FIP02BBbluG3 - Proprietà degli angoli di un triangolo e di un poligono #466894

Vero o falso?

A:

In un quadrilatero la somma degli angoli interni è congruente alla somma degli angoli esterni.

B:

La somma degli angoli interni di un poligono di

n

lati è congruente alla somma degli angoli interni di

n - 3

triangoli.

C:

In un triangolo rettangolo isoscele ciascun angolo esterno misura

135^{\circ}

.

D:

La somma degli angoli interni di un pentagono concavo è uguale a quella di un pentagono convesso.

Vero o falso

Associa a ogni angolo interno

α

,

β

,

γ

,

δ

di un quadrilatero alla sua ampiezza, sapendo che valgono le seguenti relazioni:

α = 3 β

;

β + γ = 96^{\circ}

;

δ = α + 36^{\circ}

.

α

________

β

________

γ

________

δ

________

Posizionamento

Una coccinella percorre la traiettoria

A B C D E F

. Calcola l'ampiezza degli angoli

α

,

β

,

γ

,

δ

e

ε

.
Abbiamo che:
•

C B ∥ D E

•

B D ≅ C D

•

B \hat{D} C = 42^{\circ}

•

D \hat{B} C - α = 25^{\circ}

•

B \hat{E} F = 5^{\circ}

•

D \hat{B} E = 60^{\circ}

•

β = \frac{180^{\circ} - 42^{\circ}}{2} \to β = 69^{\circ}

•

α + 25^{\circ} =

________

\to

α = 44^{\circ}

• ________

= 180^{\circ} - (44^{\circ} + 25^{\circ} + 60^{\circ}) \to

δ =

________
•

γ - 42^{\circ} = 180^{\circ} - (60^{\circ} + 51^{\circ}) \to

γ =

________

Completamento chiuso

Nella figura è rappresentato un pentagono regolare. Trova l'ampiezza

x

dell'angolo indicato.

________

Completamento chiuso

Quali dei poligoni rappresentati in figura non può esistere?
________

Completamento chiuso

Dato il triangolo equilatero

A B C

, prolunga i lati

A B

,

B C

e

C A

rispettivamente dei tre segmenti

B D

,

C E

e

A F

in modo che

A \hat{F} B ≅ B \hat{D} C ≅ C \hat{E} A

.
a. Dimostra che il triangolo

D E F

è equilatero.
b. Se

C \hat{E} F = 38^{\circ}

, qual è l'ampiezza dell'angolo

A \hat{D} F

?

a. Ipotesi:

A B C

equilatero;

A \hat{F} B ≅ B \hat{D} C ≅ C \hat{E} A

.
Tesi:

D E F

equilatero.

Dimostrazione
I triangoli

A F B

,

B D C

e

C E A

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
I triangoli

A F E

, ________ e

C D E

sono congruenti per il ________ criterio di congruenza.
Di conseguenza

D F ≅ F E ≅ D E

.

b. Se

C \hat{E} F = 38^{\circ}

, allora

A \hat{F} D = 38^{\circ}

e quindi

A \hat{D} F =

________.

Completamento chiuso

Trova

x

,

y

e

z

.

x

è il supplementare di

100^{\circ}

perché angoli ________ interni, quindi

x = 80^{\circ}

.
Completiamo la figura inserendo il valore di alcuni angoli.

Quindi

z = 180^{\circ} - (110^{\circ} +

________

) = 6^{\circ}

e

y = 180^{\circ} - (6^{\circ} +

________

) = 122^{\circ}

.

Completamento chiuso

La cima della torre in figura è vista dal punto

A

sotto un angolo di ampiezza

α

; dal punto

B

la cima si vede un angolo di ampiezza doppia.
Dimostra che:
a. il triangolo

A B C

è isoscele;
b. se la misura di

α

non è

0

,

C D

è minore di

A B

;
c.

α = 30^{\circ}

se e solo se

B C

è bisettrice dell'angolo

A \hat{C} D

.

Ipotesi:

C \hat{A} B = α

;

C \hat{B} D = 2 α

.
Tesi:
a.

A B C

è isoscele;
b.

C D < A B

;
c.

α = 30^{\circ}

\leftrightarrow B C

bisettrice di

A \hat{C} D

.

Dimostrazione
a. Si ha che

A \hat{B} C = 180^{\circ} - 2 α

,

A \hat{C} D = 90^{\circ} - α

e

B \hat{C} D = 90^{\circ} -

________.
Da questo segue che

A \hat{C} B = 90^{\circ} - α - (90^{\circ} - 2 α) =

________.
Quindi il triangolo

A B C

è isoscele perché ha gli angoli alla base uguali.

b. Da quanto dimostrato precedentemente si ha che

A B ≅ B C

e

C D < B C

poiché un cateto è ________ dell'ipotenusa. Da questo segue la tesi.

c. Supponiamo che

α = 30^{\circ}

e dimostriamo che

B C

bisettrice di

A \hat{C} D

.
Da quanto dimostrato precedentemente, si ha che

A \hat{B} C = 30^{\circ}

e

B \hat{C} D = 90^{\circ} - 2 α = 30^{\circ}

, quindi segue la tesi.
Supponiamo ora che

B C

sia la bisettrice di

A \hat{C} D

e dimostriamo che

α = 30^{\circ}

.
Poiché

B C

è bisettrice di

A \hat{C} D

si ha che

α

________

90^{\circ} - 2 α

, e quindi

α = 30^{\circ}

.

Completamento chiuso