Tipo di esercizi
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Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - Le circonferenze e le rette, le posizioni reciproche fra due circonferenze
INFO

Matematica

Data la circonferenza C di centro O, sia AB un suo diametro. Costruisci la circonferenza C di centro B e raggio congruente a quello di C, e siano C e D i punti comuni alle due circonferenze.
Dimostra che:
a.   le rette AC e AD sono tangenti alla circonferenza C;
b.   il triangolo ADC è equilatero.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.


Ipotesi
AB diametro;
rCrC.

Tesi
AC tangente a C;
AD tangente a C;
ADDCAC.

Dimostrazione
Tracciamo i segmenti OC e BC.


a.   Il triangolo BCO è ________ in quanto OBOCBC perché raggi congruenti. Quindi OC^BBO^CCB^O________.
Il triangolo ACO è ________ perché OAOC in quanto raggi. Quindi OA^CAC^O per il teorema sui triangoli isosceli.
CO^A________ quindi CA^O________.
Abbiamo che AC^BCA^O+OC^Bπ6+π3π2.
Quindi AC è ________ al raggio BC, cioè AC è tangente a Cper il teorema sulle tangenti a una circonferenza.
Per simmetria, AD è tangente a C.

b.   AC________AD perché AC e  AD sono segmenti di tangenza per C passanti per il punto esterno A.
Quindi ADC è ________.
Inoltre, CA^DBA^C+________π6+π6π3.
Quindi anche AC^DCD^Aπ3 e cioè ADC è ________.



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Matematica

Tracciata una circonferenza C di centro O e raggio r, sia C una seconda circonferenza di centro O, con raggio r<12r. Traccia una corda AB di C che sia tangente a C e dagli estremi A e B manda le ulteriori tangenti a C, che incontrano C rispettivamente nei punti C e D. Dimostra che ABCD è un trapezio isoscele.


Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

r<12r;

AB, AC e BD tangenti a C.


Tesi

ABCD;

ADBC.


Dimostrazione

Tracciamo il raggio OK che interseca AB nel punto di tangenza T e i raggi OA e OB.

OKAB perché AB è ________ a C.

Consideriamo i triangoli rettangoli OTA e OTB.

Essi hanno:

  • OAOB perché raggi;
  • ATBT perché il raggio perpendicolare a una corda la taglia ________;

quindi i triangoli OTA e  OTB sono congruenti per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli. In particolare OA^T________ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Abbiamo che CA^B________ e DB^A2OB^T per il teorema sulle ________ da un punto esterno.

Quindi CA^BDB^A.

DB^A insiste sulla corda ________ e CA^B sulla corda BC quindi ________BC perché ad angoli congruenti corrispondono corde congruenti.

Inoltre, anche BD^C insiste su ________ quindi BD^CDB^A per la transitività della congruenza.

Le rette a cui appartengono i segmenti AB e CD tagliate dalla trasversale BD formano dunque angoli ________ congruenti e cioè sono ________.

In conclusione quindi ABCD è un trapezio isoscele.


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Sapendo che t è tangente alla semicirconferenza e che CB^A è 60, dimostra che:

a.   t è parallela alla bisettrice di AB^C;

b.   il triangolo PBC è isoscele.

a.   Tracciamo la bisettrice di CB^A e il raggio  OC.

L'angolo OC^P=90 perché il raggio è perpendicolare ________.

Consideriamo il triangolo OCB:

  • BO^C=________ perché angolo al centro di BA^C=________;
  • OC^B=________ perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Quindi PC^BPC^O________BO^C=________.

Nel triangolo BCP l'angolo CB^P=120 perché ________ di AB^C.

Quindi CP^B=________ perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Infine, t e la bisettrice di AB^C tagliate dalla trasversale AP formano angoli ________ congruenti e cioè t è parallela alla bisettrice di AB^C.


b.   Abbiamo dimostrato che PC^BCP^B perché misurano entrambi 30 quindi il triangolo PBC è ________ per il teorema dei triangoli isosceli.

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Nella figura DP e DB sono tangenti alla circonferenza, l'angolo CP^O=30 e il raggio CO¯=7. Quanto misura OD?

Il quadrilatero BOCD è un ________ perché ________DC in quanto segmenti di tangenza dal punto esterno D e OCOB perché raggi.
DC^ODB^O e sono entrambi retti perché il raggio è perpendicolare alla ________.
Quindi CD^OBD^O________.
BD^C=________ quindi OD^C=________.
Inoltre, DO^C=60.
Quindi il triangolo DOC è metà triangolo equilatero e cioè OD¯=________.
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Quale fra le seguenti affermazioni è vera?
A: OO¯=rr
B: OO¯<rr
C: OO¯=r+r
D: OO¯>r+r
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Da un punto P esterno a una circonferenza di centro O traccia le tangenti in A e B. Prolunga i segmenti OA e OB di due segmenti AC e BD congruenti al raggio. Dimostra che CPDP.

Disegniamo la figura e tracciamo il segmento OP.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

OAAC;

OBBD.


Tesi

CPDP.


Dimostrazione

Osserviamo che il raggio e il prolungamento sono ________ alla tangente. Consideriamo quindi i triangoli OAP e CAP. Essi hanno:

  • OAAC________;
  • AP è in comune;

quindi OAP e CAP sono congruenti per il ________ criterio dei triangoli rettangoli. In particolare, CP________ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Analogamente DP________.

Quindi CPDP per la transitività della congruenza.

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Due circonferenze di raggi congruenti sono tangenti esternamente nel punto T. Una circonferenza di centro T interseca le due circonferenze nei punti A, B, C, D. Dimostra che il quadrilatero ABCD è un rettangolo.


Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

O1TO2T.


Tesi

AC e BD si incontrano nel loro punto medio;

ACBD.


Dimostrazione

Sia t la tangente a entrambe le circonferenze.

Tracciamo anche i raggi O1A, O1B, O2C e O2D e i raggi AT, BT, CT e DT.

O1, T e O2 sono allineati perché O1T________t e O2T________t.

Consideriamo i triangoli O1AT e O2CT. Essi hanno:

  • O1AO1TO2CO2T per ipotesi e perché raggi;
  • ATBTCTDT________;

quindi O1AT e O2CT sono congruenti per il ________ criterio di congruenza tra triangoli. In particolare, AT^O1CT^O2 perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Quindi A, T e C________ allineati e, analogamente, anche B, T e D.

Inoltre, AC________ e BD________, quindi ACBD per la transitività della congruenza.

In conclusione, abbiamo che ABCD è un ________ perché AC e BD sono diagonali che si tagliano reciprocamente a metà; ma sono anche congruenti quindi ABCD è un ________.

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Sapendo che nell'ingranaggio in figura il raggio della ruota di centro A è il doppio del raggio della ruota di centro B, determina i raggi delle tre ruote, utilizzando i dati forniti.


Dalla figura sappiamo che
AC=rA________rC e ________=rB+rC.
Inoltre, rA=2rB, quindi
AC=2rB________rC.
Sostituiamo le informazioni fornite e otteniamo 10=2rB________rC e 7=rB+rC.
Quindi rB=________ cm, rA=________ cm e rC=________ cm.
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I cerchi del logo rappresentato in figura sono congruenti e la circonferenza di uno passa per il centro dell'altro.


a.   Dimostra che OAOB è un rombo.
b.   Come devono essere O e O affinché sia un quadrato? Motiva la tua risposta.
c.   In quale caso è un rombo composto dall'unione di due triangoli equilateri? Perché?

a.   OAOBOA________ per ipotesi quindi OAOB è un rombo.

b.   In ________ posizione O o O formano un quadrato.
Infatti, OAAOOO e cioè il triangolo OAO è un triangolo ________.
Analogamente il triangolo OBO è un triangolo ________.
Quindi gli angoli OA^O e OB^O misurano ________, non ________

c.   ________, perché i triangoli OAO e OBO sono triangoli ________.
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