Tipo di esercizi
Scelta multipla,
Completamento chiuso
Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - Il teorema di Talete e il teorema della bisettrice
INFO

Matematica

Aldo, Beatrice, Carlo e Dorina stanno giocando al parco. In un primo momento, si riuniscono tutti su una piccola pedana. Da lì, Aldo va verso nord per 1 m, Beatrice va verso est per 2 m, Carlo va verso sud per 3 m. Di quanti metri deve andare Dorina verso ovest, affinché le posizioni ABCD dei quattro amici formino un trapezio con base maggiore CD?
A: 4 m
B: 5 m
C: 6 m
D: 7 m
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Si vuole ritagliare via da un foglio rettangolare una parte triangolare in questo modo: a partire da un punto P che sta su uno dei lati, a una distanza dall'estremo più vicino pari a 13 della lunghezza del lato, si taglia il foglio parallelamente alla diagonale che parte dal vertice del foglio più vicino a P. Se l'area dell'intero foglio misurava 90 cm², quanto misura l'area del triangolo?
A: 10 cm²
B: 20 cm²
C: 30 cm²
D: Non si può sapere: mancano le misure dei lati.
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Congiungi un punto D del lato AB di un triangolo ABC con il vertice C e sia DE la bisettrice dell'angolo BD^C, con E sul lato BC. Dimostra che, se ACED è un trapezio, allora la sua diagonale DC è congruente al lato AD.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi
ACDE;
BD^EED^C.
Tesi
DCAD.

Dimostrazione
BE¯:________=BD¯:DC¯ per il teorema della bisettrice;
BE¯:EC¯=________:DA¯ per il teorema di ________;
quindi BD¯:DC¯=________:DA¯ per la transitività dell'uguaglianza.
Abbiamo che
DC¯________=BD¯________DA¯
per la proprietà fondamentale delle proporzioni.
Dividiamo entrambi i membri per BD¯ e otteniamo DC¯=DA¯.
Possiamo quindi concludere che DCDA.
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Un triangolo isoscele ABC di base AB ha il perimetro di 48 cm e la somma delle lunghezze dei lati obliqui supera di 12 cm la lunghezza di AB. Traccia la bisettrice dell'angolo A^, che interseca CB in H. Determina le lunghezze di CH e HB e le aree dei triangoli ABC e AHB.

Disegniamo la figura.

Dai dati del problema, possiamo scrivere:
2p=AB¯+AC¯+BC¯=48=
________+12  AB¯=________ cm.
Quindi AC¯=BC¯=________ cm.
Inoltre, BH¯:HC¯=AB¯:________ per il teorema ________.

Sostituiamo e semplifichiamo:
BH¯:(BC¯BH¯)=AB¯:________  
BH¯:(15BH¯)=________:15 
18(15BH¯)=15BH¯ 
________=270
BH¯=90118,18 cm.

Quindi HC¯6,82 cm.

Troviamo l'altezza di ABC, relativa ad AB, con il teorema di Pitagora, cioè
15292=________ cm.

Quindi l'area è
AABC=________=108 cm².

Troviamo così l'altezza relativa a BC con la formula inversa:
108215=14,4 cm.

L'altezza del triangolo AHB, relativa al lato BH, ________ l'altezza di ABC relativa a BC quindi AAHB58,90 cm².
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Dato un triangolo ABC, si tracci la bisettrice dal vertice A che incontra il lato BC nel punto D.
Se CD+CA=12 m, e CD13BC, quanto misura il perimetro del triangolo?
A: Meno di 32 m.
B: 32 m.
C: 36 m.
D: Più di 36 m.
E: Non si può determinare dai dati forniti.
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Disegna un triangolo ABC e una semiretta AP che intersechi in O la mediana BM e in P il lato BC. Sia Q l'intersezione della retta CO con il lato AB. Dimostra che ACPQ è un trapezio.
(SUGGERIMENTO Prolunga OM di un segmento MNOM e congiungi N con i vertici del triangolo.)

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi
BM mediana di AC.
Tesi
ACPQ è un trapezio.

Dimostrazione
Consideriamo il quadrilatero ANCO:
•   AMMC per ________;
•   OMMN per ________;
quindi ANCO è un ________ perché le sue diagonali si bisecano.
Dunque APNC e
NO:OB=________:PB per il teorema di Talete.
Allo stesso modo ANQC e
NO:OB=AQ:________ per il teorema di Talete.
Quindi ________:PB=AQ:________ per la transitività dell'uguaglianza.
Da ciò abbiamo che anche le rette ________ e ________ sono ________ per l'inverso del teorema di Talete.
Possiamo così concludere che ACPQ è un trapezio.
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Dimostra che i punti medi dei lati di un quadrilatero sono i vertici di un parallelogramma.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi
AMMB;
BNNC;
COOD;
APPD.
Tesi
MNOP è parallelogramma.

Dimostrazione
Consideriamo il triangolo ABC.
________ : MA=BN:NC per ipotesi quindi MN è ________ ad AC ed è lungo ________ per il teorema di Talete.
Analogamente se consideriamo il triangolo ADC possiamo concludere che OP è ________ ad AC ed è lungo ________.
Quindi MNOP e MNOP.
Allo stesso modo possiamo dimostrare che MP________ e MP________.
Concludiamo quindi dicendo che MNOP è un parallelogramma.
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Matematica

In un quadrilatero ABCD valgono le relazioni A^+C^π, BCCD e AB3AD.
Dimostra che la diagonale BD è divisa dalla diagonale AC in due parti, di cui una è tripla dell'altra.

Disegniamo la figura e scriviamo ipotesi e tesi.

Ipotesi
A^+C^π;
BCCD;
AB3AD.
Tesi
DE:EB=1:3

Dimostrazione
Possiamo inscrivere il quadrilatero in una ________ in cui i lati del quadrilatero sono ________.
CA^D________ perché angoli alla circonferenza che insistono su corde congruenti e dunque AC è ________ dell'angolo A^.
Quindi DE:________=AD:AB per il teorema della bisettrice.
Sostituiamo:
DE:________=AD:3AD;
e semplifichiamo:
DE:EB=1:________.
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