FIP03bbtblu18 - Le relazioni fra le radici e i coefficienti e la scomposizione di un trinomio #354875

Quante sono le equazioni di secondo grado del tipo

x^{2} + b x + c = 0

per le quali il prodotto delle radici è

20

e il quadrato della somma delle radici è

100

?

A:

Una.

B:

Due.

C:

Quattro.

D:

Infinite.

Scelta multipla

Le misure dei lati di un rettangolo sono le soluzioni dell'equazione

7 x^{2} - (k^{2} + 3) x - (k - 5) = 0

.
Per quali valori di

k

il perimetro del rettangolo vale

12

?

A:

k = - 9 \lor k = 9

B:

k = - \sqrt{39}

C:

k = \sqrt{39}

D:

k = - \sqrt{39} \lor k = \sqrt{39}

Scelta multipla

Vero o falso?

L'equazione

(a^{2} + 1) x^{2} + (\sqrt{2} + a^{2}) x - 2 = 0

:

A:

ha una soluzione negativa per ogni valore di

a

.

B:

ha sempre due radici concordi.

C:

ammette fra le sue soluzioni

x = 0

.

D:

ha due radici discordi e quella negativa ha valore assoluto minore di quella positiva.

Vero o falso

Semplifica la seguente frazione algebrica esplicitando le condizioni di esistenza:

\frac{15 x - 25 x^{2} - 10 x^{3}}{12 - 20 x - 8 x^{2}}

.

Scomponiamo in fattori il denominatore:

12 - 20 x - 8 x^{2} =

- 4 (2 x^{2} + 5 x

________

3) =

- 4 (2 x^{2}

________

6 x - x

________

3) =

- 4 [

________

(x + 3)

________

(x + 3)] =

- 4 (x + 3) (

________

- 1)

.

Le C.E. sono quindi

x \in R

tale che

x \neq - 3 \land x \neq

________.

Fattorizziamo anche il numeratore:

15 x - 25 x^{2} - 10 x^{3} =

________

x (2 x^{2} + 5 x -

________

) =

________

x (x + 3) (2 x - 1)

.

Semplifichiamo quindi la frazione algebrica:

\frac{- 5 x (x + 3) (2 x - 1)}{- 4 (x + 3) (2 x - 1)} =

________.

Completamento chiuso

Considera l'equazione

5 x^{2} - 3 n x - m = 0

, dove

m

e

n

sono due numeri interi tali che le soluzioni

x_{1}

e

x_{2}

sono a loro volta numeri interi.

A:

Se

x_{1} + x_{2}

è multiplo di

3

,

m

è multiplo di

3

.

B:

Se

m

e

n

sono pari, allora anche

x_{1}

e

x_{2}

sono pari.

C:

m

e

n

sono sempre multipli di

5

.

D:

Se

x_{1}

e

x_{2}

sono pari,

m

è un multiplo di

20

.

Vero o falso

Completa le seguenti equazioni in modo che le radici

x_{1}

e

x_{2}

soddisfino le condizioni indicate nella riga sottostante.

a.

x^{2} - 7 x +

________

= 0

x_{1} = x_{2}

;

b.

3 x^{2} + 12 =

________

x

x_{1} + x_{2} = 6

;

c. ________

x^{2} + 51 x - 12 = 0

x_{1} x_{2} = - 2 \sqrt{3}

;

d.

13 x^{2} + 12 x =

________

x_{1} x_{2} = \frac{4}{5} (x_{1} + x_{2})

;

e.

2 x^{2} + 6 \sqrt{2} x +

________

= 0

x_{1} = - 3

.

Completamento chiuso

Per quali valori di

a

l'equazione

a x^{2} + 3 x - 3 = 0

ha due soluzioni reali e distinte e concordi?

A:

a < 0

B:

a > - \frac{3}{4}

C:

- \frac{3}{4} < a < 0

D:

a < - \frac{3}{4} \lor a > 0

Scelta multipla

Risolvi l'equazione fratta

\frac{x + 1}{3 x - 5} - \frac{- 6 + 3 x}{3 x^{2} - 11 x + 10} = 4.

Scomponiamo in fattori i denominatori:

3 x - 5

è già di ________ grado;

3 x^{2} - 11 x + 10 =

3 x^{2}

________

6 x

________

5 x + 10 =

3 x (x

________

2)

________

5 (x

________

2) =

(x

________

2) (3 x

________

5)

.
Le C.E. sono quindi

x \in R

tale che

x \neq

________

\land x \neq

________.
Mettiamo tutto a comun denominatore:

\frac{(x + 1) (x - 2)}{(x - 2) (3 x - 5)} - \frac{- 6 + 3 x}{(x - 2) (3 x - 5)} =

\frac{4 (x - 2) (3 x - 5)}{(x - 2) (3 x - 5)}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} - x - 2

________

6 - 3 x =

12 x^{2} -

________

x +

________

11 x^{2} - 40 x + 36 = 0

\frac{Δ}{4} = 400 - 396 = 4, x_{1, 2} = \frac{20 \pm 2}{11}

x_{1} = 2, x_{2} = \frac{18}{11} .

x =

________ non è accettabile quindi l'unica soluzione è

x =

________.

Completamento chiuso

Le misure delle diagonali di un rombo sono le soluzioni dell'equazione

3 x^{2} + (7 k - 2) x - (5 - 2 k - k^{2}) = 0

.
Per quali valori di

k

l'area del rombo è

2

?

L'area del rombo è

A = \frac{d_{1} \cdot d_{2}}{2}

.
Quindi cerchiamo i valori di

k

per cui

d_{1} \cdot d_{2} =

________.
Imponiamo

- \frac{5 - 2 k - k^{2}}{3} =

________ e risolviamo:

k^{2}

________

2 k -

________

= 0

\frac{Δ}{4} = 1 + 17 = 18

,

k_{1, 2} = - 1 \pm \sqrt{18} = - 1 \pm

________.

Sostituiamo

k = - 1 +

________ nell'equazione e otteniamo

3 x^{2} + (21 \sqrt{2} - 9) x + 12 = 0 :

x_{1} + x_{2} =

________

< 0

e

x_{1} x_{2} = \frac{12}{3} = 4 > 0

quindi

x_{1}

e

x_{2}

sono entrambi ________.

Sostituiamo

k = - 1 - 3 \sqrt{2}

nell'equazione e otteniamo

3 x^{2} + (21 \sqrt{2} + 9) x + 12 = 0 :

x_{1} + x_{2} =

________

> 0

e

x_{1} x_{2} = \frac{12}{3} = 4 > 0

quindi

x_{1}

e

x_{2}

sono entrambi ________.

Concludiamo quindi che l'unico valore accettabile di

k

è

- 1

________

3 \sqrt{2}

.

Completamento chiuso