Matematica - Scuola secondaria di secondo grado Matematica.blu biennio (3ª edizione) Volume 1 Fai il punto sulle competenze - Le potenze, le radici e le somme algebriche di radicali

FIP02bbtblu16 - Le potenze, le radici e le somme algebriche di radicali

11 esercizi

SVOLGI

INFO

Vero o falso?

x \geq 0

allora

\sqrt{\sqrt[6]{x}} = \sqrt[8]{x}

{(\sqrt[6]{8^{2}})}^{5} = 32

{(\sqrt[6]{7})}^{2} = \sqrt[12]{7}

La radice quadrata della radice cubica di

3

è la radice nona di

3

Vero o falso

Associa a ciascuna espressione della prima colonna la relativa semplificazione nella seconda colonna. Supponi che siano verificate le C.E.

1.

{(\sqrt[5]{\frac{4}{5} x^{2}} : \sqrt{\frac{8}{5} x})}^{5}

________

2.

{(\sqrt[3]{\frac{x}{2} + \frac{2}{x} + 2} : \sqrt[6]{\frac{1}{x} + \frac{1}{2}})}^{2}

________

3.

{(\sqrt{1 - \frac{1}{x^{2}}} \cdot \sqrt[3]{\frac{x^{2}}{x + 1}})}^{4}

________

4.

{(\sqrt{\frac{x^{2} + 2 x}{8}} : \frac{\sqrt[4]{x + 2}}{2})}^{3}

________

Posizionamento

Indica il valore della seguente espressione:

\sqrt{\sqrt[3]{2 \sqrt{(\sqrt{8})^{5}}}}

2 \cdot \sqrt[12]{2^{5}}

\sqrt[24]{2^{19}}

\sqrt[5]{2}

2 \cdot \sqrt[24]{2^{5}}

Scelta multipla

Scrivi le condizioni di esistenza e poni sotto forma di un unico radicale.

\sqrt{\frac{3}{x^{2} - 4} \sqrt[3]{\frac{x^{2} - 4 x + 4}{9}} .}

Scomponiamo tutti i radicandi:
________.
Scriviamo le C.E.:

\frac{3}{(x - 2) (x + 2)} \cdot \sqrt[3]{\frac{(x - 2)^{2}}{9}} \geq 0

.
Poiché il secondo fattore è sempre positivo se

x \neq 2

ed è nullo se

x = 2

, affinché il prodotto sia positivo o nullo, ci basta porre

\frac{3}{(x - 2) (x + 2)}

________

0

,
tenendo conto del fatto che, per

x = 2

, il secondo fattore si annulla, ma il primo fattore non esiste.
Per risolvere la disequazione

\frac{3}{(x - 2) (x + 2)}

________

0

ci serve la tabella in figura ________, da cui ricaviamo le soluzioni:
________.
Poniamo sotto forma di un unico radicale.
________

Completamento chiuso

Indica quanto vale la seguente somma (i segni sono alternati):

(\sqrt{100} + 1) \cdot (\sqrt{100} - 1) - (\sqrt{99} + 1) \cdot (\sqrt{99 - 1}) +

(\sqrt{98} + 1) \cdot (\sqrt{98} - 1) - \dots + (\sqrt{2} + 1) \cdot (\sqrt{2} - 1) .

99

101

50

51

Scelta multipla

Una sola delle seguenti espressioni è uguale a

2 \sqrt{5}

. Quale?

\sqrt{20} - \sqrt{125} + \frac{1}{4} \sqrt{5}

\frac{1}{2} \sqrt{45} - \sqrt[4]{1 + {(\frac{3}{4})}^{2}} + \sqrt{5}

\sqrt[3]{5} - \sqrt{125}

\sqrt[3]{40} - \frac{1}{2} \cdot \sqrt[3]{5} + (\sqrt{5})^{3}

Scelta multipla

Vero o falso?

I radicali

4 \sqrt{5}

4 \cdot \sqrt[5]{2}

sono simili.

I radicali

3 \sqrt{24}

\frac{1}{3} \sqrt{54}

possono essere trasformati in radicali simili.

Tutti i radicali cubici sono simili tra loro.

\sqrt[3]{4} - \sqrt[3]{3} = 1

Vero o falso

Una sola fra le seguenti uguaglianze non è corretta. Quale?

\sqrt{\frac{\sqrt[3]{2}}{\sqrt{8}}} = \sqrt[12]{\frac{1}{128}}

\sqrt[4]{4 \cdot \sqrt[3]{1 - \frac{7}{8}}} = \sqrt[4]{2}

{(\sqrt{\sqrt[3]{9 \cdot (\frac{5}{6} - \frac{1}{2})}})}^{3} = \sqrt{3}

\sqrt[4]{{(\sqrt{\frac{25}{32}})}^{3}} = \frac{1}{2} \sqrt[4]{{(\frac{5}{2})}^{3}}

Scelta multipla

Considera il parallelogramma

A B C D

in figura, in cui

A H = 2 \sqrt{5}

cm,

H B = 5 \sqrt{5}

cm e

D H = 5 \sqrt{2}

cm.
a. Verifica che il triangolo

A B D

è rettangolo.
b. Calcola perimetro e area del parallelogramma.

a. Applichiamo il teorema di Pitagora ai triangoli

A H D

B H D

per trovare

\bar{A D}

\bar{B D}

\bar{A D} =

________

=

________

=

________;

\bar{B D} =

________

=

________

=

________.
Verifichiamo se il teorema di Pitagora vale per il triangolo

A B D

. Operiamo con le misure.

{\bar{A D}}^{2} + {\bar{B D}}^{2} = {\bar{A B}}^{2}

70 + 175 = (5 \sqrt{5} + 2 \sqrt{5})^{2}

245 =

(

________

)^{2}

245 =

________
Dunque

A B D

________ un triangolo rettangolo.

b. La misura del perimetro è:

2 (\bar{A B} + \bar{A D}) = 2 (

________

+ \sqrt{70}),

quindi il perimetro è lungo

2 (

________

+ \sqrt{70})

cm.
La misura dell'area è:

\bar{A B} \cdot \bar{D H} =

________

\cdot 5 \sqrt{2} =

________.
Quindi l'area è ________ cm².

Completamento chiuso

Scomponi in fattori le seguenti somme algebriche. Supponi verificate le C.E.

a.

\sqrt{2} - \sqrt{6} + \sqrt{5} - \sqrt{15} =

________

b.

x^{3} - x^{2} \sqrt{3} + \frac{1}{2} x^{2} - \frac{\sqrt{3}}{2} x =

________

c.

4 a^{2} - 2 \sqrt{5} a + \frac{5}{4} =

________

d.

8 - 2 \sqrt{15} =

________

Completamento chiuso

Applica le regole dei prodotti notevoli per semplificare la seguente espressione:

(\sqrt{3} + 2)^{2} (\sqrt{3} - 2)^{2} + (\sqrt[5]{2 \sqrt{2}})^{10} +

[(5 + 3 \sqrt{3}) (5 - 3 \sqrt{3})]^{3}

(\sqrt{3} + 2)^{2} (\sqrt{3} - 2)^{2} + (\sqrt[5]{2 \sqrt{2}})^{10} +

[[(5 + 3 \sqrt{3}) (5 - 3 \sqrt{3})]^{3} =

(3 -

________

)^{2} + (

________

)^{10} +

[25 -

________

]^{3} =

________

1 +

________

+ [- 2]^{3} =

________

Completamento chiuso