FIP03bbtblu22 - La probabiità del prodotto logico di eventi

Vero o falso?

Nel gioco del blackjack, a ogni giocatore vengono assegnate $2$ carte estratte da un mazzo di $52$. La prima a ricevere le carte è Sarah; il secondo è Jeremy.
Stabilisci se le seguenti affermazioni sono vere o false.

Un sacchetto contiene $20$ palline, alcune verdi e altre rosse. Sai che, se estrai due palline reinserendo la prima, la probabilità che siano di colore diverso è ${\displaystyle \frac{91}{200}}$. Quante sono le palline verdi?

Indichiamo con $x$ il numero di palline verdi. Allora il numero di palline rosse è ________. Le prime due palline estratte sono di colore diverso quando la prima è verde e la seconda è rossa o viceversa. Quindi la probabilità che siano diverse è pari a:
________${\displaystyle =\frac{91}{200}}$.
Semplificando i denominatori ricaviamo che:
$x(20-x)=91$
$x^2-20x+91=0$
$x=10\pm \sqrt{100-91}$.
Il numero di palline versi può essere ________.

Un'urna contiene $20$ gettoni con i numeri da $1$ a $20$. Peschi tre gettoni senza reimmissione. Associa a ogni evento la sua probabilità.

1.   «Esce una terna fissata di numeri». ________

2.   «Escono tre numeri primi». ________

3.   «La somma dei numeri dei tre gettoni è $58$». ________

4.   «Escono prima due numeri dispari e poi uno pari». ________

Un'urna contiene $10$ palline: quattro sono contrassegnate col numero $1$, due col numero $2$, una col numero $3$ e tre col numero $4$. Estrai casualmente tre palline, senza reimmetterle. Qual è la probabilità che escano tre numeri diversi in ordine crescente?

Le tre palline estratte sono in ordine crescente in questi casi:
$(1;2;3),$________$,(1;3;4),(2;3;4)$.
Calcoliamo le probabilità di ciascuno dei casi:
${\displaystyle p(1;2;3)=\frac{4}{10}\cdot \frac{2}{9}\cdot \frac{1}{8}=\frac{8}{720};}$
${\displaystyle p(1;2;4)=\frac{4}{10}\cdot }$________${\displaystyle \cdot \frac{3}{8}=\frac{24}{720};}$
${\displaystyle p(1;3;4)=\frac{4}{10}\cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{3}{8}=}$________$;$
$p(2;3;4)=$________${\displaystyle \cdot \frac{1}{9}\cdot \frac{3}{8}=\frac{6}{720}.}$
La probabilità che escano tre numeri diversi in ordine crescente è la somma delle tre probabilità.
${\displaystyle \frac{8+24+12+6}{720}=}$________

Mario sta partecipando a un gioco di società. Per vincere, deve tirare $3$ dadi a $6$ facce e la somma dei numeri usciti deve essere un multiplo di $5$. Decide di lanciare i dadi uno alla volta. Con il primo lancio totalizza un $6$ e dopo un breve calcolo esclama: «Avrei preferito fosse un $3$!». Ha ragione Mario? Verifica il suo ragionamento calcolando la probabilità di vittoria nel caso sia uscito per primo un $6$ e nel caso sia uscito per primo un $3$.

Analizziamo prima il caso in cui il primo lancio sia $6$. In questo caso la somma dei tre lanci è un multiplo di $5$ quando la somma è $10$ oppure la somma è ________. Mario vince se lanciando il secondo e terzo dado ottiene come somma $4$ o $9$.
Si può ottenere $4$ in questi casi:
$(1;3),(2;2),(3;1)$.
Mentre si può ottenere $9$ in questi casi:
$(3;6),(4;5),(5;4),(6;3)$.
Quindi la probabilità di vittoria se il primo lancio è $6$ è:
________.
Calcoliamo ora la probabilità di vittoria se il primo lancio è $3$. In
questo caso la somma dei tre lanci può essere $5$, $10$ o $15$. Mario vince se sommando il secondo e terzo lancio ottiene un ________. Si possono ottenere $2$ o $12$ solo nei casi $(1;1)\text{ o }(6;6).$
Invece si può ottenere $7$ nei seguenti casi:
________$,(2;5),(3;4),(4;3),$________, $(6;1)$.
La probabilità di vittoria se il primo lancio è $3$ è:
________.
Quindi Mario ha ________.

Sergio si trova alla cassa del supermercato per pagare un giornale che costa $1,20$ €. Ha in tasca $2$ monete da $1$ €, $3$ monete da $0,50$ € e $6$ monete da $0,20$ €. Decide di estrarre casualmente le monete fino a quando il totale estratto non sia pari o superiore alla cifra da pagare. Qual è la probabilità che Sergio non debba ricevere resto?

Possiamo ottenere la somma di $1,20$ € con le monete di Sergio in questi modi:
(a) $(0,50+0,50+0,20)$ € e permutazioni
(b) $(1+0,20)$ €  e permutazione
(c) ________

Calcoliamo separatamente le probabilità dei casi (a)(b) e (c) e poi ________ i risultati trovati.

Caso (a):  calcoliamo la probabilità che Sergio estragga nell'ordine monete da $0,50$€ $0,50$€ e $0,20$€ e
moltiplichiamo per tutte le possibili permutazioni, che sono ________.
${\displaystyle 3\cdot \frac{3}{11}\cdot }$________${\displaystyle \cdot \frac{6}{9}=\frac{18}{165}}$

Caso (b):  calcoliamo la probabilità che Sergio estragga nell'ordine monete da $1$€ e $0,20$€ e moltiplichiamo per tutte le possibili permutazioni, che sono $2$.
$2\cdot$________${\displaystyle \cdot \frac{6}{10}=\frac{12}{55}}$

Caso (c):  calcoliamo la probabilità che Sergio estragga consecutivamente $6$ monete da $0,20$€.
${\displaystyle \frac{6}{11}\cdot \frac{5}{10}\cdot \frac{4}{9}\cdot \frac{3}{8}\cdot \frac{2}{7}\cdot \frac{1}{6}=}$________
La probabilità cercata è data dalla somma dei tre risultati:
${\displaystyle \frac{18}{165}+\frac{12}{55}+\frac{1}{462}=\frac{761}{2310}}$.

Un'urna contiene $10$ palline nere e $14$ gialle.
a.   Sapendo che Arina estrae una pallina gialla senza rimetterla nell'urna, qual è la probabilità che Bruno, che estrae successivamente, estragga una pallina gialla?
b.   Qual è la probabilità che sia Arina sia Bruno estraggano una pallina nera?

a.   Una pallina gialla è stata estratta. Rimangono $13$ palline gialle e $10$ nere. La probabilità che Bruno estragga una pallina gialla è:
________.

b.   Arina e Bruno estraggono consecutivamente due palline nere con probabilità pari a:
${\displaystyle \frac{10}{24}\cdot }$________$=$________.

Un'azienda produce auricolari wireless. Il $4\mathrm{\%}$ degli auricolari prodotti è difettoso. Un macchinario riesce a individuare gli auricolari difettosi nel $95\mathrm{\%}$ dei casi prima che vengano messi sul mercato. Inoltre, nel $3\mathrm{\%}$ dei casi, diagnostica come difettosi auricolari che in realtà non lo sono. Gli auricolari risultano difettosi al test vengono temporaneamente collocati in un magazzino. Scelto casualmente uno di questi auricolari, qual è la probabilità che sia difettoso?

Estratto casualmente un auricolare, indichiamo con $D$ l'evento «L'auricolare è difettoso» e con $T$ l'evento «Il macchinario rileva un difetto». Gli eventi contrari sono $\overline{D}$ e $\overline{T}$. Vogliamo calcolare la probabilità di $D|T$. Sappiamo che:
${\displaystyle p(D)=\frac{4}{100}}$
$p(T|D)=$________
$p(T|\overline{D})=$________
Possiamo calcolare la probabilità di $T$ utilizzando il teorema delle probabilità totali:
$p(T)=p(T|D)p(D)+p(T|\overline{D})p(\overline{D})=$
${\displaystyle \frac{95}{100}\cdot \frac{4}{100}+\frac{3}{100}\cdot }$________$={\displaystyle \frac{167}{2500}}$.
Sappiamo che $p(T\cap D)=p(T|D)p(D)=p(D|T)p(T)$. Allora dall'ultima uguaglianza possiamo ricavare:
${\displaystyle p(D|T)=\frac{p(T|D)p(D)}{p(T)}}$
${\displaystyle \frac{\frac{95}{100}\cdot \frac{4}{100}}{\frac{167}{2500}}=}$________.