Matematica - Scuola secondaria di secondo grado

FIP03bbtbluG5 - Le circonferenze e le rette, le posizioni reciproche fra due circonferenze

9 esercizi

SVOLGI

INFO

Tracciata una circonferenza $C$ di centro $O$ e raggio $r$ , sia $C^{'}$ una seconda circonferenza di centro $O$ , con raggio $r^{'} < \frac{1}{2} r$ . Traccia una corda $A B$ di $C$ che sia tangente a $C^{'}$ e dagli estremi $A$ e $B$ manda le ulteriori tangenti a $C^{'}$ , che incontrano $C$ rispettivamente nei punti $C$ e $D$ . Dimostra che $A B C D$ è un trapezio isoscele.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

$r^{'} < \frac{1}{2} r$ ;

$A B$ , $A C$ e $B D$ tangenti a $C^{'}$ .

Tesi

$A B ∥ C D$ ;

$A D ≅ B C$ .

Dimostrazione

Tracciamo il raggio $O K$ che interseca $A B$ nel punto di tangenza $T$ e i raggi $O A$ e $O B$ .

$O K ⊥ A B$ perché $A B$ è ________ a $C^{'}$ .

Consideriamo i triangoli rettangoli $O T A$ e $O T B$ .

Essi hanno:

$O A ≅ O B$ perché raggi;
$A T ≅ B T$ perché il raggio perpendicolare a una corda la taglia ________;

quindi i triangoli $O T A$ e $O T B$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare $O \hat{A} T ≅$ ________ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Abbiamo che $C \hat{A} B ≅$ ________ e $D \hat{B} A ≅ 2 O \hat{B} T$ per il teorema sulle ________ da un punto esterno.

Quindi $C \hat{A} B ≅ D \hat{B} A$ .

$D \hat{B} A$ insiste sulla corda ________ e $C \hat{A} B$ sulla corda $B C$ quindi ________ $≅ B C$ perché ad angoli congruenti corrispondono corde congruenti.

Inoltre, anche $B \hat{D} C$ insiste su ________ quindi $B \hat{D} C ≅ D \hat{B} A$ per la transitività della congruenza.

Le rette a cui appartengono i segmenti $A B$ e $C D$ tagliate dalla trasversale $B D$ formano dunque angoli ________ congruenti e cioè sono ________.

In conclusione quindi $A B C D$ è un trapezio isoscele.

Completamento chiuso

Due circonferenze di raggi congruenti sono tangenti esternamente nel punto $T$ . Una circonferenza di centro $T$ interseca le due circonferenze nei punti $A$ , $B$ , $C$ , $D$ . Dimostra che il quadrilatero $A B C D$ è un rettangolo.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

$O_{1} T ≅ O_{2} T$ .

Tesi

$A C$ e $B D$ si incontrano nel loro punto medio;

$A C ≅ B D$ .

Dimostrazione

Sia $t$ la tangente a entrambe le circonferenze.

Tracciamo anche i raggi $O_{1} A$ , $O_{1} B$ , $O_{2} C$ e $O_{2} D$ e i raggi $A T$ , $B T$ , $C T$ e $D T$ .

$O_{1}$ , $T$ e $O_{2}$ sono allineati perché $O_{1} T$ ________ $t$ e $O_{2} T$ ________ $t$ .

Consideriamo i triangoli $O_{1} A T$ e $O_{2} C T$ . Essi hanno:

$O_{1} A ≅ O_{1} T ≅ O_{2} C ≅ O_{2} T$ per ipotesi e perché raggi;
$A T ≅ B T ≅ C T ≅ D T$ ________;

quindi $O_{1} A T$ e $O_{2} C T$ sono congruenti per il ________ criterio di congruenza tra triangoli. In particolare, $A \hat{T} O_{1} ≅ C \hat{T} O_{2}$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Quindi $A$ , $T$ e $C$ ________ allineati e, analogamente, anche $B$ , $T$ e $D$ .

Inoltre, $A C ≅$ ________ e $B D ≅$ ________, quindi $A C ≅ B D$ per la transitività della congruenza.

In conclusione, abbiamo che $A B C D$ è un ________ perché $A C$ e $B D$ sono diagonali che si tagliano reciprocamente a metà; ma sono anche congruenti quindi $A B C D$ è un ________.

Completamento chiuso

Quale fra le seguenti affermazioni è vera?

\bar{O O^{'}} = r - r^{'}

\bar{O O^{'}} < r - r^{'}

\bar{O O^{'}} = r + r^{'}

\bar{O O^{'}} > r + r^{'}

Scelta multipla

Sapendo che $t$ è tangente alla semicirconferenza e che $C \hat{B} A$ è $60^{\circ}$ , dimostra che:

a. $t$ è parallela alla bisettrice di $A \hat{B} C$ ;

b. il triangolo $P B C$ è isoscele.

a. Tracciamo la bisettrice di $C \hat{B} A$ e il raggio $O C$ .

L'angolo $O \hat{C} P = 90^{\circ}$ perché il raggio è perpendicolare ________.

Consideriamo il triangolo $O C B$ :

$B \hat{O} C =$ ________ perché angolo al centro di $B \hat{A} C =$ ________;
$O \hat{C} B =$ ________ perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Quindi $P \hat{C} B ≅ P \hat{C} O$ ________ $B \hat{O} C =$ ________.

Nel triangolo $B C P$ l'angolo $C \hat{B} P = 120^{\circ}$ perché ________ di $A \hat{B} C$ .

Quindi $C \hat{P} B =$ ________ perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Infine, $t$ e la bisettrice di $A \hat{B} C$ tagliate dalla trasversale $A P$ formano angoli ________ congruenti e cioè $t$ è parallela alla bisettrice di $A \hat{B} C$ .

b. Abbiamo dimostrato che $P \hat{C} B ≅ C \hat{P} B$ perché misurano entrambi $30^{\circ}$ quindi il triangolo $P B C$ è ________ per il teorema dei triangoli isosceli.

Completamento chiuso

Data la circonferenza

C

di centro

O

, sia

A B

un suo diametro. Costruisci la circonferenza

C^{'}

di centro

B

e raggio congruente a quello di

C

, e siano

C

D

i punti comuni alle due circonferenze.
Dimostra che:
a. le rette

A C

A D

sono tangenti alla circonferenza

C^{'}

;
b. il triangolo

A D C

è equilatero.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

A B

diametro;

r_{C} ≅ r_{C^{'}}

.

Tesi

A C

tangente a

C^{'}

;

A D

tangente a

C^{'}

;

A D ≅ D C ≅ A C

.

Dimostrazione
Tracciamo i segmenti

O C

B C

.

a. Il triangolo

B C O

è ________ in quanto

O B ≅ O C ≅ B C

perché raggi congruenti. Quindi

O \hat{C} B ≅ B \hat{O} C ≅ C \hat{B} O ≅

________.
Il triangolo

A C O

è ________ perché

O A ≅ O C

in quanto raggi. Quindi

O \hat{A} C ≅ A \hat{C} O

per il teorema sui triangoli isosceli.

C \hat{O} A

≅

________ quindi

C \hat{A} O

≅

________.
Abbiamo che

A \hat{C} B ≅ C \hat{A} O + O \hat{C} B ≅ \frac{π}{6} + \frac{π}{3} ≅ \frac{π}{2}

.
Quindi

A C

è ________ al raggio

B C

, cioè

A C

è tangente a

C^{'}

per il teorema sulle tangenti a una circonferenza.
Per simmetria,

A D

è tangente a

C^{'}

.

b.

A C

________

A D

perché

A C

A D

sono segmenti di tangenza per

C^{'}

passanti per il punto esterno

A

.
Quindi

A D C

è ________.
Inoltre,

C \hat{A} D ≅ B \hat{A} C +

________

≅

\frac{π}{6} + \frac{π}{6} ≅ \frac{π}{3}

.
Quindi anche

A \hat{C} D ≅ C \hat{D} A ≅ \frac{π}{3}

e cioè

A D C

è ________.

Completamento chiuso

Sapendo che nell'ingranaggio in figura il raggio della ruota di centro

A

è il doppio del raggio della ruota di centro

B

, determina i raggi delle tre ruote, utilizzando i dati forniti.

Dalla figura sappiamo che

A C = r_{A}

________

r_{C}

e ________

= r_{B} + r_{C}

.
Inoltre,

r_{A} = 2 r_{B}

, quindi

A C = 2 r_{B}

________

r_{C}

.
Sostituiamo le informazioni fornite e otteniamo

10 =

2 r_{B}

________

r_{C}

7 = r_{B} + r_{C}

.
Quindi

r_{B} =

________ cm,

r_{A} =

________ cm e

r_{C} =

________ cm.

Completamento chiuso

Da un punto $P$ esterno a una circonferenza di centro $O$ traccia le tangenti in $A$ e $B$ . Prolunga i segmenti $O A$ e $O B$ di due segmenti $A C$ e $B D$ congruenti al raggio. Dimostra che $C P ≅ D P$ .

Disegniamo la figura e tracciamo il segmento $O P$ .

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

$O A ≅ A C;$

$O B ≅ B D .$

Tesi

$C P ≅ D P$ .

Dimostrazione

Osserviamo che il raggio e il prolungamento sono ________ alla tangente. Consideriamo quindi i triangoli $O A P$ e $C A P$ . Essi hanno:

$O A ≅ A C$ ________;
$A P$ è in comune;

quindi $O A P$ e $C A P$ sono congruenti per il ________ criterio dei triangoli rettangoli. In particolare, $C P ≅$ ________ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Analogamente $D P ≅$ ________.

Quindi $C P ≅ D P$ per la transitività della congruenza.

Completamento chiuso

Nella figura

D P

D B

sono tangenti alla circonferenza, l'angolo

C \hat{P} O = 30^{\circ}

e il raggio

\bar{C O} = 7

. Quanto misura

O D

?

Il quadrilatero

B O C D

è un ________ perché ________

≅ D C

in quanto segmenti di tangenza dal punto esterno

D

O C ≅ O B

perché raggi.

D \hat{C} O ≅ D \hat{B} O

e sono entrambi retti perché il raggio è perpendicolare alla ________.
Quindi

C \hat{D} O ≅ B \hat{D} O ≅

________.

B \hat{D} C =

________ quindi

O \hat{D} C =

________.
Inoltre,

D \hat{O} C = 60^{\circ}

.
Quindi il triangolo

D O C

è metà triangolo equilatero e cioè

\bar{O D} =

________.

Completamento chiuso

I cerchi del logo rappresentato in figura sono congruenti e la circonferenza di uno passa per il centro dell'altro.

a. Dimostra che

O A O^{'} B

è un rombo.
b. Come devono essere

O

O^{'}

affinché sia un quadrato? Motiva la tua risposta.
c. In quale caso è un rombo composto dall'unione di due triangoli equilateri? Perché?

a.

O A ≅ O B ≅ O^{'} A ≅

________ per ipotesi quindi

O A O^{'} B

è un rombo.

b. In ________ posizione

O

O^{'}

formano un quadrato.
Infatti,

O A ≅ A O^{'} ≅ O O^{'}

e cioè il triangolo

O A O^{'}

è un triangolo ________.
Analogamente il triangolo

O B O^{'}

è un triangolo ________.
Quindi gli angoli

O \hat{A} O^{'}

O \hat{B} O^{'}

misurano ________, non ________

c. ________, perché i triangoli

O A O^{'}

O B O^{'}

sono triangoli ________.

Completamento chiuso