Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - La similitudine di triangoli e poligoni

FIP03bbtbluG7 - La similitudine di triangoli e poligoni

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Il triangolo $A B C$ è inscritto in una semicirconferenza di diametro $A B$ . Da un punto $D$ sul prolungamento di $A C$ , dalla parte di $C$ , conduci la perpendicolare al diametro $A B$ e indica con $E$ , $F$ , $H$ , rispettivamente, le intersezioni della perpendicolare con la circonferenza, con $B C$ e con $A B$ . Dimostra che:

a. i triangoli $A H D$ e $B H F$ sono simili;

b. $H E$ è medio proporzionale tra $H D$ e $H F$ .

Disegniamo la figura.

Ipotesi

$A \hat{C} B ≅ \frac{π}{2}$ ;

$D H ⊥ A B$ .

Tesi

$A H D \sim B H F$ ;

$H D : H E = H E : H F$ .

a. Consideriamo i triangoli $A B C$ e $B H F$ . Essi hanno:

$B \hat{C} A ≅ B \hat{H} F ≅ \frac{π}{2}$ per ipotesi;
$A \hat{B} C ≅ F \hat{B} H$ perché è in comune;

quindi $A B C \sim B H F$ per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

Consideriamo i triangoli $A B C$ e $A H D$ . Essi hanno:

$B \hat{C} A ≅ A \hat{H} D$ $≅ \frac{π}{2}$ per ipotesi;
$B \hat{A} C ≅$ ________ perché è in comune;

quindi $A B C \sim A H D$ per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

Quindi $A H D \sim B H F$ per la transitività della similitudine.

b. ________ $:$ ________ $= B H : H F$ per le similitudini tra i triangoli dimostrate prima ,
cioè $A H \cdot B H = H D \cdot H F$ .

$A H : H E =$ ________ $: B H$ per il secondo teorema di Euclide sul triangolo $A B E$ , cioè $A H \cdot B H = H E^{2}$ .

Quindi $H D \cdot H F = H E^{2}$ per la transitività dell'uguaglianza e cioè $H D : H E = H E : H F$ .

Completamento chiuso

Un triangolo isoscele $A B C$ ha base $A B = 12$ cm e lato obliquo $A C = 10$ cm. Traccia una parallela alla base che interseca i lati obliqui nei punti $E$ e $F$ , in modo che il trapezio $A B E F$ sia equivalente al triplo del triangolo $E F C$ . Sia $O$ il punto di intersezione delle diagonali del trapezio. Calcola:

a. il perimetro di $E F C$ ;

b. il rapporto tra il perimetro di $E F O$ e il perimetro di $A B O$ .

Disegniamo la figura.

a. Consideriamo i triangoli $A B C$ ed $E F C$ :

$A \hat{C} B ≅ E \hat{C} F$ perché in comune:
$B \hat{A} C ≅ F \hat{E} C$ perché angoli ________ su rette parallele;

quindi $A B C \sim E F C$ per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

Abbiamo che $A_{A B C} = 4 A_{E F C}$ perché $A_{A E F B} = 3 A_{E F C}$ . Quindi il rapporto di similitudine tra $E F C$ e $A B C$ è ________.

Otteniamo così $E F = 6$ cm, $E C = F C = 5$ cm e $2 p_{E F C} =$ ________ cm.

b. Consideriamo i triangoli $E O F$ e $B A O$ . Essi hanno:

$E \hat{O} F ≅ B \hat{O} A$ perché angoli ________ al vertice;
$F \hat{E} O ≅ O \hat{B} A$ perché angoli alterni interni su rette parallele;

quindi $E O F \sim B O A$ per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

In particolare il rapporto di similitudine è $\frac{E F}{A B} = \frac{1}{2} .$

Possiamo quindi concludere che anche il rapporto fra i loro perimetri è ________.

Completamento chiuso

Vero o falso?
Due trapezi con entrambe le basi e le altezze in proporzione sono simili:

sempre.

se sono entrambi isosceli.

se sono entrambi rettangoli.

se sono entrambi inscrivibili in una circonferenza.

Vero o falso

Disegna un trapezio e indica con $O$ il punto di intersezione delle diagonali. Dimostra che $O$ dimezza la corda $M N$ passante per $O$ e parallela alle basi $A B$ e $C D$ .

Disegniamo la figura e tracciamo anche le altezze $D H$ e $C K$ con le intersezioni $H^{'}$ e $K^{'}$ .

Ipotesi

$A B C D$ trapezio;

$M N$ ________ $A B$ .

Tesi

$M O ≅ O N$ .

Consideriamo i trinagoli $A B D$ e $M O D$ . Essi hanno:

$A \hat{D} B ≅ M \hat{D} O$ perché è in comune;
$D \hat{B} A ≅ D \hat{O} M$ perché angoli corrispondenti su rette parallele;

quindi $A B D \sim M O D$ per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

In particolare, otteniamo $A B : D H = M O :$ ________.

Analogamente , se consideriamo i triangoli $A B C$ e $O N C$ otteniamo

________ $: C K = O N : C K^{'}$ .

Inoltre, $D H ≅ C K$ perché ________ quindi $M O : D H^{'} = O N : C K^{'}$ per la transitività dell'uguaglianza.

Infine anche $D H^{'} ≅ C K^{'}$ , quindi $M O ≅ O N$ .

Completamento chiuso

Quale delle seguenti affermazioni è vera?

Due triangoli isosceli non possono essere simili.

Un triangolo rettangolo non può mai essere simile a un triangolo ottusangolo.

Due triangoli rettangoli sono sempre simili.

Un triangolo isoscele e un triangolo ottusangolo non possono mai essere simili.

Scelta multipla

Considera una circonferenza di centro

O

e diametro

A B = 120

cm. Traccia un punto

F

A B

, tale che

A F ≅ \frac{1}{4} A O

, e la corda

C D

perpendicolare ad

A B

F

. Considera poi il punto

M

C D

tale che

6 M F ≅ A B

e disegna la corda

A E

passante per

M

.
Determina la lunghezza di

M E

.
Disegniamo la figura.

Calcoliamo

A O = 60

cm,

A F =

________ cm,

B F = 105

cm e

F M =

________ cm.
Inoltre,

{\bar{A M}}^{2} = 400

+

225 = 625

per il teorema di Pitagora quindi

A M = 25

cm.
Osserviamo che

F D ≅ C F

perché una corda perpendicolare al diametro è da esso tagliata a metà.

\bar{A F} : \bar{F D} =

________

: \bar{B F}

per il teorema delle corde

15 : \bar{F D} = \bar{F D} : 105 \to F D = 15 \sqrt{7}

cm.

\bar{A M} : \bar{M D} = \bar{C M} : \bar{M E}

per il teorema delle corde

25 : (15 \sqrt{7} + 20) =

(15 \sqrt{7}

________

20) \bar{M E} \to

M E = \frac{1175}{25} = 47

cm.

Completamento chiuso

In un triangolo

A B C

si ha

A C ≅ \frac{3}{5} A B

B C ≅ \frac{4}{3} A C

. Il punto

H

è il piede dell'altezza relativa ad

A B

B H ≅ \frac{16}{25} A B

.
a. Che tipo di triangolo è

A B C

?
b. Se l'area di

A H C

\frac{486}{25}

cm², qual è il perimetro di

A B C

?
c. Trova la lunghezza della proiezione di

C H

B C

.
Disegniamo la figura.

a. Dimostriamo che il primo teorema di ________ è valido per il triangolo

A B C

.
Per verificare che

B H : B C = B C : A B

sostituiamo

\frac{16}{25} A B : \frac{4}{3} (\frac{3}{5}

________

) = \frac{4}{3} (\frac{3}{5} A B) : A B

\frac{16}{25} A B : \frac{4}{5} A B = \frac{4}{5} A B : A B

;
il prodotto dei medi

\frac{4}{5} A B \cdot \frac{4}{5} A B

è uguale al prodotto degli estremi

\frac{16}{25} A B \cdot A B

, quindi la proporzione ________ verificata.
Concludiamo quindi che il triangolo

A B C

è un triangolo ________.

b.

A H : C H = C H : B H

per il secondo teorema di Euclide, cioè

\frac{9}{25} A B : C H = C H : \frac{16}{25} A B

.
Quindi

C H ≅ \frac{12}{25} A B .

A_{A H C} = \frac{A H \cdot C H}{2} = \frac{486}{25}

cm²

\to

\frac{9}{25} A B \cdot \frac{12}{25} A B =

________ cm²

\to

A B = 15

cm.
Quindi

A C = 9

cm,

B C = 12

cm e il perimetro

2 p_{A B C} = 36

cm.

c.

C H = \frac{12}{25} \cdot 15

= \frac{36}{5}

cm.

C K : C H =

________

: B C

per il primo toerema di Euclide sul triangolo

B C H

, cioè

C K : \frac{36}{5} = \frac{36}{5} : 12

.
Quindi

C K = \frac{108}{25}

=

4, 32

cm.

Completamento chiuso

Dimostra che, se due quadrilateri hanno tra angoli congruenti e i due lati tra essi compresi in proporzione, allora sono simili.

Disegniamo due quadrilateri qualunque.

Ipotesi

$\hat{A} ≅ \hat{A^{'}}$ ;

$\hat{B} ≅ \hat{B^{'}}$ ;

$\hat{D} ≅ \hat{D^{'}}$ ;

$A B : A D = A^{'} B^{'} : A^{'} D^{'}$ .

Tesi

$\hat{C} ≅ \hat{C^{'}}$ ;

$B C : C D = B^{'} C^{'} : C^{'} D^{'}$ .

Tracciamo i segmenti $B D$ e $B^{'} D^{'}$ e consideriamo i triangoli $A B D$ e $A^{'} B^{'} D^{'}$ . Essi hanno:

$\hat{A} ≅ \hat{A^{'}}$ per ipotesi;
________ per ipotesi;

quindi per il ________ criterio di similitudine dei triangoli $A B D \sim A^{'} B^{'} D^{'}$ .

In particolare $A \hat{B} D ≅ A^{'} \hat{B^{'}} D^{'}$ e $A \hat{D} B ≅ A^{'} \hat{D^{'}} B^{'}$ .

Consideriamo ora i triangoli $B D C$ e $B^{'} D^{'} C^{'}$ :

$B \hat{D} C ≅ B^{'} \hat{D^{'}} C^{'}$ perché differenza di angoli congruenti.
e analogamente ________ $≅ D^{'} \hat{B^{'}} C^{'}$ ;

quindi $A B D \sim A^{'} B^{'} D^{'}$ per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

In particolare $B C : C D = B^{'} C^{'} : C^{'} D^{'}$ e ________.

Completamento chiuso

Il quadrato in figura è diviso in

9

quadratini congruenti. Sapendo che il lato del quadrato grande misura

L

, calcolare l'area evidenziata in grigio.

\frac{11}{108} L^{2}

\frac{1}{9} L^{2}

\frac{5}{54} L^{2}

\frac{1}{12} L^{2}

\frac{13}{81} L^{2}

Scelta multipla

Considera due circonferenze di centro $O$ e $O^{'}$ tangenti esternamente nel punto $A$ e la tangente comune $t$ in $A$ . La retta $r$ è un'altra retta tangente comune, diversa da $t$ . $T$ e $T^{'}$ sono i punti di contatto. Detto $S$ il punto di intersezione tra $r$ e $t$ , dimostra che $O A : A S = A S : A O^{'}$ .

Ipotesi

$r$ e $t$ tangenti a $C$ e $C^{'}$ ;

$S \in r \cap t$ .

Tesi

$O A : A S = A S : A O^{'}$ .

Osserviamo che ________ $≅ S T ≅ S T^{'}$ perché segmenti di tangenza da un punto esterno.

Consideriamo i quadrilateri $O A S T$ e $O^{'} T^{'} S A$ . In essi:

$O \hat{T} S ≅ O^{'} \hat{T^{'}} C ≅ \frac{π}{2}$ perché tangente e ________ sono perpendicolari tra loro;
analogamente $O \hat{A} S ≅ O^{'} \hat{A} S ≅ \frac{π}{2}$ ;
$A \hat{O} T ≅ T^{'} \hat{S} A$ perché entrambi ________ dell'angolo $A \hat{S} T$ ;
$O A : O T = A S : S T^{'}$ per l'osservazione precedente e perché $O A ≅ O T$ in quanto raggi;

quindi $O A S T \sim O^{'} T^{'} S A$ per il criterio di similitudine tra poligoni con lo stesso numero di lati.

In particolare

$O A :$ ________ $=$ ________ $: A O^{'}$ .

Completamento chiuso

Un triangolo possiede una bisettrice e una mediana tra loro perpendicolari, di lunghezze, rispettivamente

7

8

. Qual è l'area del triangolo?

36

35

42

48

28

Scelta multipla