FIP03bbtblu17 - Le rette parallele e perpendicolari. I fasci di rette. #373660

Per quale valore di

k

le rette di equazioni

(2 - k) x + (k - 5) y - 3 = 0

e

3 x - (k + 1) y - 1 = 0

si intersecano in un punto sull'asse

y

?

A:

k = - 2

B:

k = \frac{1}{2}

C:

k = 2

D:

k = - \frac{1}{2}

Scelta multipla

Associa a ogni sistema la posizione reciproca delle rette corrispondenti.

1. {\begin{cases} y = x - 1 \\ 2 x + y - 2 = 0 \end{cases}

________

2. {\begin{cases} x - y = 0 \\ y = x + 6 \end{cases}

________

3. {\begin{cases} 3 x - y - 6 = 0 \\ x = \frac{1}{3} y + 2 \end{cases}

________

4. {\begin{cases} 5 x - 4 y + 1 = 0 \\ x + 2 y + 3 = 0 \end{cases}

________

Posizionamento

Vero o falso?
Indica se le seguenti affermazioni, relative alla retta

r

di equazione

x - 3 y + 6 = 0

, sono vere o false.

A:

È parallela alla retta passante per

O (0; 0)

e

P (- 3; - 1)

.

B:

Interseca l'asse

y

nel punto di coordinate

(0; 2)

.

C:

È perpendicolare alla retta di equazione

y = - 3 x - 3

.

D:

È perpendicolare alla retta passante per

O (0; 0)

e

P (3; 9)

.

Vero o falso

Quale fra le seguenti è l'equazione della retta parallela a

2 x + 3 y - 1 = 0

e passante per il punto di intersezione tra le rette

y - 3 x = 5

e

2 x - y + 5 = 0

?

A:

y = \frac{2}{3} x - 5

B:

y = - \frac{2}{3} x

C:

y = - 2 x + 5

D:

y = - \frac{2}{3} x + 5

Scelta multipla

Associa a ogni retta della prima colonna l'equazione di una retta a essa perpendicolare nella seconda colonna.

1.

r

:

\frac{y + 2}{5} = 3 x + 1

________

2.

s

:

\frac{1}{3} x + 2 y = 0

________

3.

t

:

y - x = 0

________

4.

u

:

y = \frac{5}{4} x + 3

________

Posizionamento

Determina per quale valore di

h

le rette di equazioni

2 x + y - 4 = 0

e

(h - 5) x + h y - 3 = 0

sono parallele.

Chiamiamo rispettivamente

r

e

s

le rette di equazione

2 x + y - 4 = 0

e

(h - 5) x + h y - 3 = 0

.

Scriviamo l'equazione della retta

r

in forma esplicita per evidenziare il coefficiente angolare.

2 x + y - 4 = 0

y = - 2 x + 4 \to m_{r} = - 2

Scriviamo l'equazione parametrica della retta

s

in forma esplicita per evidenziare il coefficiente angolare.

(h - 5) x + h y - 3 = 0

h y = - (h - 5) x + 3

y =

________

\to

m_{s} = - \frac{(h - 5)}{h}

Nell'equazione in forma implicita

m_{s}

non esiste per

h = 0

, ma se sostituiamo

0

al posto di

h

nell'equazione iniziale di

s

otteniamo

- 5 x - 3 = 0 \to x = - \frac{3}{5}

,
che rappresenta una retta parallela all'asse ________.

Quindi, in questo caso,

s

non è parallela a

r

.
Per

h \neq 0

,

r

e

s

sono parallele se

m_{r} = m_{s}

:

- 2

=

________

\to

h =

________.

Completamento chiuso

Le rette rappresentate nel grafico sono perpendicolari.

Quale fra le seguenti è l'equazione della retta

s

?

A:

y = - x

B:

y = \frac{3}{2} x

C:

y = - \frac{3}{2} x

D:

y = - \frac{2}{3} x

Scelta multipla

Determina per quale valore di

a

la retta di equazione

(3 a + 1) x + (a - 4) y + 3 + \frac{1}{2} a = 0

a. è parallela all'asse

x

;
b. passa per il punto

P (- 2; - 1)

;
c. è perpendicolare alla retta di equazione

x = \frac{- y + 1}{2}

;
d. interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

4

.

Chiamiamo

r

la retta data e scriviamo la sua equazione parametrica in forma esplicita per evidenziare il coefficiente angolare.

(3 a + 1) x + (a - 4) y + 3 + \frac{1}{2} a = 0

y = - \frac{(3 a + 1) x}{(a - 4)} - \frac{3}{a - 4} - \frac{a}{2 (a - 4)}

,

con a \neq 4

\to

m_{r} =

________

a. La retta

r

è parallela all'asse

x

se il coefficiente di ________ vale

0

, cioè se

a = - \frac{1}{3}

.

b. La retta

r

passa per il punto

P

se, sostituendo le sue coordinate nell'equazione, quest'ultima è verificata.

(3 a + 1) (- 2) + (a - 4) (- 1) + 3 + \frac{1}{2} a = 0 \to

- 6 a - 2 - a + 4 + 3 + \frac{1}{2} a = 0 \to

________

a = - 5 \to

a = \frac{10}{13}

c. Scriviamo l'equazione della retta

x = \frac{- y + 1}{2}

in forma esplicita per evidenziare il coefficiente angolare.

x = - \frac{y + 1}{2} \to 2 x = - y + 1 \to

y = - 2 x + 1 \to m = - 2

La retta

r

è perpendicolare a

s

se il suo coefficiente angolare vale

\frac{1}{2}

:

\frac{- 3 a - 1}{a - 4} =

________

- 6 a - 2 = a - 4 \to - 7 a = - 2

a = \frac{2}{7}

.

d. La retta

r

interseca l'asse

x

nel punto di ascissa

4

se passa per il punto

P

________. Utilizziamo il procedimento del punto b:

(3 a + 1) \cdot 4 + 3 + \frac{1}{2} a = 0

12 a + 4 + 3 + \frac{1}{2} a = 0

\frac{25}{2} a = - 7

\to

a =

________.

Completamento chiuso

Considera i punti

A (5; 2)

,

B (0; - 4)

e

C (3; 1 - k)

. Per quale valore di

k

i segmenti

A B

e

B C

sono perpendicolari tra loro?

Calcoliamo i coefficienti angolari delle rette passanti per i segmenti

A B

e

B C

.

m_{A B} =

\frac{2 + 4}{5 - 0} =

________

m_{B C} =

________

=

\frac{- 5 + k}{- 3}

Imponiamo la condizione di perpendicolarità.
________

\cdot

\frac{- 5 + k}{- 3} = 1 \to

________

= - 1

\to

k = \frac{15}{2}

.

Completamento chiuso

Scrivi l'equazione del fascio proprio di rette di centro

(- \frac{1}{2}; 2)

e individua la retta del fascio:
a. parallela alla retta passante per

A (- 1; 2)

e

B (3; 4)

;
b. che interseca l'asse

y

nel punto di ordinata

4

;
c. passante per il punto di intersezione delle rette di equazione

y - 3 x = 0

e

2 x - 4 y + 10 = 0

.

Determiniamo l'equazione del fascio proprio di rette di centro

(- \frac{1}{2}; 2)

:
________

a. Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per

A

e

B

.

m_{A B} = \frac{2 - 4}{- 1 - 3} = \frac{1}{2}

Imponiamo la condizione di parallelismo:

m =

________.
L'equazione della retta cercata è:

y - 2 = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2})

y = \frac{1}{2} x + \frac{9}{4}

.

b. La retta del fascio che interseca l'asse

y

nel punto di ordinata

4

passa per il punto

P (0; 4)

.
Sostituiamo le coordinate di

P

nell'equazione del fascio di rette.
________

\to

m = 4

L'equazione della retta cercata è:

y - 2 = 4 (x + \frac{1}{2})

y = 4 x +

________.

c. Determiniamo il punto di intersezione delle due rette:

{\begin{cases} y - 3 x = 0 \\ 2 x - 4 y + 10 = 0 \end{cases} \to

________.
Sostituiamo le coordinate di

P (1; 3)

nell'equazione del fascio di rette:

+ 3 - 2 = m (+ 1 + \frac{1}{2})

m =

________.
L'equazione della retta cercata è:

y - 2 = \frac{2}{3} (x + \frac{1}{2})

y = \frac{2}{3} x +

________.

Completamento chiuso

Considera i punti

A (2 k + 2; 1 - k)

e

B (2 k; 2 k + 1)

. Per quale valore di

k

la retta passante per

A

e

B

è perpendicolare alla retta

r

di equazione

4 x + k y + 6 = 0 ?

Calcoliamo il coefficiente angolare della retta passante per i punti

A

e

B

.

m_{A B} = \frac{1 - k - 2 k - 1}{2 k + 2 - 2 k} =

________

Scriviamo l'equazione della retta

r

in forma esplicita:

4 x + k y + 6 = 0 \to k y = - 4 x - 6 \to

y = - \frac{4}{k} x - \frac{6}{k}

, con

k \neq 0

.

Imponiamo la condizione di perpendicolarità:

- \frac{4}{⧸ k} \cdot \frac{- 3 ⧸ k}{2} = - 1 \to

- 6 = - 1 \to

________.
Consideriamo il caso

k = 0

. I punti

A

e

B

hanno coordinate

(2; 1)

e

(0; 1)

. Quindi la retta che passa per

A B

ha l'equazione ________. La retta

r

, per

k = 0

ha l'equazione

4 x + 6 = 0 \to x = - \frac{3}{2}

.
Quindi, solo per

k = 0

, le due rette sono perpendicolari.

Completamento chiuso

Nel fascio di rette parallele alla retta di equazione

2 x - y + 1 = 0

, determina l'equazione della retta che:
a. passa per

P (8; - 1)

;
b. interseca l'asse

y

nel punto di ordinata

3

;
c. passa per il punto medio del segmento di estremi

A (- 3; 2)

e

B (1; - 4)

.

Il fascio di rette parallele alla retta di equazione

2 x - y + 1 = 0

ha come coefficiente angolare

n =

________.

a. L'equazione della retta del fascio che passa per

P (8; - 1)

è

y

________

= 2 (x - 8) \to

y = 2 x

________.

b. L'equazione della retta che interseca l'asse

y

nel punto di ordinata

3

, cioè passa per il punto

(0; 3)

, è

y - 3 = 2 (x -

________

)

\to

y = 2 x

________.

c. Il punto medio di

A B

ha le coordinate

M (

________;

\frac{2 - 4}{2}

)

\to

M (- 1; - 1)

.
L'equazione della retta del fascio che passa per

M

è

y + 1 = 2 (x

________

)

\to

y = 2 x

________.

Completamento chiuso