FIP03bbtbluG7 - La similitudine di triangoli e poligoni

Disegna un trapezio e indica con $O$ il punto di intersezione delle diagonali. Dimostra che $O$ dimezza la corda $MN$ passante per $O$ e parallela alle basi $AB$ e $CD$.

Disegniamo la figura e tracciamo anche le altezze $DH$ e $CK$ con le intersezioni $H^{\prime }$ e $K^{\prime }$.

Ipotesi

$ABCD$ trapezio;

$MN$________$AB$.

Tesi

$MO\cong ON$.

Consideriamo i trinagoli $ABD$ e $MOD$. Essi hanno:

• $A\hat{D}B\cong M\hat{D}O$ perché è in comune;
• $D\hat{B}A\cong D\hat{O}M$ perché angoli corrispondenti su rette parallele;

quindi $ABD\sim MOD$ per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

In particolare, otteniamo $AB:DH=MO:$________.

Analogamente , se consideriamo i triangoli $ABC$ e $ONC$ otteniamo

________$:CK=ON:C{K}^{\prime }$.

Inoltre, $DH\cong CK$ perché ________ quindi $MO:D{H}^{\prime }=ON:C{K}^{\prime }$ per la transitività dell'uguaglianza.

Infine anche $D{H}^{\prime }\cong C{K}^{\prime }$, quindi $MO\cong ON$.

Il triangolo $ABC$ è inscritto in una semicirconferenza di diametro $AB$. Da un punto $D$ sul prolungamento di $AC$, dalla parte di $C$, conduci la perpendicolare al diametro $AB$ e indica con $E$, $F$, $H$, rispettivamente, le intersezioni della perpendicolare con la circonferenza, con $BC$ e con $AB$. Dimostra che:

a.  i triangoli $AHD$ e $BHF$ sono simili;

b.  $HE$ è medio proporzionale tra $HD$ e $HF$.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

$A\hat{C}B\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$;

$DH\perp AB$.

Tesi

$AHD\sim BHF$;

$HD:HE=HE:HF$.

a.  Consideriamo i triangoli $ABC$ e $BHF$. Essi hanno:

• $B\hat{C}A\cong B\hat{H}F\cong {\displaystyle \frac{\pi }{2}}$ per ipotesi;
• $A\hat{B}C\cong F\hat{B}H$ perché è in comune;

quindi $ABC\sim BHF$ per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

Consideriamo i triangoli $ABC$ e $AHD$. Essi hanno:

• $B\hat{C}A\cong A\hat{H}D$${\displaystyle \cong \frac{\pi }{2}}$ per ipotesi;
• $B\hat{A}C\cong$________ perché è in comune;

quindi $ABC\sim AHD$ per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

Quindi $AHD\sim BHF$ per la transitività della similitudine.

b.  ________$:$________$=BH:HF$ per le similitudini tra i triangoli dimostrate prima ,
cioè $AH\cdot BH=HD\cdot HF$.

$AH:HE=$________$:BH$ per il secondo teorema di Euclide sul triangolo $ABE$, cioè $AH\cdot BH=H{E}^2$.

Quindi $HD\cdot HF=H{E}^2$ per la transitività dell'uguaglianza e cioè $HD:HE=HE:HF$.

Dimostra che, se due quadrilateri hanno tra angoli congruenti e i due lati tra essi compresi in proporzione, allora sono simili.

Disegniamo due quadrilateri qualunque.

Ipotesi

$\hat{A}\cong \widehat{A^{\prime }}$;

$\hat{B}\cong \widehat{B^{\prime }}$;

$\hat{D}\cong \widehat{D^{\prime }}$;

$AB:AD=A^{\prime }{B}^{\prime }:A^{\prime }{D}^{\prime }$.

Tesi

$\hat{C}\cong \widehat{C^{\prime }}$;

$BC:CD=B^{\prime }{C}^{\prime }:C^{\prime }{D}^{\prime }$.

Tracciamo i segmenti $BD$ e $B^{\prime }{D}^{\prime }$ e consideriamo i triangoli $ABD$ e $A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$. Essi hanno:

• $\hat{A}\cong \widehat{A^{\prime }}$ per ipotesi;
• ________ per ipotesi;

quindi per il ________ criterio di similitudine dei triangoli $ABD\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$.

In particolare $A\hat{B}D\cong A^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{D}^{\prime }$ e $A\hat{D}B\cong A^{\prime }\widehat{D^{\prime }}{B}^{\prime }$.

Consideriamo ora i triangoli $BDC$ e $B^{\prime }{D}^{\prime }{C}^{\prime }$:

• $B\hat{D}C\cong B^{\prime }\widehat{D^{\prime }}{C}^{\prime }$ perché differenza di angoli congruenti.
• e analogamente ________$\cong D^{\prime }\widehat{B^{\prime }}{C}^{\prime }$;

quindi $ABD\sim A^{\prime }{B}^{\prime }{D}^{\prime }$ per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

In particolare $BC:CD=B^{\prime }{C}^{\prime }:C^{\prime }{D}^{\prime }$ e ________.

Un triangolo isoscele $ABC$ ha base $AB=12$ cm e lato obliquo $AC=10$ cm. Traccia una parallela alla base che interseca i lati obliqui nei punti $E$ e $F$, in modo che il trapezio $ABEF$ sia equivalente al triplo del triangolo $EFC$. Sia $O$ il punto di intersezione delle diagonali del trapezio. Calcola:

a.   il perimetro di $EFC$;

b.   il rapporto tra il perimetro di $EFO$ e il perimetro di $ABO$.

Disegniamo la figura.

a.   Consideriamo i triangoli $ABC$ ed $EFC$:

• $A\hat{C}B\cong E\hat{C}F$ perché in comune:
• $B\hat{A}C\cong F\hat{E}C$ perché angoli ________ su rette parallele;

quindi $ABC\sim EFC$ per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

Abbiamo che ${\mathcal{A}}_{ABC}=4{\mathcal{A}}_{EFC}$ perché  ${\mathcal{A}}_{AEFB}=3{\mathcal{A}}_{EFC}$. Quindi il rapporto di similitudine tra $EFC$ e $ABC$ è ________.

Otteniamo così $EF=6$ cm, $EC=FC=5$ cm e $2{\mathcal{p}}_{EFC}=$________ cm.

b.   Consideriamo i triangoli $EOF$ e $BAO$. Essi hanno:

• $E\hat{O}F\cong B\hat{O}A$ perché angoli ________ al vertice;
• $F\hat{E}O\cong O\hat{B}A$ perché angoli alterni interni su rette parallele;

quindi $EOF\sim BOA$ per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

In particolare il rapporto di similitudine è ${\displaystyle \frac{EF}{AB}=\frac{1}{2}.}$

Possiamo quindi concludere che anche il rapporto fra i loro perimetri è ________.

Considera due circonferenze di centro $O$ e $O^{\prime }$ tangenti esternamente nel punto $A$ e la tangente comune $t$ in $A$. La retta $r$ è un'altra retta tangente comune, diversa da $t$. $T$ e $T^{\prime }$ sono i punti di contatto. Detto $S$ il punto di intersezione tra $r$ e $t$, dimostra che $OA:AS=AS:A{O}^{\prime }$.

Ipotesi

$r$ e $t$ tangenti a $\mathcal{C}$ e ${\mathcal{C}}^{\prime }$;

$S\in r\cap t$.

Tesi

$OA:AS=AS:A{O}^{\prime }$.

Osserviamo che ________$\cong ST\cong S{T}^{\prime }$ perché segmenti di tangenza da un punto esterno.

Consideriamo i quadrilateri $OAST$ e $O^{\prime }{T}^{\prime }SA$. In essi:

• ${\displaystyle O\hat{T}S\cong O^{\prime }\widehat{T^{\prime }}C\cong \frac{\pi }{2}}$ perché tangente e ________ sono perpendicolari tra loro;
• analogamente ${\displaystyle O\hat{A}S\cong O^{\prime }\hat{A}S\cong \frac{\pi }{2}}$;
• $A\hat{O}T\cong T^{\prime }\hat{S}A$ perché entrambi ________ dell'angolo $A\hat{S}T$;
• $OA:OT=AS:S{T}^{\prime }$ per l'osservazione precedente e perché $OA\cong OT$ in quanto raggi;

quindi $OAST\sim O^{\prime }{T}^{\prime }SA$ per il criterio di similitudine tra poligoni con lo stesso numero di lati.

In particolare

$OA:$________$=$________$:A{O}^{\prime }$.