Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le disequazioni irrazionali

FIP02bbtblu21 - Le disequazioni irrazionali

14 esercizi

SVOLGI

INFO

Discuti le soluzioni della disequazione

$\sqrt{4 x^{2} + 1} < k$

al variare di $k$ in $R$ .

La disequazione è equivalente al sistema di tre disequazioni:

${\begin{cases} \end{cases}$	$k > 0$	.
	$4 x^{2} + 1 \geq 0$
	$4 x^{2} + 1 < k^{2}$

Risolviamo:

${\begin{cases} \end{cases}$	$k > 0$	.
	________
	$x^{2} < \frac{k^{2} - 1}{4}$

Discutiamo le soluzioni al variare di $k$ :

________: $∄ x \in R$ ;
$k \geq 1$ : ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

\sqrt{\frac{2 x + 1}{3 x}} - \frac{1}{3} > 0

Risolviamo la disequazione:

\frac{2 x + 1}{3 x} >

________

\to

\frac{5 x + 3}{9 x} > 0 \to

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

$\frac{1}{2} \sqrt{(4 x + 1) (x - 3)} < 1 - x$

La disequazione è equivalente al sistema di tre disequazioni:

${\begin{cases} \end{cases}$	$1 - x$ ________ $0$	.
	$(4 x + 1) (x - 3) \geq 0$
	$(4 x + 1) (x - 3) < 4 (1 - x)^{2}$

Risolviamo la terza disequazione:

$4 x^{2} - 12 x + x - 3 < 4 x^{2} + 4 - 8 x \to$

$- 3 x - 7 < 0 \to x$ ________ $- \frac{7}{3}$ .

Pertanto il sistema iniziale equivale al seguente:

________

Disegniamo gli intervalli delle soluzioni.

Quindi la disequazione è soddisfatta per $- \frac{7}{3} < x \leq - \frac{1}{4}$ .

Completamento chiuso

Trova il dominio della seguente funzione

$y = \sqrt{3 - \sqrt{4 - \sqrt{x}}}$ .

Il dominio della funzione è dato dal seguente sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq 0$	.
	$4 - \sqrt{x} \geq 0$
	________ $\geq 0$

Risolviamolo:

${\begin{cases} x \geq 0 \\ \sqrt{x} \leq 4 \\ \sqrt{4 - \sqrt{x}} \leq 3 \end{cases} \to$	${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq 0$	$\to$
		$x$ ________ $16$
		$\sqrt{x} \geq 0$

$0 \leq x \leq 16$ .

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

$\frac{1}{2} \sqrt[3]{\frac{2 x - 1}{x + 5}} + \sqrt[3]{\frac{1}{4 x}} < 0$ .

Poniamo le condizioni di esistenza: $x \neq 0, x \neq$ ________.

Trasportiamo una delle due radici al secondo membro, eleviamo al cubo e risolviamo:

$\frac{2 x - 1}{x + 5} < -$ ________ $\to$

$2 x^{2} +$ ________ $+ 10$	$< 0$	$\to$
$x (x + 5)$

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

$2 - \sqrt{\frac{1}{3} x + 4} \leq - x$ .

Isoliamo la radice al primo membro:

$\sqrt{\frac{1}{3} x + 4} \geq x + 2$ .

L'insieme delle soluzioni della disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

${\begin{cases} x + 2 < 0 \\ \frac{1}{3} x + 4 \geq 0 \end{cases} \lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	________	.
		$\frac{1}{3} x + 4 \geq x^{2} + 4 x + 4$

Risolviamo i sistemi:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x < - 2$	$\lor {\begin{cases} x \geq - 2 \\ - \frac{11}{3} \leq x \leq 0 \end{cases} .$
	$x \geq -$ ________

La soluzione del primo sistema è $- 12 \leq x < - 2$ e la soluzione del secondo sistema è $- 2 \leq x \leq 0$ .

Quindi l'insieme delle soluzioni della disequazione è

________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

$\frac{\sqrt{9 - x^{2}}}{x^{3} - 8} \geq 0$

La disequazione equivale a:

${\begin{cases} \end{cases}$	$9 - x^{2} \geq 0$	.
${\begin{cases} \end{cases}$	$x^{3} - 8$ ________ $0$

${\begin{cases} \end{cases}$	$- 3 \leq x \leq 3$	$\to$ ________ $< x \leq 3$ .
	________

Completamento chiuso

Determina i numeri naturali per i quali il loro doppio diminuito di $3$ è minore o uguale alla loro radice quadrata.

Dai dati del problema possiamo scrivere la seguente disequazione:

________.

L'insieme delle soluzioni della disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

${\begin{cases} 2 x - 3 < 0 \\ x \geq 0 \end{cases} \lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$2 x - 3 \geq 0$	.
		$x \geq 4 x^{2} - 12 x$ ________

Risolviamo i due sistemi:

${\begin{cases} x < \frac{3}{2} \\ x \geq 0 \end{cases} \lor {\begin{cases} x \geq \frac{3}{2} \\ 1 \leq x \leq \frac{9}{4} \end{cases} .$

La disequazione iniziale è verificata dall'unione degli intervalli trovati quindi è

________.

I numeri naturali quindi sono ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

$\sqrt[3]{x - \sqrt{1 - x^{2}}} < - 1$

Eleviamo al cubo:

$x - \sqrt{1 - x^{2}} <$ ________ $\to$

$\sqrt{1 - x^{2}}$ ________ $x + 1$ .

L'insieme delle soluzioni della disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

${\begin{cases} x + 1 < 0 \\ 1 - x^{2} \geq 0 \end{cases} \lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$x + 1 \geq 0$	.
		$1 - x^{2} >$ ________

Risolviamo i sistemi:

${\begin{cases} x < - 1 \\ - 1 \leq x \leq 1 \end{cases} \lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq - 1$	.
		________

L'insieme delle soluzioni è ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

$\sqrt{x^{2} + x + 2} + \sqrt{2} > x$

L'insieme delle soluzioni della disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x - \sqrt{2}$ ________ $0$	$\lor$
	$x^{2} + x + 2 \geq 0$

${\begin{cases} \end{cases}$	$x - \sqrt{2} \geq 0$	.
	$x^{2} + x + 2 > (x - \sqrt{2})^{2}$

Risolviamo i sistemi:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x$ ________ $\sqrt{2}$	$\lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq \sqrt{2}$	.
	$\forall x \in R$			________

L'insieme delle soluzioni è ________.

Completamento chiuso

Scrivi le condizioni di esistenza della funzione:

$y = \frac{\sqrt{x - 3} - 2}{\sqrt{x - \sqrt{x^{2} - 4}}}$ .

Le condizioni di esistenza sono rappresentate dal sistema:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x - 3 \geq 0$
	$x^{2} - 4 \geq 0$
	$x - \sqrt{x^{2} - 4}$ ________ $0$

Risolviamo:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq 3$	$\to$
	________
	$\sqrt{x^{2} - 4} < x$

${\begin{cases} x \geq 3 \\ x \leq - 2 \lor x \geq 2 \\ x^{2} - 4 < x^{2} \end{cases} \to$

${\begin{cases} x \geq 3 \\ x \leq - 2 \lor x \geq 2 \\ \forall x \in R \end{cases} \to$

________.

Quindi le C.E. sono $x \geq 3$ .

Completamento chiuso

Risolvi il sistema di disequazioni:

${\begin{cases} \sqrt{x + 2} \leq 4 - x \\ \sqrt{x^{2} - 6 x - 7} + x \geq 6 \end{cases} .$

La prima disequazione equivale al sistema:

${\begin{cases} 4 - x > 0 \\ x + 2 \geq 0 \\ x + 2 \leq 16 + x^{2} - 8 x \end{cases} .$

Risolviamolo:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x$ ________ $4$	$\to$ ${\begin{cases} \end{cases}$	$x < 4$	$\to$
	$x \geq - 2$		$x \geq - 2$
	$x^{2} - 9 x + 14 \geq 0$		$x \leq 2 \lor x \geq 7$

________.

L'insieme delle soluzioni della seconda disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

${\begin{cases} 6 - x < 0 \\ x^{2} - 6 x - 7 \geq 0 \end{cases} \lor$

${\begin{cases} \end{cases}$	$6 - x \geq 0$	.
	$x^{2} - 6 x - 7 \geq$ ________

Risolviamo i due sistemi:

${\begin{cases} x > 6 \\ x \leq - 1 \lor x \geq 7 \end{cases} \lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$x \leq 6$	$\to$
		________

________

Rappresentiamo le soluzioni delle due disequazioni nello schema grafico

Quindi il sistema

________

Completamento chiuso

Per quale valore del parametro

a

la disequazione

\sqrt{\frac{1}{2} x - \frac{1}{3}} \leq a

ha come soluzione

\frac{2}{3} \leq x \leq \frac{8}{3}

a = \pm 1

a = 1

a = - 1

a = \frac{1}{3}

Scelta multipla

Dimostra che

$\sqrt{x^{2} - 1} \geq \sqrt[3]{x^{3} - 1}$ $\forall x \in R$ .

L'insieme delle soluzioni della disequazione è dato dall'unione degli insiemi delle soluzioni dei seguenti sistemi:

${\begin{cases} \sqrt[3]{x^{3} - 1} < 0 \\ x^{2} + 1 \geq 0 \end{cases} \lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$\sqrt[3]{x^{3} - 1} < 0$	.
		________ $\geq (x^{3} - 1)^{2}$

Risolviamo i due sistemi:

${\begin{cases} \end{cases}$	$x <$ ________	$\lor$	${\begin{cases} \end{cases}$	$x \geq 1$	$\to$
	$\forall x \in R$			________

$\forall x \in R$ .

Completamento chiuso