Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Il teorema di Talete e il teorema della bisettrice

FIP02bbtbluG7 - Il teorema di Talete

8 esercizi

SVOLGI

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Matematica

Aldo, Beatrice, Carlo e Dorina stanno giocando al parco. In un primo momento, si riuniscono tutti su una piccola pedana. Da lì, Aldo va verso nord per

1

m, Beatrice va verso est per

2

m, Carlo va verso sud per

3

m. Di quanti metri deve andare Dorina verso ovest, affinché le posizioni

A B C D

dei quattro amici formino un trapezio con base maggiore

C D

4

5

6

7

Scelta multipla

Il punteggio di un esercizio è determinato
dalla difficoltà: da 1 (più facile) a 5 (più
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Matematica

Si vuole ritagliare via da un foglio rettangolare una parte triangolare in questo modo: a partire da un punto

P

che sta su uno dei lati, a una distanza dall'estremo più vicino pari a

\frac{1}{3}

della lunghezza del lato, si taglia il foglio parallelamente alla diagonale che parte dal vertice del foglio più vicino a

P

. Se l'area dell'intero foglio misurava

90

cm², quanto misura l'area del triangolo?

10

cm²

20

cm²

30

cm²

D: Non si può sapere: mancano le misure dei lati.

Scelta multipla

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Matematica

Congiungi un punto

D

del lato

A B

di un triangolo

A B C

con il vertice

C

e sia

D E

la bisettrice dell'angolo

B \hat{D} C

, con

E

sul lato

B C

. Dimostra che, se

A C E D

è un trapezio, allora la sua diagonale

D C

è congruente al lato

A D

.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

A C ∥ D E

;

B \hat{D} E ≅ E \hat{D} C

.
Tesi

D C ≅ A D

.

Dimostrazione

\bar{B E} :

________

=

\bar{B D} : \bar{D C}

per il teorema della bisettrice;

\bar{B E} : \bar{E C} =

________

: \bar{D A}

per il teorema di ________;
quindi

\bar{B D} : \bar{D C} =

________

: \bar{D A}

per la transitività dell'uguaglianza.
Abbiamo che

\bar{D C} \cdot

________

= \bar{B D}

________

\bar{D A}

per la proprietà fondamentale delle proporzioni.
Dividiamo entrambi i membri per

\bar{B D}

e otteniamo

\bar{D C} = \bar{D A}

.
Possiamo quindi concludere che

D C ≅ D A

Completamento chiuso

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Matematica

Un triangolo isoscele

A B C

di base

A B

ha il perimetro di

48

cm e la somma delle lunghezze dei lati obliqui supera di

12

cm la lunghezza di

A B

. Traccia la bisettrice dell'angolo

\hat{A}

, che interseca

C B

H

. Determina le lunghezze di

C H

H B

e le aree dei triangoli

A B C

A H B

.

Disegniamo la figura.

Dai dati del problema, possiamo scrivere:

2 p = \bar{A B} + \bar{A C} + \bar{B C} = 48 =

________

+ 12 \to \bar{A B} =

________ cm.
Quindi

\bar{A C} = \bar{B C} =

________ cm.
Inoltre,

\bar{B H} : \bar{H C} = \bar{A B} :

________ per il teorema ________.

Sostituiamo e semplifichiamo:

\bar{B H} : (\bar{B C} -

\bar{B H}) = \bar{A B} :

________

\to

\bar{B H} : (15 -

\bar{B H}) =

________

: 15 \to

18 (15 - \bar{B H}) = 15 \bar{B H} \to

________

= 270 \to

\bar{B H} = \frac{90}{11} ≃ 8, 18

cm.

Quindi

\bar{H C} ≃ 6, 82

cm.

Troviamo l'altezza di

A B C

, relativa ad

A B

, con il teorema di Pitagora, cioè

\sqrt{15^{2} - 9^{2}} =

________ cm.

Quindi l'area è

A_{A B C} =

________

= 108

cm².

Troviamo così l'altezza relativa a

B C

con la formula inversa:

\frac{108 \cdot 2}{15} = 14, 4

cm.

L'altezza del triangolo

A H B

, relativa al lato

B H

, ________ l'altezza di

A B C

relativa a

B C

quindi

A_{A H B} ≃ 58, 90

cm².

Completamento chiuso

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Matematica

Dato un triangolo

A B C

, si tracci la bisettrice dal vertice

A

che incontra il lato

B C

nel punto

D

.
Se

C D + C A = 12

m, e

C D ≅ \frac{1}{3} B C

, quanto misura il perimetro del triangolo?

A: Meno di

32

32

36

D: Più di

36

E: Non si può determinare dai dati forniti.

Scelta multipla

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Matematica

Disegna un triangolo

A B C

e una semiretta

A P

che intersechi in

O

la mediana

B M

e in

P

il lato

B C

. Sia

Q

l'intersezione della retta

C O

con il lato

A B

. Dimostra che

A C P Q

è un trapezio.
(SUGGERIMENTO Prolunga

O M

di un segmento

M N ≅ O M

e congiungi

N

con i vertici del triangolo.)

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

B M

mediana di

A C

.
Tesi

A C P Q

è un trapezio.

Dimostrazione
Consideriamo il quadrilatero

A N C O

:
•

A M ≅ M C

per ________;
•

O M ≅ M N

per ________;
quindi

A N C O

è un ________ perché le sue diagonali si bisecano.
Dunque

A P ∥ N C

N O : O B =

________

: P B

per il teorema di Talete.
Allo stesso modo

A N ∥ Q C

N O : O B = A Q :

________ per il teorema di Talete.
Quindi ________

: P B = A Q :

________ per la transitività dell'uguaglianza.
Da ciò abbiamo che anche le rette ________ e ________ sono ________ per l'inverso del teorema di Talete.
Possiamo così concludere che

A C P Q

è un trapezio.

Completamento chiuso

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Matematica

Dimostra che i punti medi dei lati di un quadrilatero sono i vertici di un parallelogramma.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

A M ≅ M B

;

B N ≅ N C

;

C O ≅ O D

;

A P ≅ P D

.
Tesi

M N O P

è parallelogramma.

Dimostrazione
Consideriamo il triangolo

A B C

.
________ :

M A = B N : N C

per ipotesi quindi

M N

è ________ ad

A C

ed è lungo ________ per il teorema di Talete.
Analogamente se consideriamo il triangolo

A D C

possiamo concludere che

O P

è ________ ad

A C

ed è lungo ________.
Quindi

M N ∥ O P

M N ≅ O P

.
Allo stesso modo possiamo dimostrare che

M P ∥

________ e

M P ≅

________.
Concludiamo quindi dicendo che

M N O P

è un parallelogramma.

Completamento chiuso

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Matematica

In un quadrilatero

A B C D

valgono le relazioni

\hat{A} + \hat{C} ≅ π

B C ≅ C D

A B ≅ 3 A D

.
Dimostra che la diagonale

B D

è divisa dalla diagonale

A C

in due parti, di cui una è tripla dell'altra.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi

\hat{A} + \hat{C} ≅ π

;

B C ≅ C D

;

A B ≅ 3 A D

.
Tesi

D E : E B = 1 : 3

Dimostrazione
Possiamo inscrivere il quadrilatero in una ________ in cui i lati del quadrilatero sono ________.

C \hat{A} D ≅

________ perché angoli alla circonferenza che insistono su corde congruenti e dunque

A C

è ________ dell'angolo

\hat{A}

.
Quindi

D E :

________

= A D : A B

per il teorema della bisettrice.
Sostituiamo:

D E :

________

= A D : 3 A D

;
e semplifichiamo:

D E : E B = 1 :

________.

Completamento chiuso

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