Tipo di esercizi
Scelta multipla,
Completamento chiuso,
Vero o falso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - La similitudine di triangoli e poligoni
INFO

Matematica

Quale delle seguenti affermazioni è vera?
A: Due triangoli isosceli non possono essere simili.
B: Un triangolo rettangolo non può mai essere simile a un triangolo ottusangolo.
C: Due triangoli rettangoli sono sempre simili.
D: Un triangolo isoscele e un triangolo ottusangolo non possono mai essere simili.
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Matematica

Dimostra che, se due quadrilateri hanno tra angoli congruenti e i due lati tra essi compresi in proporzione, allora sono simili.

Disegniamo due quadrilateri qualunque.

Ipotesi

A^A^;

B^B^;

D^D^;

AB:AD=AB:AD.

Tesi

C^C^;

BC:CD=BC:CD.

Tracciamo i segmenti BD e BD e consideriamo i triangoli ABD e ABD. Essi hanno:

  • A^A^ per ipotesi;
  • ________ per ipotesi;

quindi per il ________ criterio di similitudine dei triangoli ABDABD.

In particolare AB^DAB^D e AD^BAD^B.

Consideriamo ora i triangoli BDC e BDC:

  • BD^CBD^C perché differenza di angoli congruenti.
  • e analogamente ________DB^C;

quindi ABDABD per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

In particolare BC:CD=BC:CD e ________.






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Un triangolo isoscele ABC ha base AB=12 cm e lato obliquo AC=10 cm. Traccia una parallela alla base che interseca i lati obliqui nei punti E e F, in modo che il trapezio ABEF sia equivalente al triplo del triangolo EFC. Sia O il punto di intersezione delle diagonali del trapezio. Calcola:

a.   il perimetro di EFC;

b.   il rapporto tra il perimetro di EFO e il perimetro di ABO.

Disegniamo la figura.

a.   Consideriamo i triangoli ABC ed EFC:

  • AC^BEC^F perché in comune:
  • BA^CFE^C perché angoli ________ su rette parallele;

quindi ABCEFC per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

Abbiamo che AABC=4AEFC perché  AAEFB=3AEFC. Quindi il rapporto di similitudine tra EFC e ABC è ________.

Otteniamo così EF=6 cm, EC=FC=5 cm e 2pEFC=________ cm.


b.   Consideriamo i triangoli EOF e BAO. Essi hanno:

  • EO^FBO^A perché angoli ________ al vertice;
  • FE^OOB^A perché angoli alterni interni su rette parallele;

quindi EOFBOA per il ________ criterio di similitudine dei triangoli.

In particolare il rapporto di similitudine è EFAB=12.

Possiamo quindi concludere che anche il rapporto fra i loro perimetri è ________.

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In un triangolo ABC si ha AC35AB e BC43AC. Il punto H è il piede dell'altezza relativa ad AB e BH1625AB.
a.   Che tipo di triangolo è ABC?
b.   Se l'area di AHC è 48625 cm², qual è il perimetro di ABC?
c.   Trova la lunghezza della proiezione di CH su BC.
Disegniamo la figura.

a.   Dimostriamo che il primo teorema di ________ è valido per il triangolo ABC.
Per verificare che BH:BC=BC:AB sostituiamo
1625AB:43(35________)=43(35AB):AB
1625AB:45AB=45AB:AB;
il prodotto dei medi 45AB45AB è uguale al prodotto degli estremi 1625ABAB, quindi la proporzione ________ verificata.
Concludiamo quindi che il triangolo ABC è un triangolo ________.

b.   AH:CH=CH:BH per il secondo teorema di Euclide, cioè 925AB:CH=CH:1625AB.
Quindi CH1225AB.
AAHC=AHCH2=48625 cm²
925AB1225AB=________ cm²
AB=15 cm.
Quindi AC=9 cm, BC=12 cm e il perimetro 2pABC=36 cm.

c.  CH=122515 cm =365 cm.
CK:CH=________:BC per il primo toerema di Euclide sul triangolo BCH, cioè CK:365=365:12.
Quindi CK=10825 cm =4,32 cm.


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Considera due circonferenze di centro O e O tangenti esternamente nel punto A e la tangente comune t in A. La retta r è un'altra retta tangente comune, diversa da t. T e T sono i punti di contatto. Detto S il punto di intersezione tra r e t, dimostra che OA:AS=AS:AO.

Ipotesi

r e t tangenti a C e C;

Srt.

Tesi

OA:AS=AS:AO.


Osserviamo che ________STST perché segmenti di tangenza da un punto esterno.

Consideriamo i quadrilateri OAST e OTSA. In essi:

  • OT^SOT^Cπ2 perché tangente e ________ sono perpendicolari tra loro;
  • analogamente OA^SOA^Sπ2;
  • AO^TTS^A perché entrambi ________ dell'angolo AS^T;
  • OA:OT=AS:ST per l'osservazione precedente e perché OAOT in quanto raggi;

quindi OASTOTSA per il criterio di similitudine tra poligoni con lo stesso numero di lati.

In particolare

OA:________=________:AO.

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Disegna un trapezio e indica con O il punto di intersezione delle diagonali. Dimostra che O dimezza la corda MN passante per O e parallela alle basi AB e CD.


Disegniamo la figura e tracciamo anche le altezze DH e CK con le intersezioni H e K.

Ipotesi

ABCD trapezio;

MN________AB.

Tesi

MOON.

Consideriamo i trinagoli ABD e MOD. Essi hanno:

  • AD^BMD^O perché è in comune;
  • DB^ADO^M perché angoli corrispondenti su rette parallele;

quindi ABDMOD per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

In particolare, otteniamo AB:DH=MO:________.

Analogamente , se consideriamo i triangoli ABC e ONC otteniamo

________:CK=ON:CK.

Inoltre, DHCK perché ________ quindi MO:DH=ON:CK per la transitività dell'uguaglianza.

Infine anche DHCK, quindi MOON.

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Il triangolo ABC è inscritto in una semicirconferenza di diametro AB. Da un punto D sul prolungamento di AC, dalla parte di C, conduci la perpendicolare al diametro AB e indica con E, F, H, rispettivamente, le intersezioni della perpendicolare con la circonferenza, con BC e con AB. Dimostra che:

a.  i triangoli AHD e BHF sono simili;

b.  HE è medio proporzionale tra HD e HF.

Disegniamo la figura.

Ipotesi

AC^Bπ2;

DHAB.

Tesi

AHDBHF;

HD:HE=HE:HF.



a.  Consideriamo i triangoli ABC e BHF. Essi hanno:

  • BC^ABH^Fπ2 per ipotesi;
  • AB^CFB^H perché è in comune;

quindi ABCBHF per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

Consideriamo i triangoli ABC e AHD. Essi hanno:

  • BC^AAH^Dπ2 per ipotesi;
  • BA^C________ perché è in comune;

quindi ABCAHD per il ________ criterio di similitudine tra triangoli.

Quindi AHDBHF per la transitività della similitudine.


b.  ________:________=BH:HF per le similitudini tra i triangoli dimostrate prima ,
cioè AHBH=HDHF.

AH:HE=________:BH per il secondo teorema di Euclide sul triangolo ABE, cioè AHBH=HE2.

Quindi HDHF=HE2 per la transitività dell'uguaglianza e cioè HD:HE=HE:HF.

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Un triangolo possiede una bisettrice e una mediana tra loro perpendicolari, di lunghezze, rispettivamente 7 e 8. Qual è l'area del triangolo?
A: 36
B: 35
C: 42
D: 48
E: 28
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Considera una circonferenza di centro O e diametro AB=120 cm. Traccia un punto F su AB, tale che AF14AO, e la corda CD perpendicolare ad AB in F. Considera poi il punto M su CD tale che 6MFAB e disegna la corda AE passante per M.
Determina la lunghezza di ME.
Disegniamo la figura.

Calcoliamo AO=60 cm, AF=________ cm, BF=105 cm e FM=________ cm.
Inoltre, AM¯2=400+225=625 per il teorema di Pitagora quindi AM=25 cm.
Osserviamo che FDCF perché una corda perpendicolare al diametro è da esso tagliata a metà.
AF¯:FD¯=________:BF¯ per il teorema delle corde
15:FD¯=FD¯:105  FD=157 cm.
AM¯:MD¯=CM¯:ME¯ per il teorema delle corde
25:(157+20)=
(157________20)ME¯
ME=117525=47 cm.
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Il quadrato in figura è diviso in 9 quadratini congruenti. Sapendo che il lato del quadrato grande misura L, calcolare l'area evidenziata in grigio.
A: 11108L2
B: 19L2
C: 554L2
D: 112L2
E: 1381L2
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Vero o falso?
Due trapezi con entrambe le basi e le altezze in proporzione sono simili:
A: sempre.
B: se sono entrambi isosceli.
C: se sono entrambi rettangoli.
D: se sono entrambi inscrivibili in una circonferenza.
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