Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le disequazioni fratte e i sistemi di disequazioni

FIP03bbtblu20 - Le disequazioni fratte e i sistemi di disequazioni

12 esercizi

SVOLGI

INFO

Vero o falso?

La disequazione

\frac{(x - 3)^{4}}{- 5 x^{2} + x - 3} < 0

è verificata

\forall x \in R

La disequazione

\frac{x^{2} + 1}{5 x^{4} + 5 x^{2}} > 0

è equivalente a

- \frac{1}{5 x^{2}} < 0

La disequazione

\frac{x^{3}}{- x^{3} - x^{2} - 9 x} \geq 0

è equivalente a

\frac{x^{2}}{x^{2} + x + 9} \leq 0

x

è un numero reale tale che

- 1 < x < 2

, allora

\frac{2 x^{2}}{x^{2} - x - 2} \leq 0

Vero o falso

Determina il dominio di:
a.

y = \sqrt{\frac{8 - 4 x}{x^{3} + 4 x^{2}}}

.
b.

y = \sqrt{\frac{- 1}{x^{3}}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} .

a. Troviamo il dominio di:

y = \sqrt{\frac{8 - 4 x}{x^{3} + 4 x^{2}}}

.
Il radicando deve essere maggiore o uguale a zero:

\frac{8 - 4 x}{x^{3} + 4 x^{2}} \geq 0

.
Scomponiamo in fattori numeratore e denominatore:

\frac{4 (2 - x)}{x^{2} (x + 4)} \geq 0

.
Studiamo il segno di numeratori e denominatori. Osserviamo che
•

N_{1} = 4

è sempre positivo;
•

N_{2} \geq 0 \to 2 - x \geq 0 \to x

________

2

;
•

D_{1} = x^{2}

è sempre ________, quindi si può trascurare nello studio del segno. Terremo conto del valore

0

nello scrivere le soluzioni;

D_{2} > 0 \to x + 4 > 0 \to x > - 4

.
La frazione è positiva o nulla per:
________.

b. Troviamo il dominio di:

y = \sqrt{\frac{- 1}{x^{3}}} + \sqrt{\frac{x + 1}{x - 1}} .

.
Entrambi i radicandi devono essere maggiori o uguali a zero, quindi dobbiamo risolvere il sistema:
________.
Studiamo separatamente le due disequazioni.

Prima disequazione

\frac{- 1}{x^{3}} \geq 0 \to

________
Seconda disequazione

\frac{x + 1}{x - 1} \geq 0

N \geq 0 \to x + 1 \geq 0 \to x \geq - 1

D > 0 \to x - 1 > 0 \to x > 1

La frazione è positiva o nulla per:
________.
Lo schema grafico con gli insiemi delle soluzioni è quello in figura ________.

Il dominio della funzione è:
________.

Completamento chiuso

Quanti sono i numeri interi positivi

n

tali che

\frac{2}{3 - n} \leq \frac{2 n^{2} + 1}{3 n - n^{2}}

0

3

2

Infiniti.

Scelta multipla

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita

x

\frac{(4 + x^{2}) (9 - x^{2})^{2}}{x^{3} (x - 1)^{3}} \leq 0

Tutti i fattori della frazione sono potenze di polinomi di grado minore o uguale a due;
studiamo il segno di ogni singolo fattore. Osserviamo che:
•

N_{1} = 4 + x^{2}

è sempre positivo;
•

N_{2} = (9 - x^{2})^{2}

è sempre positivo e si annulla per

x =

________, quindi si può trascurare nello studio del segno. Terremo conto dei valori in cui si annulla nello scrivere le soluzioni.

D_{1} > 0 \to x^{3} > 0 \to

________;

D_{2} > 0 \to (x - 1)^{3} > 0 \to

________.
Il quadro dei segni che rappresenta le soluzioni della disequazione è quello in figura ________.

Le soluzioni della disequazione sono date da tutti gli

x

per cui la frazione è minore o uguale a zero, cioè:
________.

Completamento chiuso

Completa utilizzando le due funzioni rappresentate graficamente nella figura.

a.

{\begin{cases} f (x) > 0 \\ g (x) < 0 \end{cases}

è verificato per ________;

b.

f (x) g (x) < 0

è verificata per ________;

c.

\frac{f (x)}{g (x)} > 0

è verificata per ________;

d.

{\begin{cases} f (x) \leq 0 \\ g (x) > 0 \end{cases}

è verificato per ________.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

{\begin{cases} \frac{x^{2} (x + 1^{3})}{x^{2} + 1} < 0 \\ \frac{x}{x + 2} \leq \frac{2 x}{x^{2} + 3 x + 2} \end{cases}

Risolviamo separatamente le due disequazioni.

Prima disequazione

\frac{x^{2} (x + 1)^{3}}{x^{2} + 1} < 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore. Osserviamo che:
•

N_{1} = x^{2}

è sempre ________ e si
annulla per

x = 0

, quindi si può trascurare nello studio del segno. Terremo conto del valore

0

nello scrivere soluzioni;

N_{2} > 0 \to (x + 1)^{3} > 0 \to x

________

- 1

.
•

D = x^{2} + 1

è sempre ________.
Quindi la frazione è negativa per ________.

Seconda disequazione

\frac{x}{x + 2} \leq \frac{2 x}{x^{2} + 3 x + 2}

Scomponiamo i denominatori e portiamo le frazioni al primo membro.

\frac{x}{x + 2} -

________

\leq 0

________

\leq 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N > 0 \to x^{2} - x \leq 0 \to

________

D > 0 \to x^{2} + 3 x + 2 > 0 \to

________
Quindi la frazione è negativa o nulla per:

- 2 < x < - 1 \lor 0 \leq x \leq 1

.
Lo schema grafico con gli insiemi delle soluzioni delle due disequazioni è quello in figura ________.

Le soluzioni del sistema sono:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita

x

\frac{x^{2} + x - 1}{(3 x + 6) (4 - x^{2})} \leq \frac{1}{3 x^{2} + 12 x + 12}

Scriviamo la disequazione nella forma

\frac{N (x)}{D (x)} \geq 0

\frac{N (x)}{D (x)} \leq 0

\frac{x^{2} + x - 1}{3 (x + 2)^{2} (2 - x)}

________

\frac{1}{3 (x + 2)^{2}} \leq 0

\frac{x^{2} + 2 x - 3}{3 (x + 2)^{2} (2 - x)} \leq 0

.
Studiamo il segno di numeratore e denominatore. Osserviamo che:
•

D_{1} = 3

è sempre positivo;
•

D_{2} = (x + 2)^{2}

è sempre ________ e si annulla per

x = - 2

, quindi si può trascurare nello studio del segno. Terremo conto del valore

- 2

nello scrivere le soluzioni.

N \geq 0 \to x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 \to

________

D_{3} > 0 \to 2 - x > 0 \to x

________

2

Il quadro dei segni che rappresenta le soluzioni della disequazione è quello in figura ________.

Le soluzioni della disequazione sono date da tutti gli

x

per cui la frazione è minore o uguale a zero, cioè:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione fratta nell'incognita

x

\frac{\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{1}{2}}{\frac{x^{2} - 9}{x^{2} + 5}} < 0

Riduciamo il primo membro a unica frazione:

(\frac{x - 2}{x + 2} - \frac{1}{2}) \cdot \frac{x^{2} + 5}{x^{2} - 9} < 0 \to

________

\cdot

\frac{x^{2} + 5}{x^{2} - 9} < 0

.
Studiamo i segni di ogni fattore:

N_{1} > 0

x >

________;

D_{1} > 0

x > - 2

;

N_{2} > 0

x^{2} + 5 > 0 \to x^{2} > - 5 \to \forall x \in R

;

D_{2} > 0

x^{2} - 9 > 0 \to x < - 3 \lor x > 3

.
Per risolvere la disequazione ci serve il quadro dei segni in figura ________

Le soluzioni della disequazione di partenza sono quindi:

- 3 < x < - 2 \lor

________

< x <

________.

Completamento chiuso

Risolvi il seguente sistema di disequazioni.

{\begin{cases} (x - 2) (x + 3) < 3 x^{2} - 9 \\ \frac{3}{x} \leq x + 2 \end{cases}

Risolviamo separatamente le due disequazioni.
Prima disequazione

(x - 2) (x + 3) < 3 x^{2} - 9

x^{2} + x - 6 - 3 x^{2} + 9 < 0

2 x^{2} - x - 3

________

0

________

Seconda disequazione

\frac{3}{x} \leq x + 2

Portiamo la disequazione nella forma

\frac{N (x)}{D (x)} \geq 0

\frac{N (x)}{D (x)} \leq 0

\frac{3}{x} - x - 2 \leq 0

;
________

\geq 0

.
Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N \geq 0 \to x^{2} + 2 x - 3 \geq 0 \to

________

D > 0 \to x > 0

La frazione è positiva o nulla per:

- 3 \leq x < 0 \lor x \geq 1

.
Lo schema grafico con gli insiemi delle soluzioni è quello in figura ________.
Le soluzioni del sistema sono:
________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

La frazione

\frac{- k + 4}{2 k^{2} + 3 k - 2}

è:

propria per

k < - 3 \lor k > 1

positiva per

k < 4

negativa per

- 2 < k < \frac{1}{2} \lor k > 4

propria e positiva per

k < - 3 \lor \frac{1}{2} < k < 4

Vero o falso

Quali tra le seguenti sono le soluzioni del sistema

{\begin{cases} \frac{4 x}{1 - x} > \frac{2}{x - 1} - 2 x \\ \frac{(x^{3} + 1)^{3}}{x^{3} + x^{2}} \leq 0 \end{cases}

Impossibile.

Scelta multipla

Trova il dominio di

f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} - 6 x}

e calcola per quali valori di

x

si ha

0 \leq f (x) < 1

.

Il dominio di

f (x)

è dato da tutti i valori di

x

tali che il denominatore sia ________ zero:

x^{2} - 6 x \neq 0

;

x \neq 0 \land x \neq

________.
Trovare i valori di

x

per cui si ha

0 \leq f (x) < 1

significa risolvere il sistema:
________.

Prima disequazione

\frac{x^{2}}{x^{2} - 6 x} \geq 0

Studiamo il segno del numeratore e del denominatore.

N \geq 0 \to x^{2} \geq 0 \to

________, si annulla per

x = 0

;

D > 0 \to x^{2} - 6 x > 0 \to x (x - 6) > 0 \to

________.
Il quadro dei segni è rappresentato in figura a.

La prima disequazione ha soluzione:
________.

Seconda disequazione

\frac{x^{2}}{x^{2} - 6 x} < 1

________

< 0

Studiamo i segni del numeratore e del denominatore.

N > 0 \to 6 x > 0 \to x > 0

;

D > 0 \to x^{2} - 6 x > 0 \to x (x - 6) > 0 \to

________.
Il quadro dei segni è rappresentato in figura b.

La seconda disequazione è quindi verificata per:
________.
Per trovare le soluzioni del sistema, rappresentiamo graficamente le soluzioni delle due disequazioni (figura c.) e cerchiamo i valori di

x

per cui sono
verificate entrambe.

Quindi

0 \leq f (x) < 1

è soddisfatta per:
________.

Completamento chiuso