FIP02bbtblu19 - I sistemi di secondo grado e la loro interpretazione grafica

Determina per quali valori dei parametri $a$ e $b$ il sistema seguente ammette come soluzione la coppia $(1;2)$.

$\{\begin{array}{c}(2x-a{)}^2+3ay=4b-1\\ 2bx-y=0\end{array}$

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{c}(2x-a{)}^2+3ay=4b-1\\ 2bx-y=0\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}{a}^2+2a+1=0\\ b=1\end{array}\to$$\{\begin{array}{c}a=-1\\ b=1\end{array}.$

Il sistema ammette come soluzione la coppia $(1;2)$ se $a=$________, $b=$________.

Risolvi il seguente sistema.

$\{\begin{array}{c}5x-2y=-3\\ {\displaystyle \frac{y+1}{x^2+3x-4}+\frac{x}{8+2x}=\frac{-x}{1-x}}\end{array}$

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{c}5x-2y=-3\\ {\displaystyle \frac{y+1}{x^2+3x-4}+\frac{x}{8+2x}=\frac{-x}{1-x}}\end{array}$$\to$

Imponiamo le C.E.: $x\ne$________$\wedge$$x\ne -4.$

Risolviamo il sistema con il metodo di sostituzione:

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle y=\frac{5x+3}{2}}\\ x^2+4x-5=0\end{array}$$\to$

Il sistema ha come soluzione la coppia $(-5;-11)$.

Risolvi il seguente sistema simmetrico.

$\{\begin{array}{c}4x^2+4y^2=37\\ {\displaystyle x=-\frac{5}{2}-y}\end{array}$

Risolviamo il sistema:

$\{\begin{array}{c}4x^2+4y^2=37\\ {\displaystyle x=-\frac{5}{2}-y}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}(2x+2y{)}^2-8xy=37\\ {\displaystyle x+y=-\frac{5}{2}}\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}(-5{)}^2-8xy=37\\ {\displaystyle x+y=-\frac{5}{2}}\end{array}\to$

Risolviamo quindi l'equazione ausiliaria in $t$:

$t^2+{\displaystyle \frac{5}{2}t-}$________$=0\to$

$t_1=-3$, $t_2={\displaystyle \frac{1}{2}}$.

Il sistema ha come soluzioni

$({\displaystyle \frac{1}{2};}$________$)$ e $($________$;{\displaystyle \frac{1}{2}}$$)$.

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Il sistema che rappresenta il grafico è:

$\{\begin{array}{c}{\displaystyle y=-\frac{1}{2}x+2}\\ x_1=-2,x_2={\displaystyle \frac{4}{3}}\end{array}.$

Il sistema ha quindi come soluzioni

$($________$;3)$ e ${\displaystyle (\frac{4}{3};\frac{4}{3})}$.

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Il sistema che rappresenta il grafico è

Utilizziamo l'incognita ausiliaria $t$ e risolviamo l'equazione

$t^2$________$t-6=0$$\to$$t_1=2$; $t_2=-3$.

Il sistema ha quindi come soluzioni

$($$-3;$________$)$, $($________$;-3).$

Scrivi il sistema che rappresenta il seguente grafico e risolvilo algebricamente.

Il sistema che rappresenta il grafico è:

Le soluzioni del sistema sono le coppie

$($________$;-2\sqrt{5}$$)$, $($$\sqrt{5};$________$)$

Un trapezio isoscele in cui la misura dell'altezza è inferiore a quella della base minore, è equivalente a un quadrato di lato $2\sqrt{10}a$. La base maggiore del trapezio supera di $4a$ la base minore e la somma tra la base minore e l'altezza è $11a$. Determina il perimetro del trapezio.

Indichiamo con $x$ la base minore e con $y$ l'altezza del trapezio.

Utilizzando i dati del problema, possiamo scrivere il seguente sistema risolvente:

$\{\begin{array}{c}x=6a\\ y=5a\end{array}.$

Il lato obliquo del trapezio è:

$\ell =$________$=\sqrt{29}a$.

Il perimetro del trapezio:

$2p=6a+$________$+2\sqrt{29}=$

$2a(8+\sqrt{29})$.

Un'impresa di pulizie acquista $60$ flaconi di detergente di due tipi $A$ e $B$. Il detergente $A$ costa $2$ € in più di $B$, ma la spesa per i flaconi $A$ è la stessa che per quelli di tipo $B$. La spesa totale è $288$ €. Quanti sono i flaconi $A$ e $B$ e qual è il loro costo?

Indichiamo con $x$ il numero di flaconi $A$ e con $y$ il loro prezzo.

Riconduciamo il problema al seguente sistema e risolviamolo:

$\{\begin{array}{c}xy=(60-x)(y-2)\\ xy=144\end{array}\to$

Il numero di flaconi $A$ è $24$ e di flaconi $B$ è $36$; il loro costo è rispettivamente di ________ euro e $4$ euro.

Determina per quale valore del parametro $k$ la retta $y=2x-2$ è tangente alla parabola di equazione  $y=(k+1)x^2-4x+1$ in un punto di ascissa positiva.

Mettiamo a sistema la retta con parabola:

$\{\begin{array}{c}y=2x-2\\ y=(k+1)x^2-4x+1\end{array}\to$

$\{\begin{array}{c}y=2x-2\\ 2x-2=(k+1)x^2-4x+1\end{array}\to$

Affinché la retta sia tangente alla parabola dobbiamo imporre $\mathrm{\Delta }=0$:

$36-$________$(k+1)=0\to k=$________.

Verifica che la retta passante per i punti $P(0;3)$ e $Q(-4;0)$ è esterna rispetto alla circonferenza di centro l'origine del piano cartesiano e raggio $2$.

Scriviamo le equazioni della retta e della circonferenza e le mettiamo a sistema. Risolviamo:

$\{\begin{array}{c}y={\displaystyle \frac{3}{4}x+3}\\ \nexists x\in \mathbb{R}\end{array}.$

Il sistema non ha soluzioni, pertanto la retta è ________ alla circonferenza.

Determina le rette tangenti all'iperbole equilatera di equazione $xy=12$ e parallele alla bisettrice del secondo e terzo quadrante.

Scriviamo il sistema risolvente.

Affinché le rette siano tangenti all'iperbole, l'equazione $t^2$________$t+12=0$ deve avere $\mathrm{\Delta }=0$:

$q^2-4\cdot 12=0\to q=\pm$________.

Quindi le rette tangenti all'iperbole data e parallele alla bisettrice del secondo e quarto quadrante hanno equazioni $y=-x+4\sqrt{3}$ e $y=-x-4\sqrt{3}$.