FIP03bbtbluG5 - Le circonferenze e le rette, le posizioni reciproche fra due circonferenze

Tracciata una circonferenza $\mathcal{C}$ di centro $O$ e raggio $r$, sia ${\mathcal{C}}^{\prime }$ una seconda circonferenza di centro $O$, con raggio ${\displaystyle r^{\prime }<\frac{1}{2}r}$. Traccia una corda $AB$ di $\mathcal{C}$ che sia tangente a ${\mathcal{C}}^{\prime }$ e dagli estremi $A$ e $B$ manda le ulteriori tangenti a ${\mathcal{C}}^{\prime }$, che incontrano $\mathcal{C}$ rispettivamente nei punti $C$ e $D$. Dimostra che $ABCD$ è un trapezio isoscele.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

${\displaystyle r^{\prime }<\frac{1}{2}r}$;

$AB$, $AC$ e $BD$ tangenti a ${\mathcal{C}}^{\prime }$.

Tesi

$AB\parallel CD$;

$AD\cong BC$.

Dimostrazione

Tracciamo il raggio $OK$ che interseca $AB$ nel punto di tangenza $T$ e i raggi $OA$ e $OB$.

$OK\perp AB$ perché $AB$ è ________ a ${\mathcal{C}}^{\prime }$.

Consideriamo i triangoli rettangoli $OTA$ e $OTB$.

Essi hanno:

• $OA\cong OB$ perché raggi;
• $AT\cong BT$ perché il raggio perpendicolare a una corda la taglia ________;

quindi i triangoli $OTA$ e  $OTB$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare $O\hat{A}T\cong$________ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Abbiamo che $C\hat{A}B\cong$________ e $D\hat{B}A\cong 2O\hat{B}T$ per il teorema sulle ________ da un punto esterno.

Quindi $C\hat{A}B\cong D\hat{B}A$.

$D\hat{B}A$ insiste sulla corda ________ e $C\hat{A}B$ sulla corda $BC$ quindi ________$\cong BC$ perché ad angoli congruenti corrispondono corde congruenti.

Inoltre, anche $B\hat{D}C$ insiste su ________ quindi $B\hat{D}C\cong D\hat{B}A$ per la transitività della congruenza.

Le rette a cui appartengono i segmenti $AB$ e $CD$ tagliate dalla trasversale $BD$ formano dunque angoli ________ congruenti e cioè sono ________.

In conclusione quindi $ABCD$ è un trapezio isoscele.

Sapendo che $t$ è tangente alla semicirconferenza e che $C\hat{B}A$ è ${60}^{\circ }$, dimostra che:

a.   $t$ è parallela alla bisettrice di $A\hat{B}C$;

b.   il triangolo $PBC$ è isoscele.

a.   Tracciamo la bisettrice di $C\hat{B}A$ e il raggio  $OC$.

L'angolo $O\hat{C}P={90}^{\circ }$ perché il raggio è perpendicolare ________.

Consideriamo il triangolo $OCB$:

• $B\hat{O}C=$________ perché angolo al centro di $B\hat{A}C=$________;
• $O\hat{C}B=$________ perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Quindi $P\hat{C}B\cong P\hat{C}O$________$B\hat{O}C=$________.

Nel triangolo $BCP$ l'angolo $C\hat{B}P={120}^{\circ }$ perché ________ di $A\hat{B}C$.

Quindi $C\hat{P}B=$________ perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Infine, $t$ e la bisettrice di $A\hat{B}C$ tagliate dalla trasversale $AP$ formano angoli ________ congruenti e cioè $t$ è parallela alla bisettrice di $A\hat{B}C$.

b.   Abbiamo dimostrato che $P\hat{C}B\cong C\hat{P}B$ perché misurano entrambi ${30}^{\circ }$ quindi il triangolo $PBC$ è ________ per il teorema dei triangoli isosceli.

Da un punto $P$ esterno a una circonferenza di centro $O$ traccia le tangenti in $A$ e $B$. Prolunga i segmenti $OA$ e $OB$ di due segmenti $AC$ e $BD$ congruenti al raggio. Dimostra che $CP\cong DP$.

Disegniamo la figura e tracciamo il segmento $OP$.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

$OA\cong AC;$

$OB\cong BD.$

Tesi

$CP\cong DP$.

Dimostrazione

Osserviamo che il raggio e il prolungamento sono ________ alla tangente. Consideriamo quindi i triangoli $OAP$ e $CAP$. Essi hanno:

• $OA\cong AC$________;
• $AP$ è in comune;

quindi $OAP$ e $CAP$ sono congruenti per il ________ criterio dei triangoli rettangoli. In particolare, $CP\cong$________ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Analogamente $DP\cong$________.

Quindi $CP\cong DP$ per la transitività della congruenza.

Due circonferenze di raggi congruenti sono tangenti esternamente nel punto $T$. Una circonferenza di centro $T$ interseca le due circonferenze nei punti $A$, $B$, $C$, $D$. Dimostra che il quadrilatero $ABCD$ è un rettangolo.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

$O_{1}T\cong O_{2}T$.

Tesi

$AC$ e $BD$ si incontrano nel loro punto medio;

$AC\cong BD$.

Dimostrazione

Sia $t$ la tangente a entrambe le circonferenze.

Tracciamo anche i raggi $O_{1}A$, $O_{1}B$, $O_{2}C$ e $O_{2}D$ e i raggi $AT$, $BT$, $CT$ e $DT$.

$O_1$, $T$ e $O_2$ sono allineati perché $O_{1}T$________$t$ e $O_{2}T$________$t$.

Consideriamo i triangoli $O_{1}AT$ e $O_{2}CT$. Essi hanno:

• $O_{1}A\cong O_{1}T\cong O_{2}C\cong O_{2}T$ per ipotesi e perché raggi;
• $AT\cong BT\cong CT\cong DT$________;

quindi $O_{1}AT$ e $O_{2}CT$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza tra triangoli. In particolare, $A\hat{T}{O}_1\cong C\hat{T}{O}_2$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Quindi $A$, $T$ e $C$________ allineati e, analogamente, anche $B$, $T$ e $D$.

Inoltre, $AC\cong$________ e $BD\cong$________, quindi $AC\cong BD$ per la transitività della congruenza.

In conclusione, abbiamo che $ABCD$ è un ________ perché $AC$ e $BD$ sono diagonali che si tagliano reciprocamente a metà; ma sono anche congruenti quindi $ABCD$ è un ________.