FIP03bbtblu21 - Le equazioni e le disequazioni con valori assoluti

Risolvi la seguente disequazione al variare di $k$ in $\mathbb{R}$:

$|2-5x|-4+k^2\ge 0$.

Studiamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto:

${\displaystyle 2-5x\ge 0\to x\le \frac{2}{5}}$.

La disequazione data è equivalente ai sistemi:

$\{\begin{array}{l}x\le \frac{2}{5}\\ 2-5x-4+k^2\ge 0\end{array}\vee$

Risolviamo i sistemi:

Per il primo sistema abbiamo che se:

• ${\displaystyle \frac{k^2-2}{5}\ge \frac{2}{5}\to k\le -2\vee k\ge 2,}$
  la soluzione è ${\displaystyle x\le \frac{2}{5}}$;
  
• ${\displaystyle \frac{k^2-2}{5}<\frac{2}{5}\to -2<k<2,}$
  la soluzione è ________.
  

Per il secondo sistema abbiamo che se:

• ${\displaystyle \frac{6-k^2}{5}\le \frac{2}{5}\to }$________,
  la soluzione è ${\displaystyle x>\frac{2}{5}}$;
  
• ${\displaystyle \frac{6-k^2}{5}>\frac{2}{5}\to }$$-2<k<2$,
  la soluzione è ${\displaystyle x\ge \frac{6-k^2}{5}}$.

Possiamo concludere che:

• se $k\le -2\vee k\ge 2$: ________;
• se $-2<k<2$: $x\le \frac{k^2-2}{5}\vee x\ge \frac{6-k^2}{5}$.

Risolvi la seguente disequazione.

${\displaystyle 2-|\frac{1}{2}{x}^2+x|+x<5}$

Studiamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto:

${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+x\ge 0\to x\le -2\vee x\ge 0.}$

La disequazione data è equivalente ai sistemi:

Risolviamo i sistemi:

$\{\begin{array}{l}x\le -2\vee x\ge 0\\ x^2>-6\end{array}\vee \{\begin{array}{l}-2<x<0\\ -2-\sqrt{10}<x<-2+\sqrt{10}\end{array}.$

La disequazione è soddisfatta per ________.

Considera le funzioni ${\displaystyle f(x)=\frac{1}{2}{x}^2+3|x-1|}$ e ${\displaystyle g(x)=1-\left|\frac{x}{2}\right|}$.

Determina per quali valori di $x$:

a.    $f(x)\ge g(x)$.

b.    ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\ge 0}$.

a.    ${\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+3|x-1|\ge 1-\left|\frac{x}{2}\right|}$.

La disequazione equivale ai seguenti sistemi:

$\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ {\displaystyle \frac{1}{2}{x}^2+3x-3\ge 1-\frac{x}{2}}\end{array}.$

Svolgiamo i calcoli:

$\{\begin{array}{l}x<0\\ x^2-7x+4\ge 0\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{l}0\le x<1\\ x^2-5x+4\ge 0\end{array}\vee$

Risolviamo i sistemi ed otteniamo che $f(x)\ge g(x)$ è soddisfatta per ________.

b.    ${\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{x}^2+3|x-1|}{1-\left|\frac{x}{2}\right|}\ge 0.}$

Poniamo le condizioni di esistenza:

$x\ne$________.

La disequazione equivale ai seguenti sistemi:

$\{\begin{array}{l}x<0\\ {\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{x}^2-3x+3}{1+\frac{x}{2}}\ge 0}\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ {\displaystyle \frac{\frac{1}{2}{x}^2+3x-3}{1-\frac{x}{2}}\ge 0}\end{array}.$

Risolviamo i sistemi ed otteniamo che ${\displaystyle \frac{f(x)}{g(x)}\ge 0}$ per ________.

Risolvi la seguente equazione.

$|4-x^2|+4=2x$

L'equazione data è equivalente a:

Risolviamo i due sistemi:

La soluzione accettabile è $x=$________.

Risolvi la seguente equazione.

$2-|x^2-9|+6=1$

L'equazione data è equivalente ai seguenti sistemi:

Risolviamo i due sistemi:

Le soluzioni sono

$x=\pm$________, $x=\pm \sqrt{2}$.

Risolvi la seguente disequazione.

$|3x-x^2|-2\ge 0$

Studiamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto:

$3x-x^2\ge 0\to$________

La disequazione data è equivalente ai sistemi:

$\{\begin{array}{l}x<0\vee x>3\\ -3x+x^2-2\ge 0\end{array}\vee$

Risolviamo i sistemi

$\{\begin{array}{l}x<0\vee x>3\\ x\le \frac{1}{2}(3-\sqrt{17})\vee x\ge \frac{1}{2}(3+\sqrt{17})\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{l}0\le x\le 3\\ 1\le x\le 2\end{array}\to$

________

Risolvi la seguente equazione:

$|||x-1|-2|-3|=4$.

L'equazione data è equivalente ai seguenti due sistemi:

$\{\begin{array}{l}x\ge 1\\ ||x-3|-3|=4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}x<1\\ ||-x-1|-3|=4\end{array}.$

Ciascun sistema è equivalente a ulteriori due sistemi:

Svolgiamo i calcoli e otteniamo:

$\{\begin{array}{l}x\le -4\\ -x-4=4\end{array}\vee \{\begin{array}{l}-4<x\le -1\\ x+4=4\end{array}\vee$

Le soluzioni sono $x=$________ e $x=10$.

Risolvi la seguente disequazione.

${\displaystyle \frac{|2x|-4}{8-|x^2-4|}\ge 0}$

Studiamo il segno delle espressioni all'interno dei valori assoluti:

• $2x\ge 0\to x\ge 0$;
• $x^2-4\ge 0\vee x\le -2\vee x\ge 2$.

L'equazione è equivalente ai sistemi:

$\{\begin{array}{l}x\le -2\\ -2\sqrt{3}<x\le -2\vee x>2\sqrt{3}\end{array}\to$________;

2.$\{\begin{array}{l}-2<x<0\\ {\displaystyle \frac{-2x-4}{8+x^2-4}\ge 0}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}-2<x<0\\ x\le -2\end{array}\to$________

3.$\{\begin{array}{l}0<x<2\\ {\displaystyle \frac{2x-4}{8+x^2-4}\ge 0}\end{array}\to$

4.$\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ {\displaystyle \frac{2x-4}{8-x^2-4}\ge 0}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x\ge 2\\ x<-2\sqrt{3}\vee 2\le x\le 2\sqrt{3}\end{array}\to$________

Quindi la disequazione è soddisfatta per

$-2\sqrt{3}<x\le -2\vee 2\le x<2\sqrt{3}$.

Risolvi la seguente disequazione.

$-|2x-11|+2\le 3x$

Studiamo il segno dell'espressione all'interno del valore assoluto:

${\displaystyle 2x-11\ge 0\to x\ge \frac{11}{2}.}$

La disequazione data è equivalente ai sistemi:

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle x<\frac{11}{2}}\\ 2x-11+2\le 3x\end{array}$

Risolviamo i sistemi:

________.

Risolvi la seguente equazione.

$|x+4|=1+|2x+1|$

Studiamo il segno delle espressioni all'interno dei valori assoluti.

• $x+4\ge 0\to x\ge -4$;
• $2x+1\ge 0\to x\ge$________.

L'equazione è equivalente ai seguenti sistemi misti:

1.$\{\begin{array}{l}x<-4\\ -x-4=1-2x-1\end{array}\to$

$\{\begin{array}{l}x<-4\\ x=4\end{array}\to$________.

$\{\begin{array}{l}-4\le x<-\frac{1}{2}\\ x=-\frac{4}{3}\end{array}\to$$x=-\frac{4}{3}.$

$\{\begin{array}{l}x\ge -\frac{1}{2}\\ x=2\end{array}\to x=2.$

Quindi le soluzioni sono $x=-\frac{4}{3}$ e $x=2$.

La somma tra il valore assoluto di un numero intero diminuito di $10$ con il doppio del valore assoluto del numero stesso è $14$.

Determina il numero.

Traduciamo il testo del problema in un'equazione:

________.

L'equazione è equivalente ai sistemi:

$\{\begin{array}{l}x<0\\ -3x=4\end{array}\to$${\displaystyle x=-\frac{4}{3}}$;

$\{\begin{array}{l}x\ge 10\\ x=8\end{array}\to$________

Il numero intero è ________.

Sia $r$ la retta passante per i punti $A(0;1)$ e $B(2;3)$. Individua i punti $P$ su $r$, tali che, dette $M$ e $N$ le proiezioni di $P$ rispettivamente sull'asse $x$ e sull'asse $y$, si abbia $3\overline{PN}-\overline{PM}=2$.

La retta $r$ ha equazione $y=$________.

Traduciamo le richieste del problema in un'equazione:

$3|x|-|x+1|=2$

L'equazione ottenuta è equivalente ai sistemi:

$\{\begin{array}{l}x<-1\\ -2x=1\end{array}\to$________;

$\{\begin{array}{l}-1\le x<0\\ -4x=3\end{array}\to$${\displaystyle x=-\frac{3}{4}}$;

$\{\begin{array}{l}x\ge 0\\ 2x=3\end{array}\to$${\displaystyle x=\frac{3}{2}}$.

Abbiamo quindi i punti

${\displaystyle P_1(-\frac{3}{4};}$________$);$${\displaystyle P_2(\frac{3}{2};\frac{5}{2})}$.

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \frac{5-|2x+5|}{|x^2-10|+1}\le 0}\\ {\displaystyle \frac{3}{|x+4|}\ge \frac{x}{2}}\end{array}.$

Studiamo separatamente le due disequazioni.

La prima disequazione equivale a:

Abbiamo quindi:

$\{\begin{array}{l}x<-\sqrt{10}\\ \frac{2x+10}{x^2-9}\le 0\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{l}-\frac{5}{2}\le x<\sqrt{10}\\ {\displaystyle \frac{-2x}{-x^2+11}\le 0}\end{array}\vee$

La seconda disequazione equivale a:

Risolviamo i sistemi ed otteniamo:

________.