Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - La circonferenza e il cerchio, i teoremi sulle corde

FIP02bbtbluG5 - La circonferenza e il cerchio, i teoremi sulle corde

7 esercizi

SVOLGI

INFO

Siano

A B

un diametro e

P

un punto qualsiasi di un cerchio di centro

O

. Associa le premesse alle rispettive conclusioni.

1. L'angolo

P \hat{O} A

è minore di un angolo retto.
________

2.

P

appartiene alla circonferenza.
________

3.

A

B

P

sono alllineati.
________

4.

O P

è perpendicolare ad

A B

.
________

Posizionamento

Nella figura,

O

è il centro della circonferenza,

B

un punto su di essa e

A C

un suo diametro. Sapendo che

A \hat{O} B = 80^{\circ}

, quanto vale

C \hat{A} B - A \hat{C} B

5^{\circ}

10^{\circ}

15^{\circ}

20^{\circ}

Scelta multipla

In una circonferenza di centro

O

traccia due corde

A B

B C

congruenti tali che il settore circolare, compreso fra i raggi

A O

O C

e l'arco

\overset{⌢}{A B C}

sia

\frac{1}{3}

del cerchio. Se il raggio della circonferenza è di

4

cm, qual è il perimetro del quadrilatero

A B C O

?

Disegniamo la figura.

A \hat{O} C =

________ perché il settore circolare è

\frac{1}{3}

del cerchio. Inoltre, osserviamo che

A \hat{O} C = A \hat{O} B + C \hat{O} B

A \hat{O} B

________

C \hat{O} B

, perché ________ su corde congruenti.
Quindi

A \hat{O} B =

________

= C \hat{O} B

.

I triangoli

A O B

C O B

sono ________ perché

O A ≅ O B ≅ O C

sono tutti raggi e i loro angoli al vertice misurano ________.

Allora i triangoli

A O B

C O B

sono ________. In particolare

A B = B C = 4

cm.

Infine, il perimetro del quadrilatero

A B C O

è di ________ cm.

Completamento chiuso

Nella circonferenza assegnata le corde

A B

C D

sono congruenti e si intersecano nel punto

R

. Dimostra che

A R ≅ R D

R B ≅ R C

.

Ipotesi

A B ≅ C D

.

Tesi

A R ≅ R D

;

R B ≅ R C

.

Dimostrazione

B \hat{D} C ≅

________ perché insistono sulla stessa corda

B C

B \hat{D} A ≅ D \hat{A} C

perché insistono su corde ________ per ipotesi.
Quindi

R \hat{D} A ≅ B \hat{D} A

________

B \hat{D} C ≅

D \hat{A} C

________

B \hat{A} C ≅

D \hat{A} R

.
Quindi il triangolo

D A R

è ________ per il teorema degli angoli alla base. In particolare

A R ≅ R D

.
Infine

R B ≅ A B

________

A R ≅

C D

________

R D ≅ R C

Completamento chiuso

Su una circonferenza di centro $O$ considera due archi consecutivi $\overset{⌢}{A B}$ e $\overset{⌢}{B C}$ e indica con $M$ il punto medio di $\overset{⌢}{A B}$ e con $N$ il punto medio di $\overset{⌢}{B C}$ . Traccia la corda $M N$ , che interseca la corda $A B$ in $E$ e la corda $B C$ in $F$ .

Dimostra che $B E ≅ B F$ .

Disegniamo la figura.

Ipotesi:

$\overset{⌢}{A M}$ $≅$ $\overset{⌢}{M B}$

$\overset{⌢}{B N}$ $≅$ $\overset{⌢}{N C}$

Tesi:

$B E ≅ B F$ .

Dimostrazione

Tracciamo i raggi $O M$ e $O N$ e chiamiamo rispettivamente $H$ e $K$ le intersezioni dei raggi con le corde $A B$ e $B C$ .

Il triangolo $O M N$ è ________ in quanto $O M ≅ O N$ perché ________. Quindi anche $O \hat{M} N ≅$ ________.

Consideriamo i triangoli $M E H$ e $N F K$ .

Essi hanno:

$M \hat{H} E ≅ N \hat{K} F ≅$ ________ perché i raggi che tagliano a metà una corda sono perpendicolari a essa;
$H \hat{M} E ≅ K \hat{N} F$ per dimostrazione precedente.

quindi $M \hat{E} H ≅$ ________ perché la somma degli angoli interni a un triangolo è un angolo piatto.

Inoltre, $M \hat{E} H ≅ B \hat{E} F$ e $N \hat{F} K ≅ B \hat{F} E$ perché ________;

quindi $B \hat{E} F ≅ B \hat{F} E$ per transitività della congruenza.

Concludiamo quindi che $B E F$ è un triangolo ________ perché ha angoli alla base congruenti e quindi $B E ≅ B F$ .

Completamento chiuso

Le corde $A B$ e $C D$ della circonferenza di centro $O$ sono parallele.

Dimostra che $A C ≅ D B$ .

Ipotesi

$A B ∥ C D$

Tesi

$A C ≅ D B$

Dimostrazione

Tracciamo il raggio $O E$ perpendicolare ad $A B$ e $C D$ che le interseca rispettivamente in $H$ e $K$ .

Consideriamo i triangoli rettangoli $A O H$ e $B O H$ .

Essi hanno:

$A H ≅$ ________ per il teorema delle corde tagliate perpendicolarmente dal raggio.
$O A ≅ O B$ perché ________

quindi $A O H ≅ B O H$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

In particolare $A \hat{O} H ≅ B \hat{O} H$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Consideriamo i triangoli rettangoli $C O K$ e $D O K$ .

Essi hanno:

$C K ≅ D K$ per il teorema delle corde tagliate perpendicolarmente dal raggio;
$O C ≅ O D$ perché raggi;

quindi $C O K ≅ D O K$ per il ________ criterio di congruenza dei triangoli rettangoli.

In particolare ________ $≅ D \hat{O} K$ perché elementi corrispondenti in triangoli congruenti.

Infine, $A O C ≅ A O H$ ________ $C \hat{O} K ≅$ $B \hat{O} H$ ________ $D \hat{O} K ≅ B \hat{O} D$ .

Quindi $A C ≅ B D$ perché ad angoli ________ congruenti corrispondono corde ________.

Completamento chiuso

Il segmento circolare

a

\frac{1}{4}

del cerchio di centro

O

e la superficie

b

\frac{1}{2}

della superficie di

c

.
L'angolo al centro corrispondente al settore circolare

d

è ampio

80^{\circ}

. Determina la frazione di cerchio relativa a ciascuna superficie colorata.

Osservando la figura, possiamo scrivere che

a + b + c =

________

\to

\frac{1}{4} C +

________

+ c =

________

\to

\frac{3}{2} c = \frac{1}{4} C \to c =

________

C

.
Quindi

b =

________

C

La frazione dei settori circolari è uguale ________ frazione degli angoli corrispondenti, quindi per

d

abbiamo che

\frac{80^{\circ}}{360^{\circ}} =

________, cioè

d =

________

C

{\hat{O}}_{e} = 180^{\circ} - 80^{\circ} = 100^{\circ}

quindi per

e

abbiamo che

\frac{100^{\circ}}{360^{\circ}} =

________, cioè

e =

________

C

.

Abbiamo ottenuto quindi

a = \frac{1}{4} C

b =

________

C

c =

________

C

d =

________

C

e =

________

C

Completamento chiuso