Tipo di esercizi
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Libro
Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1
Capitolo
Fai il punto sulle competenze - I problemi di secondo grado
INFO

Matematica

In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di 5 quella delle decine e la somma dei quadrati delle cifre è uguale al precedente del doppio del numero stesso. Qual è il numero?

Sia x la cifra delle unità; x________5 quella delle decine.
Il numero cercato è quindi
10(x________5)+x=
________x________50.
Scriviamo
x2________(x________5)2=  
2(11x________50)________1.
Semplifichiamo e risolviamo:
x2+x2________10x+25=22x________
x216x+63=0
(x________9)(x________7)=0
x=9  x=7.
Se la cifra delle unità è 9, quella delle decine è ________.
Se invece è 7, quella delle decine è ________.
I numeri cercati sono quindi due, 49 o 27.
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Matematica

Un terreno, del valore iniziale di 24000 €, viene scontato di una percentuale x per ogni anno in cui rimane invenduto. Dopo due anni, il suo prezzo è sceso a 18585,60 €. Quanto vale x, la percentuale?

x è la percentuale di sconto; ________ è la percentuale che corrisponde al valore scontato.
Scriviamo quindi
24000(________)2=18585,6.
Semplifichiamo e risolviamo:
24000(12x+x2)=18585,6
24000x248000x________5414,4=0;
dividiamo tutto per 1925,
625x21250x________141=0
Δ4=390625________88125=302500 
x1,2=625±550625
x1=625,88   x2=0,12
Dal contesto ________ quindi l'unico valore accettabile è ________, cioè il ________.
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In un trapezio isoscele la diagonale è perpendicolare al lato obliquo. Se l'altezza è 725 della diagonale e l'area del trapezio è 2688 cm², quanto è lunga la base maggiore?

In un trapezio isoscele d2=(B+b2)2+h2 dove d è la diagonale, B e b sono la base maggiore e minore e h è l'altezza.
Chiamiamo x la diagonale.
Allora l'altezza è h=________ e l'area è
2688=B+b2________
da cui B+b2=________.
Scriviamo quindi
x2=(9600x)2________(725x)2.
Semplifichiamo e risolviamo:
x2=9120000x2+49625x2
576625________=9120000x2
x4=100000000
x=________.
Quindi la diagonale misura ________ cm, l'altezza misura 28 cm e la metà della somma fra le basi misura 96 cm.
Utilizziamo il primo teorema di Euclide per trovare la base maggiore, B:
________:________=100:B
B=6256 cm.

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Un edificio di forma cubica proietta al suolo un'ombra rettangolare di area 1263 m². Se i raggi solari incidono il terreno con un angolo di 60 rispetto alla verticale, qual è il volume dell'edificio?

Rappresentiamo il problema in figura.

Il triangolo evidenziato in figura è ________ di un triangolo equilatero.
Chiamiamo x il lato di incidenza dei raggi solari. Quindi il lato verticale dell'edificio è ________ e il lato lungo dell'ombra è ________.
Scriviamo quindi 1263=x232x e risolviamo:
x2=________ x=614 m.
Il volume dell'edificio è V=x38=________=37814 m².
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Alice e Riccardo portano a un concorso di violino due diverse sonate di Bach. Entrambi hanno a disposizione una sala prove per due ore. Riccardo le sfrutta per intero, mentre Alice lascia libera la sala 12 minuti prima. Sapendo che Alice ha provato il suo brano due volte in meno di Riccardo e che Alice impiega 3 minuti in più di Riccardo per eseguire il suo brano, quante volte hanno provato i due violinisti?

Sia x il numero di volte che Riccardo esegue il suo brano. Alice quindi esegue il proprio
x________2 volte.
Consideriamo l'unità di misura del tempo in minuti.
Per un brano Riccardo impiega ________ minuti mentre Alice ________+3 minuti.
Alice utilizza in tutto ________ minuti, scriviamo quindi
(x________2)(120x+3)=________.
Semplifichiamo e risolviamo:
120240x+3x6=108
3x________6240x=0;
mettiamo tutto a denominatore comune con C.E. x0 e semplifichiamolo,
3x2________6x240=0;
dividiamo tutto per 3,
x2________2x80=0
(x+________)(x________)=0
x=________ x=________.
Nel contesto xN e x________0 quindi
x=________ non è accettabile.
Concludiamo che Riccardo ha provato ________ volte il suo brano e Alice ________.
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Nel trapezio ABCD la base minore CD è congruente all'altezza e i lati obliqui formano angoli di 60 e 45 con la base maggiore. La differenza dei quadrati dei lati obliqui è equivalente al quadrato che ha per lato la base minore diminuita di 1. Trova la misura dell'altezza del trapezio.

Disegniamo la figura.

Chiamiamo DC¯=x, quindi anche DH¯=CK¯=x.
Il triangolo ADH è metà triangolo ________ quindi AD¯=23x.
Il triangolo BCK è un triangolo ________ quindi BC¯=x2+x2=________.
Scriviamo quindi
(________)2(23x)2=(x________1)2.
Semplifichiamo e risolviamo:
2x243x2=x2________2x+1;
moltiplichiamo tutto per 3,
6x24x2=3x2________6x+3
x2________6x+3=0
Δ4=93=6, x1,2=3±6.
Entrambi i valori ________ accettabili come altezza del trapezio.
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Un gruppo di amici partecipa a una visita guidata a un museo di storia naturale del costo di 14 € a testa. Il museo offre a ognuno di loro uno sconto in euro pari al numero degli amici. La spesa totale è di 45 €.
Sapendo che lo sconto non supera il 50% del costo della visita, quanti sono gli amici?

Sia x il numero di partecipanti alla visita.
La quota pagata da ciascuno è ________ €.
Scriviamo quindi x(________)=45 e risolviamo:
14xx2=45
x2________14x________45=0
(x________9)(x5)=0
x=________  x=5.
Lo sconto non supera il 50% del costo, cioè non supera ________ €, quindi è di 5 €.
Gli amici dunque sono in 5.
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Un prisma retto di altezza 7 cm ha per base un triangolo rettangolo di perimetro 72 cm. Il volume del prisma è 1512 cm³ e l'area del cerchio inscritto alla base è 36π cm². Trova la lunghezza dei cateti della base e l'area della superficie totale.

L'area del triangolo di base
Abase=________=216 cm².
Disegniamo la base del prisma.

OK=________=________ cm.
Inoltre, in un triangolo rettangolo AB¯+BC¯=AC¯+2OK¯.
Quindi 2p=AB¯+BC¯+AC¯=
2AC¯+2OK¯=2AC¯+________=42 cm.
Troviamo così AC=________ cm e anche AB+BC=42 cm.
Sia ora x=AB¯ e 42x=BC¯.
L'area è x(42x)x=216.
Semplifichiamo e risolviamo:
42xx2=________
x2________42x+________=0
Δ4=441________=9,   x1,2=21±3
x1=24, x2=18.
Le due soluzioni sono le misure dei due cateti quindi AB=18 cm e BC=24 cm.
Troviamo la superficie totale del prisma:
________+________=936 cm².
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In una frazione il numeratore supera di 3 il denominatore e la somma tra il suo reciproco e il suo doppio è 5714. Determina la frazione.

Sia x il numeratore e x________3 il denominatore.
Scriviamo x3x________2xx3=5714.
Le C.E. sono x________ con x0  x3.
Semplifichiamo e risolviamo:
14(x3)2+28x214x(x3)=57x(x3)14x(x3);
semplifichiamo il denominatore,
14x2________+126+28x2=
57x2________

15x287x126=0;
dividiamo tutto per 5,
________x2________x42=0
Δ=841________840=1681, x1,2=29±4110
x1=7   x2=65
Per le condizioni di esistenza accettiamo ________, quindi la frazione cercata è ________.
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In un triangolo rettangolo di perimetro 120 cm, un cateto supera l'altro di 10 cm. Determina la lunghezza dell'ipotenusa.

Sia x il cateto più ________ e x+10 quello più ________.
L'ipotenusa dunque è 120x(x+10)=100________2x
da cui x________55.
Utilizziamo il teorema di Pitagora e scriviamo
x2________(x+10)2=(110________2x)2.
Semplifichiamo e risolviamo:
x2+x2+20x+________=
12100440x+4x2

2x2________460x+12000=0
dividiamo tutto per 2,
x2________230x+6000=0
(x________)(x________)=0
x=________ x=________.
Per le condizioni di esistenza x=________ è l'unica soluzione accettabile, quindi l'ipotenusa misura ________ cm.
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