Tipo di esercizi
Completamento chiuso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - Le simmetrie centrali, le simmetrie assiali, le omotetie
INFO

Matematica

Determina le immagini del punto A(3;4) nelle trasformazioni sOsP e sPsO, dato il punto P(1;2).


Le equazioni della simmetria sO sono:

{...x=x.
y=________

Le equazioni della simmetria sP sono:

{...x=2x.
y=________

La composizione sOsP ha equazioni

{...x=________.
y=________

Quindi il punto A nella trasformazione sOsP è

A=(sOsP)(A)=(________,________).

La composizione sPsO ha equazione

{...x=________.
y=4+y

Quindi il punto A nella trasformazione sPsO è

A=(sPsO)(A)=(________,________).




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Matematica

Dopo aver disegnato un triangolo ABC di base AB, indica con E il punto medio del lato AC e con F quello di BC. Utilizzando le proprietà della simmetria di centro F, dimostra che il segmento EF è parallelo ad AB e che EF è la metà di AB.

Disegniamo la figura.


Indichiamo con sF la simmetria di centro F.
La figura simmetrica al triangolo ABC, rispetto alla trasformazione sF, è il triangolo di vertici CAB.
Per le proprietà della simmetria centrale i segmenti AC e AB sono ________ tra loro, e sono paralleli tra loro anche i segmenti AB e CA.
Il quadrilatero ABAC sarà quindi un ________.
Il punto F è equidistante da AB e da CA per costruzione in quanto centro di simmetria della figura.
Il punto E è equidistante da AB e da CA per costruzione in quanto punto medio di AC.
Possiamo dedurre, quindi, che il segmento EF è ________ al segmento AB.
Poiché la simmetria centrale è una ________, il simmetrico di E rispetto al centro F è sF(E)=E, punto medio di AB.
Per costruzione EEAB, cioè EF=________.
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Data la retta s di equazione
x+3y+6=0
calcola la distanza del punto A(3;5) dalla retta s, trasformata di s nella simmetria con centro nell'origine.


Le equazioni della simmetria s0 sono:

{...x=________.
y=________

Le equazioni della relativa trasformazione sono:

{...x=________.
y=y

La retta s ha equazione:

________x________y+6=0.

La distanza tra il punto A(3;5) e la retta sè

d(s,A)=|________35+6|=
________
________=3510.
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Dimostra che un triangolo isoscele e il suo simmetrico rispetto alla base formano un rombo.

Disegniamo la figura.


Dato il triangolo isoscele di base AB, i lati AC e BC sono congruenti per ipotesi.
Applicando la simmetria assiale rispetto alla base, i vertici del segmento di base avranno sé stessi come immagini, cioè saranno dei punti ________.
Il vertice C è trasformato nel punto C, dall'altra parte rispetto alla base del triangolo. Il segmento AC è trasformato nel segmento AC, mentre il segmento BC in BC.
Poiché la simmetria assiale è una isometria, AC________AC e BC________BC, per ipotesi inoltre possiamo affermare che ACACBCBC e che CA^BCA^B.
Il quadrilatero CACB è quindi un ________ perché ha i lati opposti congruenti.
Le diagonali del quadrilatero AB e CC, sono ________ per costruzione della simmetria assiale.
Il quadrilatero CACB è quindi un rombo.
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Dato il rombo di vertici A(2;1), B(3;4), C(2;7) e D(1;4), trova la sua figura simmetrica rispetto all'asse di equazione y=2 e verifica che è ancora un rombo.


Le equazioni della simmetria assiale sono

sr:{...x=x.
y=________y

I vertici quindi sono

A(2;________), B(3;________),

C(2;________), D(1;________).

ABCD è un rombo, quindi ABBCCDDA.

Poiché la simmetria assiale è una ________, il quadrilatero simmetrico di ABCD è tale che ABAB, BCBC, CDCD, DADA.

Un quadrilatero avente quattro lati uguali è necessariamente un ________.

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Data la retta r di equazione
2x+4y1=0,
determina la sua simmetrica r rispetto all'asse di equazione y=x. Dove si incontrano r e r?


Le equazioni della simmetria assiale sono:

{...x=________.
y=________

Le equazioni della trasformazione sono:

{...x=________.
y=________

La retta r simmetrica di r rispetto all'asse y=x è: ________.

Il punto di intersezione tra la retta r ed r è l'unico punto delle due rette in cui il valore dell'ascissa è uguale a quello della ordinata.

Sostituiamo la condizione x=y nell'equazione della retta r.

2x+4________1=0.

Le rette r e r si incontreranno nel punto
P(________,16).


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Date le equazioni delle simmetrie s1 e s2, determina le equazioni delle trasformazioni composte s1s2 e s2s1.

s1:{x=yy=x;     s2:{x=xy=y.

La trasformazione s1s2 ha equazioni:

{...x=________.
y=________

La trasformazione s2s1 ha equazioni:

{...x=________.
y=________


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Dimostra che, se un poligono ha perimetro l, il suo trasformato mediante un'omotetia di rapporto k ha perimetro |k|l.

Indichiamo con Li l'i-esimo lato del poligono di n lati.
Il perimetro del poligono è pari alla ________ dei suoi lati:
P=l=L1________L2________Ln.
Applicando una omotetia di rapporto k e denominando L1 il lato del poligono trasformato, abbiamo: ________=|k|.
Esprimiamo il valore di Li=________.
Il perimetro P del poligono trasformato è:
P=L1++Ln=
________++________.
Raccogliamo il fattore |k| in modo da dimostrare la tesi: P=|k|P.
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Sia ABCD il corrispondente del parallelogramma di vertici A(8;6), B(4;5), C(1;1) e D(5;2) nell'omotetia di centro O e rapporto k=13. Verifica, per almeno due coppie di lati omologhi, che tali lati sono paralleli.


Le equazioni della omotetia di centro O e rapporto k=13 sono:

{....x=________.
y=________

Determiniamo le coordinate dei punti A, B, C e D:

A(83,________); B(________,53);

C(13,________);   D(53;23).

Per verificare che due lati corrispondenti sono paralleli basta calcolare il ________ dei rispettivi lati.

mAB=5+6=14
________
mAB=253=14
________

Pertanto, i lati AB e AB sono paralleli.

mBC=1+5=43
________
mBC=1353=43
________

Pertanto i lati BC e BC sono paralleli.


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Siano σ1 l'omotetia con centro nell'origine e rapporto 12 e σ2 l'omotetia di equazioni {x=5xy=5y. Determina l'equazione della retta r, immagine, nella trasformazione σ=σ1σ2, della retta r di equazione 2x+y+1=0.


Le equazioni della omotetia con centro nell'origine e di rapporto 12 sono

σ1:{....x=________.
y=12y

Scriviamo le equazioni della omotetia

σ=σ1σ2={....x=52x.
y=________

Le equazioni della trasformazione sono:

{...x=________.
y=25y

L'equazione della retta r, immagine di r, nella trasformazione σ è:

2(________)+________+5=0.


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