{2}$ ,
$B =$    ${(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}^{2}$ e
$C =$    $(x^{\frac{1}{2}} - 1) (y^{\frac{1}{2}} - 1)$ .
L'espressione data è allora $\frac{A - B}{C}$ .
Calcoliamo $A - B$ :
${[(x y)^{\frac{1}{4}} - 1]}^{2} -$ ${(x^{\frac{1}{4}} - y^{\frac{1}{4}})}^{2} =$

________ $+ 1 - 2 (x y)^{\frac{1}{4}} - x^{\frac{1}{2}}$ ________ $y^{\frac{1}{2}}$ ________ $2 x^{\frac{1}{4}} y^{\frac{1}{4}} =$

________ $+ 1 - x^{\frac{1}{2}}$ ________ $y^{\frac{1}{2}}$ .
Dividiamo il risultato ottenuto per $C$ :

________ $+ 1 - x^{\frac{1}{2}}$ ________ $y^{\frac{1}{2}}$	$=$
$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (y^{\frac{1}{2}} - 1)$

$x^{\frac{1}{3}} (y^{\frac{1}{2}} - 1)$ ________ $1 (y^{\frac{1}{2}} - 1)$	$=$
$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (y^{\frac{1}{2}} - 1)$

$(x^{\frac{1}{2}}$ $) (y^{\frac{1}{2} - 1})$	$=$ ________.
$(x^{\frac{1}{2}} - 1) (y^{\frac{1}{2}} - 1)$

Quindi l'espressione data è equivalente a: ________.

Completamento chiuso

Quale fra le seguenti espressioni equivale a

\sqrt[3]{4 \sqrt{2 \sqrt{\frac{1}{8}}}}

2^{\frac{7}{4}}

2^{\frac{21}{4}}

2^{\frac{7}{12}}

2^{- \frac{12}{7}}

Scelta multipla