FIP02bbtverdeG4 - Le circ e le rette, le posizioni reciproche fra due circonferenze

Sapendo che $t$ è tangente alla semicirconferenza e che $C\hat{B}A$ è ${60}^{\circ }$, dimostra che:

a.   $t$ è parallela alla bisettrice di $A\hat{B}C$;

b.   il triangolo $PBC$ è isoscele.

a.   Tracciamo la bisettrice di $C\hat{B}A$ e il raggio  $OC$.

L'angolo $O\hat{C}P={90}^{\circ }$ perché il raggio è perpendicolare ________.

Consideriamo il triangolo $OCB$:

• $B\hat{O}C=$________ perché angolo al centro di $B\hat{A}C=$________;
• $O\hat{C}B=$________ perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Quindi $P\hat{C}B\cong P\hat{C}O$________$B\hat{O}C=$________.

Nel triangolo $BCP$ l'angolo $C\hat{B}P={120}^{\circ }$ perché ________ di $A\hat{B}C$.

Quindi $C\hat{P}B=$________ perché la somma degli angoli interni di un triangolo è un angolo piatto.

Infine, $t$ e la bisettrice di $A\hat{B}C$ tagliate dalla trasversale $AP$ formano angoli ________ congruenti e cioè $t$ è parallela alla bisettrice di $A\hat{B}C$.

b.   Abbiamo dimostrato che $P\hat{C}B\cong C\hat{P}B$ perché misurano entrambi ${30}^{\circ }$ quindi il triangolo $PBC$ è ________ per il teorema dei triangoli isosceli.

Da un punto $P$ esterno a una circonferenza di centro $O$ traccia le tangenti in $A$ e $B$. Prolunga i segmenti $OA$ e $OB$ di due segmenti $AC$ e $BD$ congruenti al raggio. Dimostra che $CP\cong DP$.

Disegniamo la figura e tracciamo il segmento $OP$.

Scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

$OA\cong AC;$

$OB\cong BD.$

Tesi

$CP\cong DP$.

Dimostrazione

Osserviamo che il raggio e il prolungamento sono ________ alla tangente. Consideriamo quindi i triangoli $OAP$ e $CAP$. Essi hanno:

• $OA\cong AC$________;
• $AP$ è in comune;

quindi $OAP$ e $CAP$ sono congruenti per il ________ criterio dei triangoli rettangoli. In particolare, $CP\cong$________ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Analogamente $DP\cong$________.

Quindi $CP\cong DP$ per la transitività della congruenza.