FIP03bbtblu19 - I sistemi di grado superiore al secondo

Risolvi il seguente sistema simmetrico:

$\{\begin{array}{c}{x}^4+y^4=97\\ x^2+y^2=13\end{array}$

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{c}{x}^4+y^4=97\\ x^2+y^2=13\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}{x}^2{y}^2=36\\ x^2+y^2=13\end{array}$

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici:

$\{\begin{array}{c}xy=-6\\ x^2+y^2=13\end{array}.$

Risolviamo i due sistemi:

$\{\begin{array}{c}xy=6\\ (x+y{)}^2=25\end{array}$$\vee$$\{\begin{array}{c}xy=-6\\ (x+y{)}^2=1\end{array}.$

I due sistemi sono equivalenti ai quattro sistemi simmetrici:

$\{\begin{array}{c}xy=-6\\ x+y=1\end{array}\vee$

$\{\begin{array}{c}xy=-6\\ x+y=-1\end{array}.$

Le soluzioni del sistema sono le coppie simmetriche

$(-3;\pm 2)$, $(-2;\pm 3)$, $(2;\pm 3)$, $(3;\pm 2)$.

Determina le coordinate dei punti di intersezione fra la circonferenza di centro $C(0;0)$ e raggio $\sqrt{13}$, e la parabola di equazione $y=x^2-1$.

Scriviamo le equazioni della circonferenza e della parabola e le mettiamo a sistema.

Risolviamo:

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=13\\ y=x^2-1\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}y=3\wedge y=-4\\ x^2=y+1\end{array}.$

Le soluzioni del sistema sono le coppie ________ e $(2;3)$.

Determina per quale valore di $a$ la circonferenza $x^2+y^2=a$ è tangente all'iperbole di equazione $xy=5$.

Mettiamo a sistema le due equazioni e lo risolviamo:

$\{\begin{array}{c}{x}^2+y^2=a\\ xy=5\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}(x+y{)}^2-2xy=a\\ xy=5\end{array}\to$

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici:

$\{\begin{array}{c}x+y=-\sqrt{a+10}\\ xy=5\end{array}.$

Affinché la circonferenza sia tangente all'iperbole, le equazioni $t^2\mp \sqrt{a+10}t+5=0$ devono avere $\mathrm{\Delta }=0$ ovvero $a=$________.

Determina le soluzioni del seguente sistema omogeneo di quarto grado.

$\{\begin{array}{c}10x^2-3xy-y^2=0\\ 6x^2+xy-2y^2=0\end{array}$

Il sistema ammette come soluzione la coppia $(0;0)$. Per trovare le eventuali altre soluzioni poniamo $y=tx$.

$\{\begin{array}{c}{t}^2+3t-10=0\\ 2t^2-t-6=0\end{array}$

Cerchiamo eventuali soluzioni comuni:

$t^2+3t-10=0\to$$t_1=-5,t_2=$________;

$2t^2-t-6=0\to t_3=2,t_4={\displaystyle -\frac{3}{2}}$.

L'unica soluzione in comune è $t=2$. Sostituendola in $y=tx$, otteniamo $y=2x$.

Il sistema è quindi indeterminato e ammette infinite soluzioni del tipo ________, $\mathrm{\forall }\alpha \in \mathbb{R}$.

Dimostra che il seguente sistema ha sempre due soluzioni $\mathrm{\forall }n\in \mathbb{N}-\{0\}$, e scrivi le soluzioni al variare di $n$.

$\{\begin{array}{c}y-1=x^n(x^n+2)\\ y=5-x^n\end{array}$

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{c}y-1=x^n(x^n+2)\\ y=5-x^n\end{array}\to$

Poniamo $t=x^n$:

$\{\begin{array}{c}{t}_1=-4,t_2=1\\ y=5-t\end{array}.$

Se $n$ pari, $n\ne 0$, le soluzioni sono
$($________$;4)$;
se $n$ dispari le soluzioni sono
$(1;4)$, $(-\sqrt[n]{4};$________$)$.

Calcola il perimetro e l'area del quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione fra la circonferenza $x^2+y^2=13$ e l'iperbole $xy=6$.

Mettiamo a sistema le equazioni della circonferenza e dell'iperbole e risolviamo il sistema.

$\{\begin{array}{c}xy=6\\ (x+y{)}^2=13\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}xy=6\\ (x+y{)}^2-2xy=13\end{array}\to$

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici.

Le soluzioni del sistema sono le coppie simmetriche $(-3;-2),(-2;-3),(2;3),(3;2)$.

Il quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione fra la circonferenza e l'iperbole è un ________ di base ________ e altezza $\sqrt{2}$.

Il suo perimetro è:

$2p=$________ e l'area è $A=10$.