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Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - I sistemi di grado superiore al secondo
INFO

Matematica

Indica quali fra le seguenti sono le soluzioni del sistema di terzo grado
{x3+y3=783x+y=23.
A: (33;3),(3;33)
B: (43;23),(23;43)
C: (3;3)
D: (78;3),(3;78)
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Risolvi il seguente sistema simmetrico:

{x4+y4=97x2+y2=13


Risolviamo il sistema:

{x4+y4=97x2+y2=13 

{...(x2+y2)2________=97  
x2+y2=13

{x2y2=36x2+y2=13

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici:

{...________=6  
x2+y2=13

{xy=6x2+y2=13.

Risolviamo i due sistemi:

{xy=6(x+y)2=25{xy=6(x+y)2=1.

I due sistemi sono equivalenti ai quattro sistemi simmetrici:

{...xy=6  
x+y=________
{...xy=6  
x+y=________

{xy=6x+y=1  

{xy=6x+y=1.

Le soluzioni del sistema sono le coppie simmetriche

(3;±2), (2;±3), (2;±3), (3;±2).




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Determina le coordinate dei punti di intersezione fra la circonferenza di centro C(0;0) e raggio 13, e la parabola di equazione y=x21.

Scriviamo le equazioni della circonferenza e della parabola e le mettiamo a sistema.

Risolviamo:

{x2+y2=13y=x21 

{...x2+y2=13  
x2=________
{...y2+y12=0  
x2=________

{y=3  y=4x2=y+1.

Le soluzioni del sistema sono le coppie ________ e (2;3).




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Determina per quale valore di a la circonferenza x2+y2=a è tangente all'iperbole di equazione xy=5.

Mettiamo a sistema le due equazioni e lo risolviamo:

{x2+y2=axy=5

{(x+y)22xy=axy=5

{...(x+y)2=________.
xy=5

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici:

{...x+y=________  
xy=5

{x+y=a+10xy=5.

Affinché la circonferenza sia tangente all'iperbole, le equazioni t2a+10t+5=0 devono avere Δ=0 ovvero a=________.




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Determina le soluzioni del seguente sistema omogeneo di quarto grado.

{10x23xyy2=06x2+xy2y2=0


Il sistema ammette come soluzione la coppia (0;0). Per trovare le eventuali altre soluzioni poniamo y=tx.

{...10x23tx2________=0  
6x2+________2t2x2=0

{t2+3t10=02t2t6=0

Cerchiamo eventuali soluzioni comuni:

t2+3t10=0  t1=5,t2=________;

2t2t6=0t3=2,t4=32.

L'unica soluzione in comune è t=2. Sostituendola in y=tx, otteniamo y=2x.

Il sistema è quindi indeterminato e ammette infinite soluzioni del tipo ________, αR.

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Dimostra che il seguente sistema ha sempre due soluzioni nN{0}, e scrivi le soluzioni al variare di n.

{y1=xn(xn+2)y=5xn


Risolviamo il sistema:

{y1=xn(xn+2)y=5xn 

{...x2n+________4=0.
y=5xn

Poniamo t=xn:

{...t2+________4=0  
y=5t

{t1=4,t2=1y=5t.

Se n pari, n0, le soluzioni sono
(________;4);
se n dispari le soluzioni sono
(1;4), (4n;________).




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Calcola il perimetro e l'area del quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione fra la circonferenza x2+y2=13 e l'iperbole xy=6.

Mettiamo a sistema le equazioni della circonferenza e dell'iperbole e risolviamo il sistema.

{xy=6(x+y)2=13 

{xy=6(x+y)22xy=13 

{...xy=6
(x+y)2=________

Il sistema è equivalente ai due sistemi simmetrici.

{...xy=6  
x+y=________
{...xy=6.
x+y=________

Le soluzioni del sistema sono le coppie simmetriche (3;2),(2;3),(2;3),(3;2).

Il quadrilatero che ha come vertici i punti di intersezione fra la circonferenza e l'iperbole è un ________ di base ________ e altezza 2.

Il suo perimetro è:

2p=________ e l'area è A=10.



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Indica quale dei seguenti sistemi è rappresentato dal grafico in figura e poi risolvilo.
A: {y=x2+2x2+y2=2
B: {y=x2+2x2+y2=2
C: {y=x2+2x2+y2=2
D: {y=x2+2x2=y2+2
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