Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Matematica.blu biennio (3ª edizione) / Volume 1 Fai il punto sulle competenze - I problemi di secondo grado

FIP02bbtblu18 - I problemi di secondo grado

10 esercizi

SVOLGI

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Matematica

In un numero di due cifre, la cifra delle unità supera di

5

quella delle decine e la somma dei quadrati delle cifre è uguale al precedente del doppio del numero stesso. Qual è il numero?

Sia

x

la cifra delle unità;

x

________

5

quella delle decine.
Il numero cercato è quindi

10 (x

________

5) + x =

________

x

________

50

.
Scriviamo

x^{2}

________

(x

________

5)^{2} =

2 (11 x

________

50)

________

1

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} + x^{2}

________

10 x + 25 = 22 x -

________

x^{2} - 16 x + 63 = 0

(x

________

9) (x

________

7) = 0

x = 9 \lor x = 7

.
Se la cifra delle unità è

9

, quella delle decine è ________.
Se invece è

7

, quella delle decine è ________.
I numeri cercati sono quindi due,

49

27

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Matematica

Un terreno, del valore iniziale di

24 000

€, viene scontato di una percentuale

x

per ogni anno in cui rimane invenduto. Dopo due anni, il suo prezzo è sceso a

18 585, 60

€. Quanto vale

x

, la percentuale?

x

è la percentuale di sconto; ________ è la percentuale che corrisponde al valore scontato.
Scriviamo quindi

24 000

(

________

)^{2}

= 18 585, 6

.
Semplifichiamo e risolviamo:

24 000 (1 - 2 x + x^{2}) = 18 585, 6

24 000 x^{2} - 48 000 x

________

5414, 4 = 0

;
dividiamo tutto per

\frac{192}{5}

625 x^{2} - 1250 x

________

141 = 0

\frac{Δ}{4} = 390 625

________

88 125 = 302 500 \to

x_{1, 2} = \frac{625 \pm 550}{625}

x_{1} = 625, 88 x_{2} = 0, 12

Dal contesto ________ quindi l'unico valore accettabile è ________, cioè il ________.

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Matematica

In un trapezio isoscele la diagonale è perpendicolare al lato obliquo. Se l'altezza è

\frac{7}{25}

della diagonale e l'area del trapezio è

2688

cm², quanto è lunga la base maggiore?

In un trapezio isoscele

d^{2} = {(\frac{B + b}{2})}^{2} + h^{2}

dove

d

è la diagonale,

B

b

sono la base maggiore e minore e

h

è l'altezza.
Chiamiamo

x

la diagonale.
Allora l'altezza è

h =

________ e l'area è

2688 = \frac{B + b}{2} \cdot

________
da cui

\frac{B + b}{2} =

________.
Scriviamo quindi

x^{2} = {(\frac{9600}{x})}^{2}

________

{(\frac{7}{25} x)}^{2}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} = \frac{9120000}{x^{2}} + \frac{49}{625} x^{2}

\frac{576}{625}

________

= \frac{9120000}{x^{2}}

x^{4} = 100 000 000

x =

________.
Quindi la diagonale misura ________ cm, l'altezza misura

28

cm e la metà della somma fra le basi misura

96

cm.
Utilizziamo il primo teorema di Euclide per trovare la base maggiore,

B

:
________:________

= 100 : B \to

B = \frac{625}{6}

cm.

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Matematica

Un edificio di forma cubica proietta al suolo un'ombra rettangolare di area

126 \sqrt{3}

m². Se i raggi solari incidono il terreno con un angolo di

60^{\circ}

rispetto alla verticale, qual è il volume dell'edificio?

Rappresentiamo il problema in figura.

Il triangolo evidenziato in figura è ________ di un triangolo equilatero.
Chiamiamo

x

il lato di incidenza dei raggi solari. Quindi il lato verticale dell'edificio è ________ e il lato lungo dell'ombra è ________.
Scriviamo quindi

126 \sqrt{3} = \frac{x}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} x

e risolviamo:

x^{2} =

________

\to

x = 6 \sqrt{14}

m.
Il volume dell'edificio è

V = \frac{x^{3}}{8} =

________

= 378 \sqrt{14}

m².

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Matematica

Alice e Riccardo portano a un concorso di violino due diverse sonate di Bach. Entrambi hanno a disposizione una sala prove per due ore. Riccardo le sfrutta per intero, mentre Alice lascia libera la sala

12

minuti prima. Sapendo che Alice ha provato il suo brano due volte in meno di Riccardo e che Alice impiega

3

minuti in più di Riccardo per eseguire il suo brano, quante volte hanno provato i due violinisti?

Sia

x

il numero di volte che Riccardo esegue il suo brano. Alice quindi esegue il proprio

x

________

2

volte.
Consideriamo l'unità di misura del tempo in minuti.
Per un brano Riccardo impiega ________ minuti mentre Alice ________

+ 3

minuti.
Alice utilizza in tutto ________ minuti, scriviamo quindi

(x

________

2)

(\frac{120}{x} + 3) =

________.
Semplifichiamo e risolviamo:

120 - \frac{240}{x} + 3 x - 6 = 108

3 x

________

6 - \frac{240}{x} = 0

;
mettiamo tutto a denominatore comune con C.E.

x \neq 0

e semplifichiamolo,

3 x^{2}

________

6 x - 240 = 0

;
dividiamo tutto per

3

x^{2}

________

2 x - 80 = 0

(x +

________

) (x -

________

) = 0

x =

________

\lor x =

________.
Nel contesto

x \in N

x

________

0

quindi

x =

________ non è accettabile.
Concludiamo che Riccardo ha provato ________ volte il suo brano e Alice ________.

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Matematica

Nel trapezio

A B C D

la base minore

C D

è congruente all'altezza e i lati obliqui formano angoli di

60^{\circ}

45^{\circ}

con la base maggiore. La differenza dei quadrati dei lati obliqui è equivalente al quadrato che ha per lato la base minore diminuita di

1

. Trova la misura dell'altezza del trapezio.

Disegniamo la figura.

Chiamiamo

\bar{D C} = x

, quindi anche

\bar{D H} = \bar{C K} = x

.
Il triangolo

A D H

è metà triangolo ________ quindi

\bar{A D} = \frac{2}{\sqrt{3}} x

.
Il triangolo

B C K

è un triangolo ________ quindi

\bar{B C} = \sqrt{x^{2} + x^{2}} =

________.
Scriviamo quindi

(

________

)^{2}

- {(\frac{2}{\sqrt{3}} x)}^{2} =

(x

________

1)^{2} .

Semplifichiamo e risolviamo:

2 x^{2} - \frac{4}{3} x^{2} = x^{2}

________

2 x + 1

;
moltiplichiamo tutto per

3

6 x^{2} - 4 x^{2} = 3 x^{2}

________

6 x + 3

x^{2}

________

6 x + 3 = 0

\frac{Δ}{4} = 9 - 3 = 6

x_{1, 2} = 3 \pm \sqrt{6}

.
Entrambi i valori ________ accettabili come altezza del trapezio.

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Matematica

Un gruppo di amici partecipa a una visita guidata a un museo di storia naturale del costo di

14

€ a testa. Il museo offre a ognuno di loro uno sconto in euro pari al numero degli amici. La spesa totale è di

45

€.
Sapendo che lo sconto non supera il

50 %

del costo della visita, quanti sono gli amici?

Sia

x

il numero di partecipanti alla visita.
La quota pagata da ciascuno è ________ €.
Scriviamo quindi

x (

________

) = 45

e risolviamo:

14 x - x^{2} = 45

x^{2}

________

14 x

________

45 = 0

(x

________

9) (x - 5) = 0

x =

________

\lor x = 5.

Lo sconto non supera il

50 %

del costo, cioè non supera ________ €, quindi è di

5

€.
Gli amici dunque sono in

5

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Matematica

Un prisma retto di altezza

7

cm ha per base un triangolo rettangolo di perimetro

72

cm. Il volume del prisma è

1512

cm³ e l'area del cerchio inscritto alla base è

36 π

cm². Trova la lunghezza dei cateti della base e l'area della superficie totale.

L'area del triangolo di base

A_{b a s e} =

________

= 216

cm².
Disegniamo la base del prisma.

O K =

________

=

________ cm.
Inoltre, in un triangolo rettangolo

\bar{A B} + \bar{B C} = \bar{A C} + 2 \bar{O K}

.
Quindi

2 p = \bar{A B} + \bar{B C} + \bar{A C} =

2 \bar{A C} + 2 \bar{O K} = 2 \bar{A C} +

________

= 42

cm.
Troviamo così

A C =

________ cm e anche

A B + B C = 42

cm.
Sia ora

x = \bar{A B}

42 - x = \bar{B C}

.
L'area è

\frac{x (42 - x)}{x} = 216

.
Semplifichiamo e risolviamo:

42 x - x^{2} =

________

x^{2}

________

42 x +

________

= 0

\frac{Δ}{4} = 441 -

________

= 9

x_{1, 2} = 21 \pm 3

x_{1} = 24

x_{2} = 18

.
Le due soluzioni sono le misure dei due cateti quindi

A B = 18

cm e

B C = 24

cm.
Troviamo la superficie totale del prisma:
________

+

________

= 936

cm².

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Matematica

In una frazione il numeratore supera di

3

il denominatore e la somma tra il suo reciproco e il suo doppio è

\frac{57}{14}

. Determina la frazione.

Sia

x

il numeratore e

x

________

3

il denominatore.
Scriviamo

\frac{x - 3}{x}

________

\frac{2 x}{x - 3} = \frac{57}{14} .

Le C.E. sono

x \in

________ con

x \neq 0 \land x \neq 3

.
Semplifichiamo e risolviamo:

\frac{14 (x - 3)^{2} + 28 x^{2}}{14 x (x - 3)} = \frac{57 x (x - 3)}{14 x (x - 3)};

semplifichiamo il denominatore,

14 x^{2} -

________

+ 126 + 28 x^{2} =

57 x^{2} -

________

15 x^{2} - 87 x - 126 = 0

;
dividiamo tutto per

5

,
________

x^{2} -

________

x - 42 = 0

Δ = 841

________

840 = 1681

x_{1, 2} = \frac{29 \pm 41}{10}

x_{1} = 7 x_{2} = - \frac{6}{5}

Per le condizioni di esistenza accettiamo ________, quindi la frazione cercata è ________.

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Matematica

In un triangolo rettangolo di perimetro

120

cm, un cateto supera l'altro di

10

cm. Determina la lunghezza dell'ipotenusa.

Sia

x

il cateto più ________ e

x + 10

quello più ________.
L'ipotenusa dunque è

120 - x - (x + 10) = 100

________

2 x

da cui

x

________

55

.
Utilizziamo il teorema di Pitagora e scriviamo

x^{2}

________

(x + 10)^{2} = (110

________

2 x)^{2}

.
Semplifichiamo e risolviamo:

x^{2} + x^{2} + 20 x +

________

=

12100 - 440 x + 4 x^{2}

2 x^{2}

________

460 x + 12000 = 0

dividiamo tutto per

2

x^{2}

________

230 x + 6000 = 0

(x -

________

) (x -

________

) = 0

x =

________

\lor x =

________.
Per le condizioni di esistenza

x =

________ è l'unica soluzione accettabile, quindi l'ipotenusa misura ________ cm.

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