Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le matrici e il metodo di Cramer

FIP04bbtblu14 - Le matrici e il metodo di Cramer

12 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Vero o falso?

A: Una matrice identità deve essere quadrata.

B: L'ordine di una matrice quadrata è il numero delle righe.

C: Se tutti gli elementi della diagonale principale di una matrice quadrata sono nulli, allora la matrice è la matrice nulla.

D: Se tutti gli elementi della diagonale principale di una matrice quadrata sono nulli, allora la matrice è la matrice identità.

Vero o falso

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
difficile).Vuoi saperne di più? Consulta il
Centro Assistenza

Matematica

Determina per quali valori di

x

y

le matrici

[\begin{matrix} 1 & 5 \\ x + 2 y & - 4 \\ 0 & 1 - x \end{matrix}]

[\begin{matrix} - 1 & - 5 \\ 2 x + 3 & 4 \\ 0 & 5 - x \end{matrix}]

sono opposte.

x = 3

y = 6

x = 3

y = - 6

x = 0

y = \frac{3}{2}

x = - 3

y = - 6

Scelta multipla

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Matematica

Data la matrice

A = [\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & - 1 \\ 4 & 4 & - 3 & 0 \end{matrix}]

a_{21}

a_{23}

sono uguali.

a_{13} = 0

Vero o falso

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Matematica

Risolvi il seguente sistema senza sviluppare i quadrati.

{\begin{matrix} (2 x - y)^{2} = (x + 2 y)^{2} \\ x - 6 y + 9 = 0 \end{matrix}

Poiché

(2 x - y)^{2} = (x + 2 y)^{2} \to

(2 x - y) = \pm (x + 2 y)

,
otteniamo due sistemi la cui unione è equivalente al sistema dato.

(I) {\begin{matrix} 2 x - y = x + 2 y \\ x - 6 y + 9 = 0 \end{matrix} \lor (I I) {\begin{matrix} 2 x - y = - x - 2 y \\ x - 6 y + 9 = 0 \end{matrix} .

Per risolvere il sistema

(I)

, riduciamolo in forma normale.
________
Usiamo il metodo di Cramer: calcoliamo

D

D_{x}

D_{y}

D = | \begin{matrix} 1 & - 3 \\ 1 & - 6 \end{matrix} |

=

________

D_{x} = | \begin{matrix} 0 & - 3 \\ - 9 & - 6 \end{matrix} |

= - 27

D_{y} =

________

= - 9

Calcoliamo la soluzione del sistema

(I)

x = \frac{D_{x}}{D} = 9, y = \frac{D_{y}}{D} =

________.
Per risolvere il sistema

(I I)

riduciamolo in forma normale:

(I I) {\begin{matrix} 3 x + y = 0 \\ x - 6 y = - 9 \end{matrix} .

Utilizziamo il metodo di Cramer: calcoliamo

D

D_{x}

D_{y}

D =

________

= - 19

D_{x} = | \begin{matrix} 0 & 1 \\ - 9 & - 6 \end{matrix} | = 9

D_{y} = | \begin{matrix} 3 & 0 \\ 1 & - 9 \end{matrix} | =

________
Calcoliamo la soluzione del sistema:

x = \frac{D_{x}}{D} = - \frac{9}{19}, y =

________.
Le soluzioni del sistema di partenza quindi sono:

(9;

________

)

(- \frac{9}{19};

________

) .

Completamento chiuso

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Matematica

Calcola i seguenti determinanti.

a. $| \begin{matrix} 2 & 5 \\ 3 & 6 \end{matrix} | =$ ________

b. $| \begin{matrix} - 1 & 4 \\ 3 & - 12 \end{matrix} | =$ ________

c. $| \begin{matrix} x + 1 & - 2 x \\ \frac{x + 1}{2} & 1 - x \end{matrix} | =$ ________

d. $| \begin{matrix} - 1 & 2 & 0 \\ 0 & 5 & 0 \\ 3 & - 2 & 1 \end{matrix} | =$ ________

Completamento chiuso

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Matematica

Risolvi l'equazione
$| \begin{matrix} 3 & - x \\ - 5 x & - 2 x \end{matrix} | + | \begin{matrix} x + 2 & 0 & 1 \\ 1 - x & 3 & 4 x \\ 0 & - 2 & - x \end{matrix} | = 10.$
Calcoliamo il primo determinante:

$| \begin{matrix} 3 & - x \\ - 5 x & - 2 x \end{matrix} | =$ ________

Calcoliamo il secondo determinante:
$| \begin{matrix} x + 2 & 0 & 1 \\ 1 - x & 3 & 4 x \\ 0 & - 2 & - x \end{matrix} | =$ $(x + 2) (- 3 x + 8 x) +$ ________.

Possiamo ora risolvere l'equazione di partenza:
$- 6 x - 5 x^{2} + 5 x (x + 2) + 2 x - 2 = 10 \to$ ________ $= 12$

$x =$ ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Uno solo fra i seguenti sistemi lineari è impossibile. Individualo calcolando i determinanti

D, D_{x}

D_{y}

{\begin{matrix} x + 3 y = 2 \\ 2 x - y = 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} \frac{1}{2} x - y = 0 \\ x + 3 y = 0 \end{matrix}

{\begin{matrix} x - 2 y = 1 \\ - 3 x + 6 y = - 3 \end{matrix}

{\begin{matrix} x - 2 y = 3 \\ - 2 x + 4 y = 1 \end{matrix}

Scelta multipla

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Matematica

Vero o falso?

A: Se un sistema ha

D = - 1

D_{x} = 0

D_{y} = 0

, allora è impossibile.

B: Il sistema

{\begin{matrix} 3 x - 1 = 0 \\ x - y = 1 \end{matrix}

D =

| \begin{matrix} 3 & - 1 \\ 1 & - 1 \end{matrix} |

C: Se in un sistema è

D_{x} = 0

, allora

x = 0

D: Se in un sistema si ha

D = 8

D_{x} = 0

D_{y} = 4

, la soluzione è

(0; 2)

Vero o falso

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Matematica

a. Trova per quale valore di

a

il sistema

{\begin{matrix} 2 x + 4 y = - a \\ - x + a y = - 7 \end{matrix}

D = 0

.
b. Stabilisci se per il valore trovato il sistema è impossibile o indeterminato.

a. Calcoliamo

D

D =

________

=

________.
Allora

D = 0

quando

a =

________.

b. Sostituiamo

a = - 2

nel sistema di partenza:
________.
Abbiamo stabilito che, per

a = - 2

D = 0

.
Calcoliamo

D_{x}

D_{x} = | \begin{matrix} 2 & 2 \\ 7 & 2 \end{matrix} | =

________.
Poiché

D = 0

D_{x} \neq 0

, il sistema è ________.

Completamento chiuso

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Matematica

Risolvi il seguente sistema con il metodo di Cramer.

{\begin{matrix} (x - 1)^{2} + 3 (y - 1) = 5 + x^{2} \\ \frac{1}{2} x + \frac{1}{3} y - \frac{1}{6} = 0 \end{matrix} .

Eliminiamo le parentesi.
________
Il sistema in forma normale è:
________.
Applichiamo il metodo di Cramer: calcoliamo

D

D_{x}

D_{y}

D =

| \begin{matrix} 2 & - 3 \\ 3 & 2 \end{matrix} |

=

________

D_{x} =

________

=

________

D_{y} = | \begin{matrix} 2 & - 7 \\ 3 & 1 \end{matrix} | =

________
Calcoliamo

x

y

x = \frac{D_{x}}{D} = - \frac{11}{13}

y = \frac{D_{y}}{D} =

________.
La soluzione del sistema è

(- \frac{11}{13};

________

)

Completamento chiuso

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Matematica

In un rombo la diagonale maggiore supera di

8

cm la diagonale minore. La semisomma delle diagonali misura

20

cm. Calcola l'area del rombo.

Chiamiamo

x

la misura della diagonale maggiore e

y

quella della diagonale minore. Allora possiamo scrivere il sistema:
________.
Riduciamo il sistema in forma normale:
________.
Applichiamo il metodo di Cramer e calcoliamo

D

D_{x}

D_{y}

D =

| \begin{matrix} 1 & - 1 \\ 1 & 1 \end{matrix} |

=

________

D_{x} =

| \begin{matrix} 8 & - 1 \\ 40 & 1 \end{matrix} |

=

________

D_{y} =

________

=

________
Troviamo

x

y

x =

________

= 24

y = \frac{D_{y}}{D} =

________.
L'area del rombo è:

A =

________

{cm}^{2}

=

________

{cm}^{2}

Completamento chiuso

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Matematica

Una fruttivendola vende le mele a

1

€/kg, mentre il prezzo delle pere supera del

40 %

quello delle mele. Antonio compera

9

kg di frutta tra mele e pere, spendendo in totale

10, 60

€. Quanti kilogrammi di mele e quanti kilogrammi di pere ha acquistato Antonio?

Indichiamo con

x

y

le quantità (in kg) rispettivamente di mele e di pere acquistati da Antonio. Ricaviamo il prezzo delle pere:
________.
Il sistema che risolve il problema è:
________.
Il sistema è già in forma normale. Applchiamo il metodo di Cramer: calcoliamo

D

D_{x}

D_{y}

D =

| \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 1, 4 \end{matrix} |

=

________

D_{x} =

| \begin{matrix} 9 & 1 \\ 10, 6 & 1, 4 \end{matrix} |

=

9 \cdot 1, 4 - 10, 6 =

________

D_{y} =

| \begin{matrix} 1 & 9 \\ 1 & 10, 6 \end{matrix} |

=

________
Troviamo

x

y

x = \frac{D_{x}}{D} =

________;

y = \frac{D_{y}}{D} =

________.
Quindi Antonio acquista ________ kg di mele e ________ kg di pere.

Completamento chiuso

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