Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - La risoluzione delle disequazioni di secondo grado e di grado superiore

FIP02bbtblu20 - La risoluzione delle disequazioni di secondo grado e di grado superiore

15 esercizi

SVOLGI

INFO

Associa a ogni disequazione le sue soluzioni.

1.

x^{4} - 4 x^{2} + 5 > 0

________

2.

x^{4} + 5 x^{2} + 4 \leq 0

________

3.

- 5 x^{4} - x^{3} - 4 x^{2} \geq 0

________

4.

- x^{4} - 4 x^{3} - 5 x^{2} < 0

________

Posizionamento

Risolvi la seguente disequazione nell'incognita

x

discutendo al variare del parametro in

R

- a^{2} x^{2} - a x + 1 \geq 0

La disequazione è nella forma

A x^{2} + B x + C \geq 0

. Studiamo il caso in cui il coefficiente di

x^{2}

si annulla: se

a^{2} = 0

, cioè

a = 0

allora la disequazione diventa:

1 \geq 0 \to

________.

Se invece

a \neq 0

, troviamo le soluzioni dell'equazione associata.

a^{2} x^{2} + a x - 1 = 0

Δ = a^{2}

________

4 a^{2} =

________

a^{2}

x =

________

=

________

Per capire quale delle due radici è più piccola, studiamo la disequazione:

\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2 a} < \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 a}

\to

________.
Discutiamo le soluzioni:
• se

a = 0

, la disequazione è verificata

\forall x \in R

;
• se

a > 0

, le soluzioni sono:

\frac{- 1 - \sqrt{5}}{2 a} \leq x \leq \frac{- 1 + \sqrt{5}}{2 a}

;
• se

a < 0

, le soluzioni sono:
________.

Completamento chiuso

Vero o falso?

La disequazione

x^{2} + k^{2} > 0

, se

k < 0

, è sempre verificata.

La disequazione

k x^{2} + k > 0

, se

k < 0

, è impossibile.

a = 0

, la disequazione

a x^{2} - a \leq 0

ha come sola soluzione

x = 0

La disequazione

x^{2} + k + 1 > 0

ammette soluzioni per ogni

k \in R

Vero o falso

Risolvi la seguente disequazione.

(x^{4} - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{9}{16}) (1 - x^{2}) > 0

Studiamo il segno del primo fattore:

F_{1} > 0 \to x^{4} - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{9}{16} > 0.

Poiché alla disequazione associata l'equazione biquadratica

x^{4} - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{9}{16} = 0

,
poniamo

z =

________ e ricaviamo:

z^{2} - \frac{5}{2} z + \frac{9}{16} = 0 \to

________

z^{2}

-

________

z +

________

= 0 \to

Δ = 256

Da cui:

z_{1} = \frac{1}{4}

z_{2} = \frac{9}{4}

.
Da cui:

x^{4} - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{9}{16} =

(

x^{2}

________

\frac{1}{4})

(x^{2}

________

\frac{9}{4})

.
Otteniamo quindi:

F_{1} > 0 \to x^{4} - \frac{5}{2} x^{2} + \frac{9}{16} > 0 \to

(x^{2}

________

\frac{1}{4})

(x^{2}

________

\frac{9}{4}) > 0

.
Esaminiamo il segno dei singoli fattori:

(x^{2}

________

\frac{1}{4}) > 0 \to

________;

(x^{2}

________

\frac{9}{4}) > 0 \to

________.

Il quadro dei segni che è quello in figura a.

La disequazione è verificata per
________.
Studiamo il segno del secondo fattore:

F_{2} > 0 \to 1 - x^{2} > 0 \to

________.
Il quadro dei segni che ci serve per risolvere la disequazione iniziale è quello in figura b.
Siamo interessati agli intervalli in cui il prodotto è positivo, cioè:
________.

Completamento chiuso

Deduci dalla figura i dati per determinare le equazioni della parabola

f (x)

e della retta

g (x)

. Calcola per quali valori si ha:

f (x) \geq g (x)

.

La parabola ha l'asse parallelo all'asse

y

, quindi ha equazione

f (x) = a x^{2} + b x + c

. I punti

(1; 0)

(5; 0)

e ________ appartengono alla parabola: sostituiamo le loro coordinate nell'equazione della parabola.
________
Risolviamo per sostituzione:

{\begin{cases} b = - a - 5 \\ c = 5 \\ 25 a - 5 a - 25 + 5 = 0 \end{cases} .

Ricaviamo che

a =

________,

b = - 6

c = 5

, quindi:

f (x) =

________.
La retta

g (x) = m x + q

passa per

(1; 0)

e per un altro punto di ordinata

5

appartenente alla parabola. Troviamo tale punto:

x^{2} - 6 x + 5 = 5

x = 0 \lor x =

________.

La retta

g (x)

passa per

(1; 0)

(6; 5)

:
________.
Risolviamo il sistema con il metodo di riduzione: sottraiamo la prima equazione dalla seconda.
________
Ricaviamo quindi che

m = 1

q =

________, quindi:

g (x) = x - 1

.
La soluzione della disequazione

f (x) \geq g (x)

è rappresentata graficamente da tutti i valori di

x

per i quali il grafico di

f (x)

sta sopra o coincide con il grafico di

g (x)

:
________.

Completamento chiuso

La disequazione

- (1 - 3 x)^{2} - (3 x - 1)^{2} \geq a

, con

a \in R

è verificata

\forall x \in R

a = - 2

non è mai verificata se

a > 0

è equivalente a

9 x^{2} - 6 x - 1 \leq 0

a = - 4

ha la stessa soluzione della sua equazione associata se

a = 0

Vero o falso

Disegna le due parabole di equazioni

f (x) = x^{2} - 9 x + 18

g (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 3 x

.
Determina algebricamente e graficamente per quali valori di

x

si ha:
a.

f (x) \geq 0

;
b.

g (x) < \frac{5}{2}

;
c.

g (x) \leq f (x)

.

La rappresentazione grafica delle due parabole e della retta

y = \frac{5}{2}

è nella figura: ________.

a. Dal grafico deduciamo che le soluzioni della disequazione

f (x) \geq 0

sono:
________.
Verifichiamolo algebricamente:

x^{2} - 9 x + 18 \geq 0

x^{2} - 9 x + 18 = 0

x = 3 \lor x =

________

\to

3 \leq x \lor x \geq 6

.

b. Dal grafico deduciamo che le soluzioni della disequazione

g (x) < \frac{5}{2}

sono:
________.
Verifichiamolo algebricamente:

- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x < \frac{5}{2}

x^{2} - 6 x +

________

> 0

x = 1 \lor x = 5

\to

x < 1 \lor x > 5

.

c. Dal grafico deduciamo che le soluzioni della disequazione

g (x) \leq f (x)

sono:
________.
Verifichiamolo algebricamente:

- \frac{1}{2} x^{2} + 3 x \leq x^{2} - 9 x + 18

\frac{3}{2} x^{2} - 12 x + 18 \geq 0

________

\geq 0

x = 2 \lor x = 6

\to

x \leq 2 \lor x \geq 6

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

(\sqrt{2} - x)^{2} + \frac{2 x}{1 + \sqrt{2}} \geq \sqrt{2} (\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x)

Svolgiamo i quadrati e i prodotti:

(\sqrt{2} - x)^{2} + \frac{2 x}{1 + \sqrt{2}} \geq \sqrt{2} (\sqrt{2} + x) (\sqrt{2} - x) \to

2 -

________

x + x^{2} + \frac{2 x}{1 + \sqrt{2}} \geq \sqrt{2} (2 - x^{2}) .

Razionalizziamo il denominatore:

2 -

________

x + x^{2}

________

2 x (1 - \sqrt{2}) \geq 2 \sqrt{2} - \sqrt{2} x^{2} .

Portiamo ogni termine al primo membro e ordiniamo il polinomio:

(1 + \sqrt{2}) x^{2}

________

2 x + 2 (1 - \sqrt{2}) \geq 0.

Le soluzioni dell'equazione associata sono

x_{1} =

________,

x_{2} =

________,
quindi le soluzioni della disequazione di partenza sono:

x \leq

________

\lor x \geq

________.

Completamento chiuso

Siano

a

b

c

tre numeri reali tali che

a \neq 0

e il trinomio

a x^{2} + b x + c

è negativo o nullo per

- \frac{1}{2} \leq x \leq 2

. Allora puoi affermare che:

(a x^{2} + b x + c) (x^{2} - 4 x + 4) < 0

per

- \frac{1}{2} \leq x \leq 2

a x^{2} + b x + c \geq 0

è equivalente a

- 2 x^{2} + 3 x + 2 \leq 0

a x^{3} + b x^{2} + c x \geq 0

per

- \frac{1}{2} \leq x \leq 0 \lor x \geq 2

(a x^{2} + b x + c) (- x^{2} + 6 x - 14) < 0

per

x < - \frac{1}{2} \lor x > 2

Vero o falso

Risolvi la seguente disequazione nell'incognita

x

discutendo al variare del parametro in

R

a x^{2} - 2 x + 2 - a \leq 0

La disequazione è nella forma

A x^{2} + B x + C \leq 0

. Studiamo il caso in cui il coefficiente di

x^{2}

si annulla: se

a = 0

, la disequazione diventa:
________

\to x \geq 1.

Se invece

a \neq 0

, troviamo le soluzioni dell'equazione associata.

a x^{2} - 2 x + (2 - a) = 0

x_{1} = \frac{2 - a}{a}

x_{2} =

________.
Per capire quale delle due radici è più piccola, studiamo la disequazione:

\frac{2 - a}{a} \leq 1

________

\leq 0

\to

________.
Discutiamo le soluzioni:
• se

a < 0

, le soluzioni sono:
________;
• se

a = 0

, le soluzioni sono:

x \geq 1

;
• se

0 < a < 1

, le soluzioni sono:
________;
• se

a = 1

, la disequazione è verificata
________;
• se

a > 1

, le soluzioni sono:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

\frac{4}{5} (x - 1) (x + 1) (x - 2) - (x - 1)^{3} - 2 < \frac{17 - x^{3}}{5} - x

Eliminiamo le parentesi e i denominatori.

\frac{4}{5} (x^{2} - 1) (x - 2) +

________

- 2

<

\frac{17 - x^{3}}{5} - x

4 x^{3} - 8 x^{2} - 4 x +

________

- 5 x^{3} + 15 x^{2} - 15 x -

________

<

17 - x^{3} - 5 x .

Portiamo ogni termine al primo membro e ordiniamo il polinomio:
________

< 0.

Le soluzioni dell'equazione associata sono:

x =

________.
Le soluzioni della disequazione sono:
________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

x (x - 2)^{2} - (x + 2)^{3} + 4 \geq (- x - 2) (x + 2)

Eliminiamo le parentesi:

x^{3} - 4 x^{2} + 4 x +

________

+ 4

\geq

________.
Semplifichiamo:
________

\leq 0

.
Le soluzioni dell'equazione associata sono:

x = - \frac{4}{9}

x =

________.
Le soluzioni della disequazione sono:
________.

Completamento chiuso

Considera due numeri reali

y

a

, con

y < a

. Qual è il segno dell'espressione

y^{3} - y^{2} a + 3 y^{2} - 3 y a + 4 y - 4 a

?

Raccogliamo a fattor comune nel primo e nel secondo termine, poi nel terzo e nel quarto e poi nel quinto e nel sesto:

y^{2} (y - a) +

________

(y - a) + 4 (y - a)

.
Raccogliamo il termine

(y - a)

(y - a) \cdot

________.
Poiché

y < a

, sappiamo che

y - a

è ________ di zero. Studiamo quindi il segno di

y^{2} + 3 y + 4

y^{2} + 3 y + 4 > 0

.
Il determinante dell'equazione associata

y^{2} + 3 y + 4 = 0

è negativo, perciò la disequazione è soddisfatta per ________ valore di

y \in R

.
L'espressione iniziale è quindi ________.

Completamento chiuso

Risolvi la seguente disequazione.

(x^{2} + 5 x - 6) (1 - x) (x^{2} - 2 x + 1) \geq 0

Per studiare il segno del prodotto, studiamo separatamente i segni di ogni singolo fattore.
Primo fattore

F_{1}

x^{2} + 5 x - 6 \geq 0

x^{2} + 5 x - 6 = 0

x = - 6 \lor x =

________

\to

________.

Secondo fattore

F_{2}

1 - x \geq 0

________.

Terzo fattore

F_{3}

x^{2} - 2 x + 1 \geq 0

x^{2} - 2 x + 1 = 0

x_{1} = x_{2} = 1

\to

________.

Compiliamo il quadro dei segni.

Siamo interessati agli intervalli in cui il prodotto è positivo o uguale a zero.
La soluzione della disequazione di partenza è:
________.

Completamento chiuso

a

b

sono due numeri maggiori o uguali a zero. Sappiamo che

a^{3} + a < b - b^{3}

. Qual è l'ordine corretto fra i tre numeri

a

b

1

?

Sappiamo che

a

b \geq 0

.
Quindi

a^{3} + a \geq 0

e, poiché

a^{3} + a < b - b^{3}

abbiamo

b - b^{3}

________

0

.
Quindi abbiamo che

b (1 - b^{2}) > 0

, da cui
________.
Poiché

b \geq 0

allora

0 < b < 1

, da cui

0 < b^{3} < b < 1

.
Se fosse

a > b

avremmo

a^{3} > b^{3}

perché

a^{3} - b^{3} = (a - b) (a^{2} + a b + b^{2})

con

a - b > 0

a^{2} + a b + b^{2}

________

0

.
Infine, da

b > 0

abbiamo

b^{3} > - b^{3}

.
Quindi

a^{3} + a

________

b - b^{3}

, ma questo è un assurdo.
Quindi

a < b < 1

Completamento chiuso